การกำหนดขนาดของสิ่งตัวอย่าง Sample size selection (n)

การที่เราต้องทำการทดลอง ในเรื่องอะไรก็ตาม เพื่อให้ได้ข้อมูลมาทำการวิเคราะห์ มีคำถามที่หลายคนคงจะตั้งคำถามกับตัวเอง เช่นตัวอย่างคำถามต่อไปนี้

“ จะใช้จำนวนตัวอย่างเท่าไหร่ ถึงจะมั่นใจ”

“ จำนวนข้อมูลที่เก็บมา มากพอหรือเปล่า”

“ จะเก็บข้อมูลเพิ่มอีกดีกว่าไหม จะได้มั่นใจ”

 หลายคนอาจจะตอบว่า ไม่เห็นจะยากเลย ก็เอาตัวอย่างให้เยอะที่สุด ไปเลย มั่นใจได้แน่นอน แต่เมื่อท่านได้ทราบข้อจำกัดดังตัวอย่างต่อไปนี้ท่านอาจจะเข้าใจมากขึ้นว่า ทำไม ถึงทำอย่างนั้นไม่ได้

1. ต้นทุน บางกรณีผู้ที่ทำการทดลองอาจจะต้องลงทุนสูงมากเพื่อให้ได้ข้อมูลมา เช่น กรณีทดลองฉีดวัคซีนป้องกันโรคเอดส์ เมื่อต้นทุนยาแต่ละเข็มก็สูง ค่าติดตามผลแต่ละคนที่ทดลองก็สูง ทำให้ต้องใช้เงิน ใช้คน มากขึ้น  หรือย่างกรณีทดสอบประสิทธิภาพเครื่องบินต้นแบบ การสร้างเครื่องต้นแบบเพื่อทดลองจำนวนมากก็จะทำให้ต้นทุนการทดสอบสูง จำเป็นต้องนำไปบวกกับราคาขาย ซึ่งก็ทำให้ราคาขายสูงขึ้นโดยใช่เหตุ สุดท้ายลูกค้าก็ซื้อไม่ได้ สินค้าขายไม่ได้ต่อให้ผลการทดลองเลิศแค่ไหน ก็หาคุณค่าไม่มี
2. เวลา บางครั้งการเก็บตัวอย่างต้องใช้เวลานานเพื่อให้ได้ข้อมูลมา  เช่น การทดสอบชิ้นงานโดยใช้เครื่องทดสอบ  หากเราเพิ่มจำนวนสิ่งตัวอย่างที่จะทดสอบ เราก็ต้องรอนานมากขึ้น ทำให้เสียเวลาโดยใช่เหตุ ซึ่งก็ทำให้ต้นทุนเพิ่มมากขึ้นทั้งโดยตรงคือค่าใช้จ่าย ค่าเสียเวลา และโดยทางอ้อม เช่น ทำให้สินค้าส่งมอบได้ช้าลง ทำให้คู่แข่งมีเวลามากขึ้น
3. ความผิดพลาด บางกรณีการเก็บข้อมูลที่มากเกินไป กลับส่งผลเสียต่อผลการวิเคราะห์ เนื่องจากความคาดเคลื่อนจากการเก็บข้อมูล  เช่น เมื่อต้องการข้อมูลมาก ก็ต้องเพิ่มคนเก็บข้อมูล ซึ่งเป็นบ่อเกิดของความแตกต่างอีกด้วย 

 องค์ประกอบในการกำหนดขนาดจำนวนสิ่งตัวอย่าง

1. b หรือ b-Risk คือระดับความเสี่ยงที่จะสรุปข้อมูลของสองประชากรนั้น ไม่มีความแตกต่างกัน จนถือว่ามีนัยสำคัญหรือเกินกว่าค่าวิกฤต (Critical difference) ทั้งๆที่จริงๆแล้ว ข้อมูลทั้งสองมีความแตกต่างกันจนมากกว่าค่าวิกฤต หรือมีนัยสำคัญแล้ว เราเรียกว่า Type II Error ซึ่งเมื่อเที่ยบกับ Type I Error แล้วระดับความรุนแรงแห่งความผิดพลาด จะน้อยกว่า ดังนั้นค่าที่ใช้โดยทั่วไปจะอยู่ที่ 5%-20% 

