การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่ากลางของสองประชากรที่มีการกระจายแบบปกติแต่ไม่อิสระต่อกัน (Test Concerning a Difference Between Two Means of two normal population : Paired Data )

จากหัวข้อที่ผ่านมาเป็นการทดสอบความแตกต่างของค่ากลาง ของข้อมูลสองกลุ่ม โดยที่ข้อมูลทั้งสองกลุ่มไม่ได้ผูกพันธ์ หรือ มีความเป็นอิสระต่อกัน การวิเคราะห์ความแตกต่างจะมองที่ค่ากลางของข้อมูลกลุ่มตัวอย่างทั้งสอง  หัวข้อต่อไปนี้จะกล่าวถึงกรณีที่ข้อมูลทั้งสองกลุ่มนี้ไม่เป็นอิสระต่อกัน หรือ มีความผูกพันธ์กัน ในลักษณะ 1 ต่อ 1 ซึ่งเราเรียกว่า คู่ (Pair) นั่นเอง ข้อมูลของแต่ละ Pair จะถูกเก็บภายใต้เงื่อนไขเดียวกัน แต่ระหว่าง Pair อาจจะไม่ใช่เงื่อนไขเดียวกันก็ได้ ทั้งนี้เป็นการ ควบคุม (Treat ) ข้อมูลให้มากขึ้น เพื่อให้เห็นถึงความแตกต่างกันให้ชัดเจนมากขึ้นนั่นเอง ซึ่งการวิเคราะห์ความแตกต่างกระทำถึงระดับความต่างของข้อมูลแต่ละคู่โดยตรง นี่คือความแตกต่างกับกรณีข้อมูล อิสระต่อกันในหัวข้อที่ผ่านมา

 ตัวอย่าง  ต้องการทดสอบความแตกต่างของเข็มทดสอบความแข็งของชิ้นส่วนพลาสติก 2 ชนิด เพื่อหาว่าเข็มทดสอบทั้งสองชนิดมีความแตกต่างในประสิทธิภาพการทดสอบหรือไม่ การหาค่าบ่งบอกถึงประสิทธิภาพดังกล่าวจะวัดจากความลึกที่เข็มกดลงในเนื้อชิ้นงานพลาสติก โดยแต่ละครั้งที่กด จะกำหนดแรงกดเท่ากันทุกครั้ง หากเราทำการเลือกชิ้นงานพลาสติกที่จะทำการทดสอบโดยการสุ่ม และทุกครั้งของการทดลองก็เปลี่ยนชิ้นงานทุกครั้ง เมื่อจะทำการทดสอบสมมติฐาน เราก็จำเป็นต้องใช้ Two sample t-test  ในการทดสอบ ซึ่งการทำการทดลองเช่นนี้อาจให้ผลสรุปที่ผิดพลาดได้มาก เนื่องจากความแตกต่างที่พบอาจจะเป็นเพราะการใช้ชิ้นงานพลาสติกต่างกลุ่ม  ต่าง lot ที่ผลิต หรือต่างวันที่ผลิต ซึ่งส่งผลให้ความแข็งของพลาสติกแตกต่างกันไป เมื่อวัดค่าความลึกของรอยกด ก็ได้ค่าที่แตกต่างกันได้แต่เมื่อใช้ Two sample t-test ก็จะรวมเอาผลจากปัจจัยต่างๆเข้ามาเป็นผลความแตกต่างอันเกิดจากเข็มทดสอบเพียงอย่างเดียว

วิธีที่จะจำกัดความแตกต่างดังกล่าวให้เป็นผลมาจากความแตกต่างของเข็มทดสอบเพียงอย่างเดียว โดยขจัดผลจากปัจจัยอื่นๆออกให้มากที่สุด  ผู้ทำการทดลองจะต้องใช้ ชิ้นงานเดียวกัน ในการทดสอบ เข็มสองชนิดแต่ละคู่ หมายความว่า เข็มคู่แรก ก็ใช้ชิ้นงานเดียวกัน คู่ที่สอง ก็ให้ใช้ชิ้นงานชิ้นถัดไป เข็มคู่ที่สาม หรือสี่ ตลอดจนคู่ อื่นๆ ก็ใช้วิธีเดียวกัน เมื่อการทดลองเป็นดังนี้ เราเรียกว่าการทดลองแบบ Paired ขอ้มูลที่ได้ก็จะเป็น Paired ด้วยเช่นกัน ดังตัวอย่างข้อมูล และวิธีการวิเคราะห์ข้อมูล

