สมมติฐานทางสถิติ (Statistical Hypothesis)

หัวข้อนี้ จะกล่าวถึงพื้นฐานการตั้งสมมติฐานทางสถิติ การทดสอบสมมติฐานดังกล่าว และการสรุปผลการทดสอบสมมติฐาน โดยทั่วไปเมื่อเราเกิดข้อปัญหา หรือข้อสงสัยใดๆแล้ว ก่อนอื่นเราจะต้องเริ่มต้นด้วยการตั้งข้อสงสัยกับปัญหาดังกล่าวเสียก่อน แล้วค่อยนำข้อสงสัยดังกล่าว มาพิสูจน์ว่า ที่เราสงสัยดังกล่าวเป็นจริงหรือไม่  ซึ่งในวิชาสถิติ เราเรียกข้อสงสัยดังกล่าวว่า สมมติฐาน และการพิสูจน์ข้อสงสัยเราก็เรียกว่า การทดสอบสมมติฐาน เช่นเดียวกัน

การที่เราสามารถใช้ข้อมูลจากตัวอย่างเพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของประชากรได้นั้น  ไม่ได้แปรว่าเรารู้พฤติกรรม ของประชากรได้ทั้งหมด เพราะยังมีปัญหาทางวิศวกรรมอีกมากมาย ที่ต้องการการตัดสินใจ  ในทางปฏิบัติผู้ใช้สถิติจะนำ เอาปัญหาดังกล่าวมาตั้งเป็นสมมุติฐาน แล้วก็ทำการทดลอง เก็บข้อมูล แล้ววิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์  และตัดสินใจที่จะยอมรับหรือปฏิเสธสมมติฐาน โดยอ้างอิงตามผลการวิเคราะห์ดังกล่าว  ซึ่งเราเรียกกระบวนการทั้งหมดนี้ว่า การทดสอบสมมติฐาน (Hypothesis Testing)  ซึ่งจัดว่าเป็นการประยุกต์ใช้หลักวิชาสถิติ ที่สำคัญ

ตัวอย่าง  วิศวกรกำลังศึกษาเรื่องอัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นในเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเครื่องหนึ่ง โดยข้อกำหนดบ่งบอกไว้ว่า อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นนี้จะต้องเท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที แต่ปรากฏว่าเกิดปัญหาเรื่องความร้อนขึ้นเสมอๆ โดยวิศวกรสงสัยว่าอัตราไหลของน้ำหล่อเย็นอาจจะไม่ตรงตามข้อกำหนดก็ได้ จึงต้องการพิสูจน์ทราบปัญหาดังกล่าว โดยต้องการตัดสินใจว่า อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็น เท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที หรือไม่เท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที

• สมมติฐานฐานหลัก ( Null Hypothesis ) เขียนสัญลักษณ์ด้วย( Ho )  เป็นความเชื่อเบื้องต้นว่าสิ่งที่เราสนใจหาคำตอบ ไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลง หรือหากไม่มีเหตุผลหรือหลักฐานเพียงพอ เราจะยอมรับสมมติฐานหลักไว้ก่อน ถ้าเทียบกับกระบวนการทางศาลยุติธรรม เราจะถือว่าผู้ต้องหาไม่มีความผิด จนกว่าจะมีหลักฐานชัดเจนมาพิสูจน์เท่านั้น  เช่นเดียวกัน ในกรณีนี้ อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นตกเป็นผู้ต้องสงสัยว่าจะไม่เท่ากับข้อกำหนด หรือไม่เท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที  แต่เราจะต้องเชื่อไว้ก่อนว่ายังเท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาทีอยู่ จนกว่าจะมีข้อมูลหรือหลักฐานมาพิสูจน์ จากตัวอย่างข้างบน สมมติฐานหลักก็คือ             

           ( เขียนเป็นภาษามนุษย์)                Ho :  อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นเท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที

           ( เขียนเป็นภาษาทางวิชาสถิติ )    Ho :  m = 50 m²/min.

