ประชากรและตัวอย่าง (Population & Sample )

การศึกษาวิชาสถิติ (Statistics ) จำเป็นอย่างมากที่ผู้ศึกษาจะต้องเข้าใจ คำว่าประชากร และตัวอย่าง อย่างถ่องแท้เสียก่อน ในบทนี้จะขอกล่าวถึงสอง เรื่องนี้ เพื่อแสดงให้เห็นถึงความ เหมือน หรือ ความแตกต่างกัน ของประชากรและตัวอย่าง  เพื่อเป็นพื้นฐานความเข้าใจสำหรับหัวข้ออื่นๆด้วย

ประชากร (Population)

มีจำนวนมากจนไม่อาจจะเก็บข้อมูลได้หมด แน่นอนว่า หากเราสามารถเก็บข้อมูลได้หมด นั่นแปลว่าเราสามารถอธิบายประชากรได้ถูกต้อง 100% เช่น. การศึกษาเรื่องน้ำหนักแรกเกิดของทารกในประเทศไทย คำว่าประชากรในการศึกษาครั้งนี้ก็คือน้ำหนักของทารกแรกเกิดทุกคนในประเทศไทย  แน่นอนว่าจะต้องไม่มีที่สิ้นสุด เพราะจะมีทารกแรกเกิด เกิดขึ้นทุกวันๆ  อีกอย่างก็คือ เป็นไปไม่ได้ที่ผู้ทำการศึกษาจะสามารถเก็บรวบรวม ค่าน้ำหนักทารกแรกเกิดใหม่ ได้ทุกคน จะต้องมีข้อจำกัดมากมาย ทั้งต้นทุนในการดำเนินการ เวลา และทรัพยากรอื่นๆ

หรือถ้ายกตัวอย่างในงานทางอุตสาหกรรม วิศวกรต้องการศึกษาเรื่องน้ำหนักบรรจุหนึ่งถุงของปูนซิเมนต์ คำว่าประชากรก็คือน้ำหนักบรรจุปูนซิเมนต์ทุกถุง ทั้งที่อยู่ในโกดังเก็บ ทั้งที่ส่งไปหาลูกค้าแล้ว ทั้งที่กำลังอยู่ในสายการผลิต จะเห็นได้ว่า ไม่มีวันที่วิศวกรจะเก็บข้อมูลได้ทุกถุงหรอก

แต่ก็มีงานบางอย่างที่จำเป็นต้องเก็บข้อมูลของประชากรทั้งหมด เช่น. งานสัมมโนประชากร ซึ่งเป็นเรื่องที่ภาครัฐจำเป็นต้องมีข้อมูลของคนทุกคนในประเทศ แต่จะเห็นได้ว่ารัฐต้องใช้ บุคคลากร อุปกรณ์ เครื่องมือ เงิน รวมถึงทรัพยากร ต่างๆไปอย่างมากมายกว่าจะทำได้

ตัวอย่าง (Sample)

เมื่อเราไม่อาจจะเก็บข้อมูลของประชากรทุกตัวได้ เราจึงมีวิธีที่จะเก็บเอาเพียงบางตัว บางส่วน บางช่วงเวลา ของประชากร เพื่อมาทำการวิเคราะห์ แล้วนำผลที่ได้กลับไปประมาณหรืออธิบายถึงประชากร อีกที สมาชิกของประชากรที่เราเก็บค่ามาดังกล่าวเรียกว่าตัวอย่าง  แน่นอนว่าเมื่อเราทำการศึกษาผ่านตัวอย่างย่อมให้ผลลัพธ์ ที่ผิดพลาดไปจากค่าที่แท้จริงของประชากรบ้าง  เราจึงต้องคำนึงถึง ระดับความเชื่อมั่นที่เราจะสามารถยอมรับความผิดพลาดดังกล่าว  มีองค์ประ กอบหลายประการที่เกี่ยวข้องกับระดับความเชื่อมั่น เช่น. วิธีการเก็บตัวอย่างจากประชากร  จำนวนตัวอย่างที่เก็บค่ามา  แม้แต่เครื่องมือทางสถิติที่เราเลือกใช้ในการวิเคราะห์  เป็นต้น ดังนั้นจึงมีความจำเป็นที่จะ ต้องมีแบบแผนอย่างถูกต้องด้วยในการที่จะเก็บตัวอย่าง  ที่ผู้ทำการศึกษาควรให้ความสนใจ

