Fractali Mandelbor

Setul Mandelbrot este domeniul de convergenta a seriei contruita de secventa complexa definita de regula recursiva Z_n = Z_n-1² + C. Cu alte cuvinte folosind un simplu algoritm este posibil sa impartim punctele din planul complex in doua categorii:

• puncte in setul Mandelbrot;

• puncte in afara  setului Mandelbrot.

Imaginea urmatoare arata o portiune a planului complex. Punctele setului Mandelbrot au fost reprezentate cu negru.
 

Este posibil sa asociem o culoare cu un punct din afara setului Mandelbrot. Culoare punctelor depinde de numarul de iteratii necesare pentru a determina daca fac sau nu parte din setul Mandelbrot, si poate fi interpretata ca distanta fata de setul Mandelbrot.
 

Dupa cum se observa e imposibil de aplicat procesul descris mai sus pentru ca nu putem itera la infinit pentru a vedea daca un punct va ajunge sau nu la infinit. Este usor de demonstrat insa ca daca distanta de la punct la origine devine mai mare decat 2, va ajunge la infinit. Tinand cont de aceasta in momentul in care distanta de la punct la origine depaseste valoarea 2 putem sa oprim calculul pentru ca stim ca punctul va migra spre infinit. In plus putem asocia o culoare cu numarul de iteratii efectuate (un mic numar de iteratii inseamna ca punctul migreaza rapid spre infinit).

 

Pe de alta parte, daca punctul apartine setului Mandelbrot, distanta sa de origine nu va depasi nicioadata valoarea 2, indiferent de numarul de iteratii efectuate. Chiar daca punctul nu apartine setului ar putea fi necesare un numar foarte mare de iteratii pentru a afla acest lucru. In ambele cazuri stabilim un numar maxim de iteratii, dupa care presupunem ca face parte din set. Cu cat facem mai multe iteratii cu atat imaginea va fi mai clara, dar calculele vor fi mai lungi.
 

Sa vedem cum sa asociem o culoare unui punct din plan. Sa incepem cu un punct din afara setului Mandelbrot: C = -0.5 + i. Iterand functia Z_n = Z_n-1² + C se vor obtine urmatoarele valor: (imaginea arata punctele corespunzatoare in planul complex.)
 

La cea de-a treia iteratie, dinstanta de la punct la origine devine mai mare decat 2. Aceasta inseamna ca punctul initial C nu apartine setului Mandelbrot. Datorita faptului ca sunt necesare trei iteratii pentru a stabili apartenenta punctului C la setul Mandelbrot, vom asocia punctului o anumita culoare. Toate punctele de aceiasi culoare au nevoie de acelasi numar de iteratii pentru a stabilii daca sunt sau nu atrase spre infinit.

 

Sa repetam procesul pentru un punct din interiorul setului Mandelbrot: C = 0.2 + i * 0.5. In acest caz distanta de la punct la origine nu atinge niciodata valoarea 2. Cand atingem numarul maxim de iteratii (de exemplu 200) presupunem ca punctul initial C apartine setului Mandelbrot si il reprezentam cu negru.