•  สมมติฐานรอง หรือสมมติฐานทางเลือก (Alternative Hypothesis) เขียนสัญลักษณ์ด้วย ( Ha หรือ H₁ ) เป็นทางเลือกที่จะเป็นไปได้หาก สมมติฐานหลักถูกปฏิเสธ ดังนั้นทางเลือกจึงอาจจะมีมากกว่าหนึ่งทาง แล้วแต่เราจะตัดสินใจ แต่จะขึ้นอยู่กับ สมมติฐานหลักด้วย  อย่างกรณีตัวอย่างนี้ เมื่อสมมติฐานหลัก เขียนว่า อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นเท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที สมมติฐานทางเลือกที่เป็นไปได้มี 3 ทางเลือกคือ ไม่เท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที   มากกว่า 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที  และน้อยกว่า 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที  

                   -   ถ้าตัวอย่างนี้ต้องการพิสูจน์์ว่า เท่าหรือไม่เท่า ก็จะเขียนสมมติฐานทางเลือกได้ดังนี้

             ( เขียนเป็นภาษามนุษย์)                 Ha :  อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นไม่เท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที

            ( เขียนเป็นภาษาทางวิชาสถิติ )      

            ในกรณีนี้ เท่ากับว่า Alternative hypothesis จะเป็นจริงถ้าค่า น้อยกว่า หรือมากกว่า 50 m²/min. เราจึงเรียกกรณีนี้ว่า  Two-side alternative hypothesis 

                    -  บางกรณีเราต้องการพิสูจน์ว่า จะมากหรือน้อยกว่า  50 m²/min. ก็จะเขียนสมมติฐานทางเลือกได้ดังนี้

            ( เขียนเป็นภาษามนุษย์)                Ha :  อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นน้อยกว่า 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที

            ( เขียนเป็นภาษาทางวิชาสถิติ )      Ha :  m < 50 m²/min.

            หรือ                 Ha :  อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นน้อยกว่า 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที

                                   Ha :  m > 50 m²/min.

           ในกรณีแรก Alternative hypothesis จะเป็นจริงถ้าค่า น้อยกว่า  50 m²/min. และในกรณีที่สอง Alternative hypothesis จะเป็นจริงถ้าค่ามากกว่า 50 m²/min.  เราจึงเรียกทั้งสองกรณีนี้ว่า One-side alternative hypothesis

การตั้งสมมติฐานเราจะกล่าวถึงประชากรเท่านั้น ไม่ใช่ตัวอย่างที่เราเก็บมา  ค่าคงที่ที่เรานำมาใช้ตั้งสมมติฐานหลักนั้นจะมีที่มาได้ 3 ทางดังนี้

1. ได้มาจากข้อมูลเก่า หรือค่าที่กระบวนการดังกล่าวเป็นอยู่ในอดีต หรืออาจจะได้มาจากการทดลองก่อนหน้านี้ก็ได้  ซึ่งกรณีนี้แปลว่าเรากำลังพิสูจน์ว่า ค่าพารามิเตอร์หรือ กระบวนการ ได้เปลี่ยนแปลงไปหรือยัง
2. ได้มาจากทฤษฎี ผลการวิจัย หรือผลจากแบบจำลองในห้องปฏิบัติการ  ดังนั้นการทดสอบสมมติฐานในกรณีนี้จะเป็นการ พิสูจน์ทราบหรือยืนยัน ทฤษฎี  หัวข้อการวิจัย หรือแบบจำลอง ว่าถูกต้องหรือไม่
3. ได้มาจากข้อกำหนดทางวิศวกรรม (Engineering specification) ในกรณีนี้แปลว่าเราต้องการทดสอบว่ากระบวนการ ยังตรงตามข้อกำหนดหรือไม่

การทดสอบสมมติฐานทางสถิติ (Tests of Statistical Hypotheses.)

จากโจทย์ตัวอย่าง สมมติฐานหลักที่เราต้องการทดสอบคืออัตราการไหลของน้ำหล่อเย็น 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที ซึ่งเป็นค่าโดยเฉลี่ย และหากเราตั้งสมมติฐานรองว่า อัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นไม่เท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที เราจึงเขียนสมมติฐานที่ต้องการทดสอบ ได้ดังนี้

วิศวกรเริ่มบันทึกค่าอัตราการไหลของน้ำ โดยวัดค่ามาจำนวน 20 ค่า โดยเลือกบันทึกค่าในช่วงเวลาที่มีปัญหาเรื่องความร้อน ดังที่เป็นปัญหาตามที่กล่าวตั้งแต่แรก  และการบันทึกค่าแต่ละครั้งก็ให้มีช่วงห่างกันอย่างต่ำหนึ่งชั่วโมง  เมื่อเริ่มทำการทดสอบสมมติฐาน จะต้องนำข้อมูลตัวอย่าง ทั้ง 20 ค่านี้มาหาค่าเฉลี่ย ( X  ) ซึ่งก็คือค่า ประมาณการของค่ากลางของประชากร ( m ) นั่นเอง  เราจะยอมรับสมมติฐานหลัก ถ้าค่า ( X  ) อยู่ใกล้เคียงกับค่า 50 m²/min  ในทางตรงกันข้ามเราจะปฏิเสธสมมติฐานหลักถ้าค่าไม่ใกล้เคียง   50 m²/min  และยอมรับ สมมติฐานทางเลือกแทน