                    Power of the test  =  1-b

             ค่า Power of the test ก็คือระดับความมั่นใจ ว่าจำนวนตัวอย่างที่เราเลือกนั้น มีสูงแค่ไหน โดยทั่วไป จะอยู่ที่ 80% – 95% ด้วยเช่นกัน ซึ่งในการคำนวณหาขนาดสิ่งตัวอย่างนั้น ค่านี้ จะบ่งบอกความสามารถที่จะเห็น ความแตกต่าง ของข้อมูล 2 ข้อมูล 

3. d  หรือ D  คือระดับความแตกต่าง ที่เราจะถือว่าเริ่มมีนัยสำคัญแห่งความแตกต่าง โดยปกติเวลาเราทดสอบสมมติฐาน เราจะใช้วิธีดูค่าความแตกต่างของทั้งสองข้อมูล เช่น ความแตกต่างของค่าเฉลี่ย
4. s หรือ ค่าความแปร ปรวนของกระบวนการ ที่เป็นอยู่ขณะนี้ ซึ่งได้จากการเก็บประวัติ การประมาณการอย่างมีเหตุผล เป็นต้น
5. โปรแกรมคอมพิวเตอร์ เพื่อช่วยในการคำนวณ
6. กำหนดจำนวนตัวอย่าง ที่จะต้องใช้ในการเก็บข้อมูล
7. อาจจำเป็นต้องมีการทดสอบ และเปลี่ยนแปลงให้ได้จำนวนสิ่งตัวอย่างที่ดีที่สุด

เพื่อให้มองเห็นภาพของคำว่าความเสี่ยง ของทั้งสองแบบ รูปข้างล่างนี้จะอธิบายได้ดีขึ้น

 พื้นที่บริเวณ a เปรียบเสมือนปัญหา ระหว่างสองประชากร ความหมายก็คือ ที่จริงแล้วข้อมูลที่เก็บมาได้ยังเป็นข้อมูลของ Population 0 อยู่ แต่เนื่องจากเป็นส่วนปลายๆ ของ Population 0 ทำให้ไม่แน่ใจ เลยทำให้สรุปว่า เป็นส่วนของ Population A แล้ว

 ในทางตรงกันข้าม บริเวณ b ที่จริงแล้วข้อมูลที่เก็บมาได้เป็นข้อมูลของ Population A แล้ว แต่เนื่องจากเป็นส่วนปลายๆ ของ Population A และเป็นส่วนคาบเกี่ยวของทั้งสองประชากร ทำให้ไม่แน่ใจ เลยทำให้สรุปว่า เป็นส่วนของ Population 0 อยู่

  รูปอธิบาย ความแตกต่างวิกฤตของสองประชากร ( d  หรือ D  )

ความแตกต่างวิกฤต (Critical difference) เป็นความแตกต่างเชิงปฏิบัติที่ผู้ทำการทดลองต้องการจะตรวจสอบพบ ด้วยความน่าจะเป็นที่สูง   โดยทั่วไปแล้วผู้ทดสอบจะกำหนดให้มีโอกาสตามความคลาดเคลื่อน Type II error (b) ที่จะพลาด โดยตรวจไม่พบว่ามีความแตกต่าง

 ความสัมพันธ์ระหว่าง n , D และ s

 เมื่อขนาดสิ่งตัวอย่างเพิ่มมากขึ้น การประมาณค่า Parameter ของประชากรที่แท้จริงยิ่งจะมีความถูกต้องมากขึ้น ในทางทฤษฎีแล้วค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย (SE) รูปข้างล่างนี้จะช่วยให้มองเห็นภาพ ได้ง่ายขึ้น

ในทางตรงกันข้ามเมื่อเราใช้จำนวนสิ่งตัวอย่างมากขึ้น โอกาสที่เราจะสรุปผิดพลาดว่าสองประชากรนั้นมีความมีความแตกต่างกันอย่างมีนัยสำคัญ ทั้งๆ จริงๆแล้วไม่แตกต่างกัน (Type I Error) ก็มีน้อยลง แม้ว่าค่าความแตกต่างวิกฤต (D) จะเท่าเดิมอยู่ก็ตาม

ดังนั้นถ้าหากเราต้องการบอกให้ได้ว่าทั้งสองข้อมูลมีความแตกต่างกันจริง โดยที่ค่าความแตกต่างวิกฤต (d) ขนาดเล็ก เราจะต้องใช้จำนวนสิ่งตัวอย่างมากขึ้น เช่นกัน

