Fractali Julia

Seturile Julia sunt legate in mod strict de setul Mandelbrot.  Functia iterativa utilizata pentru a obtine setul Julia este Z_n+1 = Z²_n + C. Ceea de difera este modul in care aceasta formula este utilizata. Pentru a obtine un fractal Mandelbrot, iteram formula pentru fiecare punct C din planul complex si incepem intotdeauna cu Z₀ = 0. Cand construim un fractal Julia, C ramane fix pe tot timpul iterarii, in timp ce Z₀ variaza. Valoare lui C determina forma setului Julia: cu alte cuvinte fiecare punct din planul complex este asociat cu un set Julia particular.
 

Alegeti un punct din planul complex (sa-i spunem C). Numarul complex corespunzator are forma x + i*y. Urmatorul algoritm genereaza setul Julia asociat acestui punct C: fiind dat un punct generic Z din planul complex, se poate stabili daca acesta apartine setului Julia, asociat cu C, si implicit culoarea care trebuie sa i se asocieze. Pentru a vedea daca Z apartine sau nu setului, trebuie sa iteram functia Z_n+1 = Z²_n + C cu Z₀ = Z. Ce se intampla cu punctul initial Z cand formula este iterata? Va ramane langa origine sau se va indeparta de ea spre infinit? In primul caz punctul apartine setului Julia. In cel de-al doilea caz se deplaseaza spre infinit si ii asociem o culoare punctului Z, in functie de viteza cu care se deplaseaza spre infinit. Pentru a putea genera o imagine a intregului set Julia asociat punctului C, trebuie sa repetam acest proces pentru toate punctele Z ale caror coordonate sunt incluse in plaja: -2 < x < 2, -1.5 < y < 1.5

Trebuie remarcat ca in timp ce Setul Mandelbrot este conex , un set Julia este conex doar daca este asociat cu un punct din setul Mandelbrot. Acesta e doar un exemplu al legaturii dintre setul Julia si setul Mandelbrot.

Exemplu: setul Julia asociat punctului C1 este conex. Setul Julia asociat punctului C2 nu este conex. (vezi imaginea de mai jos)
 

Metoda de obtinere a unui set Julia este aceeasi cu cea utilizata pentru a obtine un set Mandelbrot. Daca distanta fata de origine devine mai mare decat 2 putem fi siguri ca va ajunge la infinit. Astfel ne putem opri si asociat o anumita culoare in functie de numarul de iteratii efectuate. Daca punctul apartine setului Julia distanta sa fata de origine nu va depasi nicioadata valoarea 2, indiferent de numarul de iteratii efectuate. Chiar daca punctul nu apartine setului Julia pot fi necesare un numar mare de iteratii pentru a afla acest lucru. In ambele cazuri stabilim un numar maxim de iteratii, dupa care presupunem ca punctul face parte din set (si il vom desena cu negru).