ข้อเปรียบเทียบทางสถิติระหว่างประชากรและกลุ่มตัวอย่าง

จากรูปข้างบนเป็นภาพอธิบายเปรียบเทียบ การกระจายของข้อมูลของประชากรและของกลุ่มตัวอย่าง เพื่อให้เห็นว่ากลุ่มตัวอย่าง จะมีความใกล้เคียงกับประชากร มาก ภายใต้เงื่อนไข การเก็บตัวอย่างที่ถูกต้อง สิ่งที่ใช้อธิบายประชากรเราจะเรียกว่า Population Parameter ส่วน ของกลุ่มตัวอย่างเราจะเรียกว่า Sample Statistics

ตัวประมาณการและค่าประมาณการ (Estimator and Estimated value )

เนื่องจากในความเป็นจริงทางวิชาสถิติเรามิอาจจะรู้ค่า Population Parameter ได้เลย สิ่งที่เราสามารถรู้ได้ก็คือ Sample Statistics เท่านั้น แต่เนื่องจาก ท้ายที่สุดแล้วเราต้องการรู้ Population parameter ต่างหาก เราจึงใช้ Sample Statistics มาประมาณค่า Population parameter เราจึงเรียก  x ว่าตัวประมาณค่ากลาง (m ) ของประชากร  ( Population mean estimator) นั่นหมายความว่า ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ก็เป็นค่าโดยประมาณของค่ากลางของประชากร  และเราเรียก s ว่าตัวประมาณการค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s) ของประชากร (Population standard deviation estimator ) นั่นหมายความ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง ก็เป็นค่าโดยประมาณของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ของประชากรด้วยเช่นกัน

ระดับองศาอิสระของข้อมูล (Degree of freedom )

1. Degree of freedom คือค่าที่ใช้เพื่อชดเชย ความผิดพลาดของตัวอย่าง (Sample) เมื่อนำมาคำนวนหาค่าสถิติ คือค่าการกระจายของข้อมูล (Standard deviation)     เนื่องจากในความเป็นจริงแล้ว ค่าดังกล่าวนี้ จะเล็กกว่าค่า  Population Parameter เสมอ เนื่องจากโดยส่วนมากแล้ว เรามิอาจหาตัวแทนของประชากรได้ ตรง 100% เมื่อเป็นดังนี้ เมื่อเรานำไปประมาณค่า Population Parameter เราก็จะได้ค่า Population Standard Deviation ที่เล็กกว่าความเป็นจริงเสมอ  เพื่อแก้ไขข้อผิดพลาดดังกล่าว เราจึงลดตัวหาร ลง หนึ่งตัว เพื่อชดเชยปรากฎการณ์ดังกล่าว ดังนั้นสมการในการหาค่า Sample Standard Deviation ตัวหารหรือ Degree of freedom จึงเท่ากับจำนวนตัวอย่างลบด้วย 1 เสมอ  แต่ถ้าหากว่าเรามิได้มีจุด ประสงค์จะนำค่า  s ไปประมาณค่า (s) หรือพูดง่ายๆคือเราแค่อยากอธิบายข้อมูลของตัวอย่างที่เก็บมาเท่านั้นไม่ได้เอาไปคาดการณ์ค่า   Population Parameter เราก็ไม่จำเป็น ต้องลดตัวหารลงแต่อย่างใด 

2. เนื่องจากเราต้องการเอาค่า  Sample Statistics ไปประมาณค่า Population parameter  เราจึงใช้  x ประมาณค่ากลาง ( m ) ของประชากร เพราะเรามิอาจจะรู้ค่า  (m ) ที่แท้จริงได้ และโดยธรรมชาติแล้วค่า x ใดๆ ที่เราเก็บมาจากการสุ่มตัวอย่างนั้น จะมีแนวโน้มเข้าหาค่า x  ไม่ใช่เข้าหาค่า ( m ) เมื่อเราหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน Standard Deviation โดยยึดค่า x จึงทำให้ค่าที่ได้มานั้นผิดพลาดไปจากที่ควรจะเป็น เราจึงจำเป็นต้องชดเชยค่า s ให้เข้าใกล้ ( s )   ให้มากที่สุด ตัวหารในสมการจึงถูกลดลงไป หนึ่งตัวเสมอ

3. เมื่อไหร่ก็ตามที่มีการวิเคราะห์ หรือกระทำการทางคณิตศาสตร์ ระหว่างข้อมูลของ Sample สองกลุ่มหรือมากกว่า Degree of freedom ของแต่ละ Sample ก็ต้องถูกลดลง 1 เหมือนกัน อันส่งผลให้ Degree of freedom รวม จะลดลงมากกว่า 1 ตัว