Si deseamos simular la tirada sucesiva de una moneda, debemos conocer las probabilidades de ocurrencia de CARA y CECA, y luego asociarle números aleatorios según la probabilidad respectiva:

 

	Probabilidad	Números aleatorios
CARA	0,50	0,000 al 0,499
CECA	0,50	0,500 al 0,999

 

Mediante la función RAN, de la calculadora, obtenemos los siguientes números aleatorios, a los cuales le asociamos su significado según la asignación previa

 

0,471    CARA

0,590    CECA

0,001    CARA

0,244    CARA

 

y así sucesivamente.

 

 

 

La invención del método de Monte Carlo se atribuye a Stan Ulam y a John von Neuman. Ulam ha explicado cómo se le ocurrió la idea mientras jugaba un solitario durante una enfermedad en 1946. Advirtió que resulta mucho más simple tener una idea del resultado general del solitario haciendo pruebas múltiples con las cartas y contando las proporciones de los resultados que computar todas las posibilidades de combinación formalmente. Se le ocurrió que esta misma observación debía aplicarse a su trabajo de Los Álamos sobre difusión de neutrones, para la cual resulta prácticamente imposible solucionar las ecuaciones íntegro-diferenciales que gobiernan la dispersión, la absorción y la fisión. “La idea consistía en probar con experimentos mentales las miles de posibilidades, y en cada etapa, determinar por casualidad, por un número aleatorio distribuido según las probabilidades, qué sucedería y totalizar todas las posibilidades y tener una idea de la conducta del proceso físico”.

 

Podían utilizarse máquinas de computación, que comenzaban a estar disponibles, para efectuar las pruebas numéricas y en efecto reemplazar el aparato experimental del físico. Durante una de las visitas de von Neumann a Los Álamos en 1946, Ulam le mencionó el método. Después de cierto escepticismo inicial, von Neumann se entusiasmó con la idea y pronto comenzó a desarrollar sus posibilidades en un procedimiento sistemático. Ulam expresó que Monte Carlo “comenzó a tener forma concreta y empezó a desarrollarse con todas sus fallas de teoría rudimentaria después de que se lo propuse a Jonhnny”.

 

A principios de 1947 Von Neumann envió una carta a Richtmyer a Los Álamos en la que expuso de modo influyente tal vez el primer informe por escrito del método de Monte Carlo. Su carta fue encuadernada junto con la respuesta de Richtmyer como un informe de Los Álamos y distribuida entre los miembros del laboratorio. Von Neumann sugería aplicar le método para rastrear la generación isotrópica de neutrones desde una composición variable de materaila activo a lo largo del radio de una esfera. Sostenía que el problema era adecuado para el ENIAC y estimaba que llevaría 5 horas calcular la acción de 100 neutrones a través de un curso de 100 colisiones cada uno.

 

Ulam estaba particularmente interesado en el método Monte Carlo para evaluar integrales múltiples. Una de las primeras aplicaciones de este método a un problema determinista fue llevada a cabo en 1948 por Enrico Fermi, Ulam y von Neumann cuando consideraron los valores singulares de la ecuación de Schrödinger. (De “John von Neumann y los orígenes de la computación moderna” de William Aspray – Gedisa Editorial – 1993)

 

 

 

 

A través de un ejemplo se ilustrará el método. El proceso consiste en calcular el área encerrada por una línea cerrada cualquiera que está incluida en un cuadrado de lado unitario (y área unitaria).

 

Al generar puntos al azar (mediante dos números aleatorios) se calcula la fracción que se establece entre la cantidad de puntos que caen dentro del área asociada a la curva y la cantidad total de puntos  (o puntos en el cuadrado).

 

Supongamos que el área a calcular es un cuarto de círculo, de radio unitario, que está dentro de un cuadrado de lado unitario. La fracción será:

 

   Área del ¼ círculo      Puntos en el ¼ de círculo       π r² ¼

  ──────────── = ──────────────── = ────

   Área del cuadrado       Puntos en el cuadrado            1 x 1

 

Para generar los puntos utilizamos dos sucesiones de números aleatorios R1 y R2. Si queremos saber si un punto pertenece al cuarto de círculo, establecemos, a partir de la relación pitagórica, la condición de pertenencia:

 

              √ R1² + R2² ≤  1

 

Si se verifica la relación anterior, el punto pertenece al cuarto de círculo (y al cuadrado). De lo contrario pertenecerá sólo al cuadrado.

 

Para el caso de una simulación con 25 pares de números aleatorios, es decir, para 25 puntos generados, nos dará una fracción tal como  21/25 = 0,840, mientras que el área buscada será:

 

              π r² ¼ =  π ¼ = 0,785

 

La precisión del método se mejora utilizando una gran cantidad de simulaciones, siendo el error del orden del 0,001 cuando se emplean unos 15.000 puntos simulados.