เราจึงเรียกค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ( X  ) ว่า  ตัวสถิติในการทดสอบ ( Test statistic ) แต่ในทางปฏิบัติ สมมติเก็บค่าตัวอย่าง 20 ตัวอย่างใหม่เป็นรอบที่สองหรือสาม หรือหลายๆรอบ  เมื่อหาค่าเฉลี่ยของตัวอย่างแต่ละรอบ ก็จะได้แตกต่างกัน ทั้งมากหรือน้อยกว่า 50 m²/min  ดังนั้นจะยอมรับหรือปฏิเสธ สมมติฐานหลักจึงต้องใช้ทฤษฎี Confidence Interval เข้ามาสนับสนุน  ถ้าหากในการเก็บตัวอย่างครั้งนี้ เราได้ค่าย่านความเชื่อมั่น ( Confidence interval ) อยู่ที่      เราจะยอมรับ Ho แต่ถ้ามากหรือน้อยกว่านี้เราจะปฏิเสธ Ho อธิบายด้วยภาพได้ดังนี้

ค่าตั้งแต่ 48.5 จนถึง 51.5 เราถือว่าเป็นย่านที่ยอมรับ Ho หรือ ไม่สามารถปฏิเสธ Ho ได้ เราเรียกว่า Acceptance region ค่า 48.5 และ 51.5 ซึ่งเป็นจุดแบ่งระหว่างการยอมรับและปฏิเสธ Ho  เราเรียกว่าค่าวิกฤติ ( Critical values )  ย่านที่ค่าน้อยกว่า 48.5 และมากกว่า 51.5 เราถือว่าเป็นย่านที่ปฏิเสธ Ho หรือเรียกว่า Critical region

แต่ในบางครั้งเราก็อาจจะปฏิเสธสมมติฐานหลัก หรือ Reject Ho ทั้งๆที่จริงๆแล้วค่าเฉลี่ย m (ของประชากร)  ยังเท่ากับ 50 m²/min   อยู่ แต่ด้วยเป็นเพราะค่าตัวอย่างที่เราไปสุ่มมามีโอกาสที่จะได้เกาะกลุ่มกันอยู่ค่าที่เมื่อหาค่าเฉลี่ยแล้ว ตกอยู่ในย่านปฏิเสธ Ho  แสดงว่าเราตัดสินใจผิด เราเรียกเหตุการณ์กรณีนี้ว่า ความผิดพลาดประเภทที่ 1 ( Type I error)

ในทางตรงกันข้ามบางครั้งเราก็ยอมรับสมมติฐานหลักว่าค่า m ยังเท่ากับ 50 m²/min อยู่ ทั้งๆที่ ค่าเฉลี่ยของประชากร ( m ) จริงๆเปลี่ยนไปแล้วและไปอยู่ในย่านปฏิเสธ Ho แล้ว แต่ด้วยการสุ่มเก็บค่าตัวอย่างทำให้ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง  ( X  ) ตกอยู่ในย่านยอมรับ Ho แสดงว่าเกิดการตัดสินใจผิดพลาด  เราเรียกเหตุการณ์กรณีนี้ว่า ความผิดพลาดประเภทที่ 2 ( Type II error)

ค่าระดับนัยสำคัญ ( Level of significance )

หมายถึงค่าโอกาสที่เราจะตัดสินใจผิดพลาด โดยธรรมชาติกรณีความผิดพลาดประเภทที่ 1 ( Type I  error ) นั้น ระดับความรุนแรงหรือความซีเรียส จะมากกว่ากรณีความผิดพลาดประเภทที่ 2 ( Type II error  )  เช่น กรณีที่ศาลตัดสินให้ผู้บริสุทธิ์ เป็นผู้มีความผิด เราจะถือว่าไม่น่าให้เกิดบ่อยๆ แต่ถ้าตัดสินว่าผู้กระทำความผิด ไม่ต้องได้รับโทษ อันเนื่องมาจากหลักฐานยังไม่เพียงพอ ยังมีความรุนแรงหรือซีเรียสน้อยกว่า  ในวิชาสถิติเรามีความจำเป็นที่จะต้องลดระดับความเสี่ยงในการตัดสินใจผิดให้ต่ำที่สุด หรืออีกนัยหนึ่งก็คือเราจะต้องให้มีเกิดความผิดพลาดในการตัดสินใจให้น้อยที่สุด เราเรียกว่า ระดับนัยสำคัญ