                                                                                                                                ข้อมูล : ความลึกของรอยกด หน่วยเป็นนิ้ว

       เริ่มต้นในการวิเคราะห์

1. หาผลต่างของข้อมูลแต่ละคู่ก่อน  d  =  Xi(pin#1) - Xi(pin#2) 

2. หาค่าเฉลี่ยของค่าผลต่าง จาก          

3. ตั้งสมมติฐาน  หากข้อมูลทั้งสองกลุ่ม ไม่แตกต่างกันแล้ว   d = 0   และนี่คือข้อสมมติฐาน   ถ้ากำหนดให้  m_d = d 

      กรณีทดสอบ สองด้าน

หรือ

กรณีทดสอบด้านบน (มากกว่า)

หรือ

กรณีทดสอบด้านน้อยกว่า

4. กำหนดตัวทดสอบสมมติฐาน  เมื่อสมมติหลักมีว่า  Ho : m_d = 0  เราจึงเลือกใช้  1-Sample t- test  ทดสอบค่าเฉลี่ยของผลต่างทั้งหมด โดยค่าคงที่ในการทดสอบคือ 0  

5. หา Degree of freedom จาก     

6. หาค่า t_critical  จาก ตาราง หรือโดยการใช้ MS Excel , Minitab โดยที่   t_critical  = t_a,df   หรือ  = t_a/2,df  แล้วแต่กรณี

ึ7. สรุปผลการทดสอบสมมติฐาน โดย

            -  กรณีทดสอบแบบสองด้าน ให้ปฏิเสธสมมติฐานหลัก  H₀: m_d= 0   ถ้า    - t_a/2,df < t₀ <t_a/2,df

            -  กรณีทดสอบแบบด้านมากกว่า ให้ปฏิเสธสมมติฐานหลัก  H₀: m_d= 0  ถ้า     t₀ > t_a,df

           -  กรณีทดสอบแบบด้านน้อยกว่า ให้ปฏิเสธสมมติฐานหลัก  H₀: m_d= 0  ถ้า     t₀ < - t_a,df

จากข้อมูลตามตารางข้างบน ถ้ากำหนดค่าระดับความเชื่อมั่นในการทดสอบไว้ที่ 95% ให้ทำการทดสอบสมมติฐาน และสรุปว่า เข็มทดสอบสองชนิดดังกล่าวให้ผลแตกต่างกันในการทดสอบความแข็งของชิ้นงานหรือไม่

1. ตั้งสมมติฐาน  

2. กำหนดค่าระดับนัยสำคัญ  a = 0.05

3. หาค่าสถิติทดสอบ   จาก

4. หา degree of freedom 

                df = n-1 =  24-1  =  23

5. หาค่า  t_0.025,23   โดยเปิดตาราง T-Distribution ได้  t_critical = 2.069  

หรือใช้ MS Excel

6. สรุปผลการทดสอบสมมติฐาน

เมื่อ         t₀ มีค่า อยู่ระหว่าง -2.06 ถึง 2.06  เราจึงยอมรับสมมติฐานหลักที่ว่า   H₀: m_d = 0   นั่นคือ ผลต่างของข้อมูลทั้งสองกลุ่มเท่ากับ 0 อย่างมีนัยสำคัญ และสุดท้ายเราก็สามารถสรุปผลการทดลองได้ว่า เข็มทดสอบทั้งสองชนิด ไม่มีความแตกต่างกันในแง่ของความลึกในการทดสอบชิ้นงานพลาสติก

หากทดสอบโดยใช้ MS Excel จะได้ดังนี้ (ดูหัวข้อการประยุกต์ใช้ MS Excel ในการวิเคราะห์ Paired t-test)

เมื่อ P-Value (two tail)  = 0.4007 ซึ่งมากกว่า a (0.05)  เราจึงยอมรับสมมติฐานหลัก

หากใช้โปรแกรม Minitab จะให้ผลดังนี้

Paired T for Pin_1 - Pin_2

          N      Mean      StDev        SE Mean

  Pin_1   24    0.04507    0.00863      0.00176

  Pin_2   24    0.04444    0.00888      0.00181

Difference 24 0.000629 0.003594 0.000734

95% CI for mean difference: (-0.000888, 0.002147)

T-Test of mean difference = 0 (vs not = 0): T-Value = 0.86 P-Value = 0.400

เมื่อ  P-Value  = 0.400 ซึ่งมากกว่า a (0.05)  เราจึงยอมรับสมมติฐานหลัก  หรือดูว่า หาก 0 อยู่ภายใน Confidence Interval (CI) ของ Difference ก็สรุปว่า เรายอมรับสมมติฐานหลักเช่นกัน