 โดยสรุปความสัมพันธ์ระหว่าง n , D และ s  เป็นดังนี้

  เลือกค่า a , b และ D

การจะเลือกค่า a,b และ D ที่ถูกต้องนั้นถือเป็นภาระที่ยากมากที่สุดประการหนึ่งของผู้ทำการทดลอง เกณฑ์ในการเลือกก็ไม่มีกฎหรือสูตรตายตัว แต่ปัจจัยที่ต้องคำนึงถึงและใช้ในการกำหนดขนาดของสิ่งตัวอย่าง มีต่อไปนี้

1. ผลกระทบเรื่องค่าใช้จ่าย หากมีการการสรุปผิดแล้วต้องลงทุน ทั้งๆที่ไม่ควรจะลงทุน หากว่ามากก็ควรต้องใช้ a ต่ำ หากมีน้อย ก็อาจจะใช้ a ที่มากขึ้น โดยค่ามาตรฐานในอุตสาหกรรมทั่วไป จะใช้ประมาณ 5%  (a = 0.05)
2. ค่าพลาดโอกาสที่จะทำการปรับเปลี่ยน เพราะบังเอิญเราสรุปผิดพลาดว่าไม่ควรมีการเปลี่ยนแปลง ทั้งๆที่จริงๆควรเปลี่ยน หากมาก ก็ต้องใช้ b ที่ต่ำ หากไม่มากก็ใช้ b ที่สูง โดยค่ามาตรฐานในอุตสาหกรรมทั่วไป จะใช้ประมาณ ระหว่าง 10-20%  (b = 0.1 – 0.2)
3. ขนาดความแตกต่าง (D ) ที่เลือกใช้ มีเหตุผลเพียงพอหรือไม่ ที่จะมีการปรับปรุงหรือเปลี่ยนแปลง หากว่ามีกระบวนการหรือผลลัพธ์ที่เราสนใจ เปลี่ยนแปลงแค่เล็กน้อยก็มีความคุ้มที่จะปรับปรุง ก็ใช้ ค่า D ที่ต่ำ ตรงกันข้าม ต้องใช้ค่า D ที่มากขึ้นหากว่าความคุ้มค่าที่จะปรับปรุงต่ำ 

 การคำนวณหาขนาดของสิ่งตัวอย่าง

เราจำเป็นต้องกำหนดเกณฑ์การตัดสินใจ  C*  โดยอ้างอิงกับทฤษฎี Confidence Interval โดยที่

โปรดดูรูปประกอบเพื่อความเข้าใจ

   เมื่อรวมพิจารณาแล้วจะได้สมการดังนี้

จากสมการ เราจะเห็นว่าอัตราส่วนระหว่าง s/D เป็นค่าความแตกต่างวิกฤตที่เราต้องการตรวจพบ ที่อยู่ในรูปค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร ถ้าอัตราส่วนนี้ต่ำเราก็จะตรวจพบความแตกต่างได้โดยง่าย แม้ว่าจะไม่ได้วิเคราะห์ด้วยหลักการทางสถิติก็ตาม ตรงกันข้ามถ้าความผันแปรสูงอัตราส่วนนี้จะสูง เป็นการยากมากที่เราจะสรุปได้ว่าความแตกต่างที่แท้จริงเป็นเท่าใด จำเป็นที่เราจะต้องเพิ่มจำนวนสิ่งตัวอย่างมากขึ้น เพื่อให้สามารถค้นพบค่าความแตกต่างที่แท้จริงได้

 ความแตกต่างของการทดสอบด้านเดียว(One-sided test) และการทดสอบแบบสองด้าน (Two-sided test)

จากสมการที่ได้ข้างบนนั้น เป็นการทดสอบแบบด้านเดียว เราจึงใช้ค่า Z_a และ Z_b แต่ถ้าเป็นการทดสอบแบบสองด้าน เราจะใช้ Z_a/2  แทนในสมการ