กรณี Type I error เราใช้สัญลักษณ์ a ( Alpha) โดยทั่วไป เราจะยอมรับให้มีค่าในช่วง 0.01 ถึง 0.1 หรือให้เกิดการตัดสินใจผิดพลาดประเภทที่ 1 ได้ 1% ถึง 10% นั่นแปลว่าระดับความมั่นใจ ที่ตัดสินใจถูกต้องที่ยอมรับได้จะอยู่ที่ 0.99 ถึง 0.90 หรือ 90% ถึง 99%

ในกรณี Type II error เราใช้สัญลักษณ์ b ( Beta) โดยทั่วไป เราจะยอมรับให้มีค่าในช่วง 0.1 ถึง 0.3 หรือให้เกิดการตัดสินใจผิดพลาดประเภทที่ 2 ได้ 10% ถึง 30% นั่นแปลว่าระดับความมั่นใจ ที่ตัดสินใจถูกต้องที่ยอมรับได้จะอยู่ที่ 0.90 ถึง 0.70 หรือ 70% ถึง 90%

แต่ทั้งนี้ทั้งนั้น การที่เราจะเลือกค่านัยสำคัญทั้งสองนี้ เท่าใด ก็ขึ้นอยู่กับความรุนแรงหรือซีเรียส ถ้าหากมีการตัดสินใจผิดพลาด ไม่ได้มีสูตรตายตัวหรือข้อกำหนดตายตัว ขึ้นอยู่กับสถานะการ

 P-Value 

โดยทั่วไป เมื่อเราต้องการสรุปผลการทดสอบสมมติฐานนั้น เราจะสนใจว่า สมมติฐานหลัก (Null hypothesis) ถูกยอมรับหรือปฏิเสธ ถ้าถูกยอมรับ นั่นก็แปลว่า สมมติฐานเป็นจริง หรือแปลว่าสมมติฐานนั้นไม่เป็นจริง ถ้าถูกปฏิเสธ  จึงมีการกำหนดค่าระดับนัยสำคัญ เพื่อที่จะบอกยอมรับหรือปฏิเสธ Null hypothesis เราเรียกว่า Probability Value ( P-Value ) 

ค่า P - Value นี้จะอ้างอิงอยู่กับ  a  โดยที่ P-Value คือค่า Actual ของ probability ซึงได้จากการคำนวณ ส่วน a คือเส้นกำหนด หรือจุดแบ่งระหว่างการยอมรับ หรือปฏิเสธสมมติฐานหลัก ซึ่งก็คือ Probability เหมือนกัน  เราจะยอมรับสมมติฐานหลัก ถ้า P-Value มากกว่า a และปฏิเสธ ถ้า P-Value เท่าหรือน้อยกว่า

การคำนวณหาค่า P-Value มีทั้งหมด 3 กรณี ตามการกำหนดรูปแบบการทดสอบสมมติฐาน คือ

กรณีการทดสอบมากกว่า ( Upper-tailed test) ค่า P-value จะเท่ากับพื้นที่ด้านขวามือของค่า Z หรือ  t ที่คำนวณได้ ( T_calculated)  ในกรณีนี้ a ก็จะเท่ากับพื้นที่ตั้งแต่ขวามือของค่า T_critical ไปจนสุดขอบ

  P-Value = Area in upper tail

กรณีการทดสอบน้อยกว่า ( Lower-tailed test) ค่า P-value จะเท่ากับพื้นที่ด้านซ้ายมือของค่า -Z หรือ  -t ที่คำนวณได้( T_calculated)  ในกรณีนี้ a ก็จะเท่ากับพื้นที่ตั้งแต่ซ้ายมือของค่า T_critical ไปจนสุดขอบ

  P-Value = Area in lower tail

กรณีการทดสอบไม่เท่ากับ (Two-tailed test) ค่า P-value จะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ด้านซ้ายมือของค่า -Z หรือ  -t และทางขวามือของ  ค่า Z หรือ  t   ที่คำนวณได้   ในกรณีนี้ a ก็จะเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ตั้งแต่ซ้ายมือของค่า T_critical หรือ  -T_criticalไปจนสุดขอบ

 P-Value = Sum of area in two tails

ดังนั้น  a คือ พื้นที่ใต้กราฟ เมื่อใช้ค่า Z หรือ  T- Critical  ซึ่งก็คือเกณฑ์ หรือ Limit นั่นเอง ส่วน P-Value คือพื้นที่ใต้กราฟ เมื่อใช้ค่า Z หรือ T- Calculated ซึ่งก็คือค่า Actual ที่ได้จากการ วิเคราะห์ จากข้อมูลจริง