La dinámica de sistemas es una técnica que permite describir el comportamiento de sistemas mediante ecuaciones diferenciales lineales. Luego de realizar la descripción matemática, es posible establecer una simulación por computadora mediante un proceso relativamente simple. Mediante un ejemplo veremos de qué se trata este proceso.

 

Supongamos que deseamos saber cuál ha de ser el capital que se va logrando, año a año, si los intereses anuales se agregan al capital inicial. La fórmula que describe la situación será:

 

  dC

─── = I C

   dt

 

Reemplazando el diferencial dC por el incremento de la función, es decir, ΔC, nos queda:

 

ΔC = I C Δt

 

El incremento de capital ΔC en un año (Δt = 1 año, en este caso) es igual al producto del interés anual I multiplicado por el capital inicial C.

 

Supongamos un capital inicial Co = 500 y un interés anual de I = 0,10. Podemos calcular año a año el incremento de capital.

 

Año 1

 

ΔC = I Co Δt = 0,10 x 500 x 1 = 50

 

C1 = Co + ΔC = 500 + 50 = 550

 

Año 2

 

ΔC = I C1 Δt = 0,10 x 550 x 1 = 55

 

C2 = C1 + ΔC = 550 + 55 = 605

 

Y así sucesivamente

 

 

 

 

Respecto de la descripción del cambio existente en los fenómenos naturales, podemos mencionar un ejemplo de la teoría de poblaciones. En este caso veremos la descripción matemática de dos subclases de una población humana. Se trata de los “parásitos” (P) (terratenientes que heredaron sus tierras y que no trabajan nunca) y de los “trabajadores” (T) (que trabajan para aquéllos). La forma matemática de las ecuaciones empleadas podrá interpretarse de la siguiente forma:

 

                  (Ritmo de cambio) = (Lo que lo hace crecer) ─ (Lo que lo hace decrecer)

 

 

1)        dP/dt = A P T ─ B P            (Ecuaciones de Lotka-Volterra)

2)        dT/dt = C T ─ D P T

 

   La primera ecuación nos indica que el ritmo de crecimiento de P (parásitos) se ve favorecido por la interacción entre P (parásitos) y T (trabajadores), mientras que P decrecerá según su propia tasa de mortalidad (siendo A, B, C y D constantes de proporcionalidad que tendrán distintos valores según sea la aplicación de este conjunto de ecuaciones).

 

   Si no existiese la interacción con los trabajadores T (constante A = 0), la población de parásitos P tendería a decrecer y a extinguirse, ya que tendría preponderancia el término negativo.

 

   La segunda ecuación indica que la cantidad de trabajadores T aumenta en función de su propia tasa de crecimiento y decrece en función de las interacciones con los “parásitos”, que tienden a limitarla.

 

   Si se desea hacer cálculos y predicciones con estas fórmulas, podemos expresarlas en forma de incrementos en lugar de diferenciales. Tendremos así:

 

ΔP = (A P T ─ B P) Δt

 

   P1 = P0 + ΔP

 

ΔT = (C T ─ D P T) Δt

 

    T1 = T0 + ΔT

 

Así, la población en el periodo de tiempo 1 (P1) se calcula a partir de la población inicial (P0) a la cual se le agrega el incremento de población ocurrido en ese periodo, es decir, ΔP. De la misma forma, a partir de P1 se ha de calcular P2, y así sucesivamente. Algo similar ocurre con la población T.

 

   Este es un ejemplo de empleo de las matemáticas del cambio, como lo es el cálculo diferencial. Así, cuando leemos “dP/dt” decimos “derivada de P respecto del tiempo t”, siendo una medida de la velocidad de cambio, o de variación, existente entre dos variables ligadas funcionalmente. En este caso, es la población de parásitos P que depende del tiempo t.

 

   El ejemplo mencionado constituye la “visión marxista de la sociedad capitalista”, en la cual el empresario es perverso, no trabaja y explota al trabajador, quien reúne en sí todas las virtudes que uno pueda imaginar. Demás está decir que, en la gran mayoría de los casos, no se ajusta a la realidad.