 ตัวอย่าง 1   เครื่องจักรตัดแท่งโลหะเครื่องหนึ่ง ตัดแท่งโลหะแล้วมีค่าความยาวเฉลี่ย  30.05 เซนติเมตร และค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ผ่านมาอยู่ที่ 1.40 เซนติเมตร เมื่อต้องทำการเปลี่ยนชิ้นส่วน นายช่างต้องการทดสอบสมมติฐานว่า ก่อนและหลังเปลี่ยนชิ้นส่วน ผลการตัดแท่งโลหะจะผิดเพี้ยนไปจากเดิมหรือไม่ โดยต้องการความเชื่อมั่นในการทดสอบ 95% และต้องการ Power of the test ที่ 90% ขึ้นไป โดยถ้าก่อนและหลังเปลี่ยนชิ้นส่วนอะไหล่ ยังตัดแท่งโลหะได้ความยาวเท่าเดิม หรือผิดพลาดไม่เกิน 1 เท่าของค่าความเบี่ยงบนมาตรฐาน จะถือว่าเครื่องจักรนั้นผ่านการทดสอบ

 หาสมมติฐานของโจทย์   ต้องการทดสอบความแตกต่างของค่าเฉลี่ย โดยเป็นการทดสอบแบบสองด้าน (2 Sided test) โดยผู้ทำการทดสอบจะต้องเก็บข้อมูลก่อนและหลังเปลี่ยนชิ้นส่วนอะไหล่ของเครื่องจักร ดังนั้น สมมติฐาน จะเป็น

                     Ho:  ความยาวแท่งโลหะ ก่อนและหลังเปลี่ยนชิ้นส่วนไม่แตกต่างกัน

                     Ha:  ความยาวแท่งโลหะ ก่อนและหลังเปลี่ยนชิ้นส่วนแตกต่างกัน

 จาก โจทย์เราทราบว่า 

                  1*s = D

                   a=0.05, a/2=0.025   จากตาราง  Z_0.025 = 1.96

                   b = 0.1  จากตาราง  Z_0.1 = 1.28

ดังนั้นขนาดของสิ่งตัวอย่าง หาได้จาก

นั่นคือ ผู้ทำการทดสอบจะต้องใช้จำนวนข้อมูลก่อนและหลังเปลี่ยนชิ้นส่วนอะไหล่ 11 ข้อมูล (ตัวอย่าง หรือ แท่งเหล็ก )

 ตัวอย่าง 2  วิศวกรต้องการปรับปรุงเครื่องจักรที่ทำการบรรจุปูนซิเมนต์ชนิดถุง เพื่อให้สามารถได้ผลผลิตต่อชั่วโมง (Unit per hour) เพิ่มขึ้น โดยปกติที่ผ่านมาพบว่าเครื่องจักรเครื่องนี้สามารถผลิตได้ 410 ถุงต่อชั่วโมง โดยมีค่าความเบี่ยงเบนมาตรฐานอยู่ที่ 25 ถุงต่อชั่วโมง ผู้ผลิตชิ้นส่วนเจ้าหนึ่งอ้างว่า ถ้าเปลี่ยนมาใช้อะไหล่ของเขา จะทำให้ความสามารถของเครื่องจักร เพิ่มขึ้นอีก 20 ถุงต่อชั่วโมงเป็นอย่างต่ำ อยากทราบว่าจะต้องเก็บตัวอย่างก่อนและหลังปรับปรุงเครื่องจักรจำนวนเท่าใด ถึงจะเพียงพอ ถ้าต้องการความถูกต้อง 95% และ Power of the test 90% เพื่อจะตอบตกลงซื้อหรือไม่ซื้อชิ้นส่วนจากผู้ผลิตเจ้านี้

 จากโจทย์ เราสามารถตั้งสมมติฐานได้ว่า

                             Ho:  Unit per hour ก่อนและหลังเปลี่ยนชิ้นส่วนไม่แตกต่างกัน 

                             Ha:  Unit per hour หลังเปลี่ยนชิ้นส่วนมากกว่าก่อนเปลี่ยน

 เป็น One-sided test

จากโจทย์เราได้

                           s = 25

                            D = 20

                a=0.05 , b = 0.1

หมายเหตุ  คำว่าสิ่งตัวอย่างตามโจทย์ตัวอย่างข้อนี้ ไม่ได้หมายถึงจำนวนถุงปูนซิเมนต์ แต่หมายถึงจำนวนครั้ง ที่ได้ทำการเก็บข้อมูลปริมาณผลผลิต ต่อชั่วโมง ของเครื่องจักร