Fractional Factorial Designs 

ความหมายและหลักการ

หมายถึงวิธีที่ผู้ทำการทดลองไม่ต้องทำการทดลองให้ครบทุกเงื่อนไขการเปลี่ยนแปลงค่าของทุกปัจจัย เนื่องจากจะมีจำนวน Run มากจนเกินไปจนไม่สามารถดำเนินการได้ เนื่องจากมีข้อจำกัดบางประการ แน่นอนว่าความแม่นยำของผลก็ไม่เท่ากับ Full factorial ในเชิงทฤษฏี แต่ในทางปฏิบัติถึงเราจะสามารถดำเนินการทดลองด้วยวิธี Full factorial แต่อาจจะได้ผลที่แย่กว่า Fractional factorial ก็ได้ เนื่องจากยิ่งมาก Factor ยิ่งมาก Run เราก็ยิ่งควบคุมการทดลองได้ยาก ความผิดพลาดก็จะยิ่งเพิ่มมากขึ้น ดังนั้นจึงไม่มีประโยชน์ที่เราจะคงยืนยันใช้การทดลองแบบ Full factorial เมื่อเรามี Factor หลายตัว 

นักสถิติประยุกต์ในยุคแรกๆ ได้ค้นพบว่าในความเป็นจริงเมื่อเราดำเนินการทดลองจะมีเพียงบาง Main effects และบาง Interaction เท่านั้นที่มีความสำคัญ ยิ่งลำดับของ Interaction สูงขึ้นก็ยิ่งมีโอกาสจะมีนัยสำคัญน้อยลง จึงได้นำเอาหลักการนี้ไปใช้ประโยชน์เพื่อลดขนาดของการทดลองลง 

ตารางที่ 1 อัตราส่วนของผลจาก Main effects ต่อจำนวน Effects รวมทั้งหมดในการทดลอง 

จากตารางที่ 1 จะพบว่าสัดส่วนของ Main effects ต่อ Effects ทั้งหมดจะยิ่งลดลงเรื่อยๆ เมื่อการทดลองนั้นมี Factor มากขึ้น เช่น หากการทดลองนั้นมี 6 Factor สัดสวนผลที่มาจาก Main effects จะมีเพียงแค่ 9.5% ของจำนวน effects รวม ที่เหลืออีก 90.5% เป็น Interaction effects ซึ่งส่วนใหญ่ก็ไม่มีนัยสำคัญเชิงสถิติต่อการทดลองนั้นด้วย

วิธีการสร้าง Fractional factorial แบบ 2^k-1 design

ความหมายคือ เมื่อออกแบบเสร็จจะได้จำนวน Run เท่ากับ Full factorial design ของการออกแบบเมื่อจำนวน Factor น้อยกว่าอยู่ 1 ตัว (k-1) หรือจำนวน Run จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของการออกแบบการทดลองแบบ Full factorial design นั่นเอง เราเอาหลักการที่ว่ายิ่งอันดับ Interaction สูงเท่าใดก็จะมีความสำคัญน้อยเท่านั้น และจะเอา Main effects บางตัวเข้าแทนที่ Interaction ดังกล่าว 

ตัวอย่างที่ 1 มี Factor 4 ตัวคือ A,B,C,D ถ้าออกแบบโดยใช้วิธี 2^k Full factorial จะมีจำนวนรอบการทดลองหรือ Run ทั้งหมด 16 Run ดังตารางที่ 2

ตารางที่ 2 Full factorial ของ 4 Factor

เมื่อเราต้องการทำการทดลองแบบ Fractional factorial โดยให้เหลือจำนวน 8 Run เท่ากับจำนวน Run ของ 3 ปัจจัย เราเริ่มด้วยการ เขียน 3 main effecs  และ Interaction ทั้งหมดในตาราง เราจะเรียก 3 main effects นี้ว่าตัวให้กำเนิด (generator) ของ Factor D 

ตารางที่ 3 Main effecs และ Interaction ของ 3 Factor

จากนั้นให้ใช้ค่าของ Interaction ที่มีอันดับสูงสุด เป็นค่าของ Main effect ตัวที่เหลือ จากตารางที่ 3 Interaction ที่มีอันดับสูงสุดคือ ABC เราจะใช้เป็นค่าของ D จึงได้ตาราง Fractional factorial design ของ 4 Factor ตามตารางที่ 4

ตารางที่ 4 Fractional factorial ของ 4 Factor

จากตารางที่ 4 เมื่อเทียบกับตารางที่ 2 ก็คือแถวที่พื้นสีเหลืองนั่นเอง วิธีการออกแบบเช่นนี้ จะได้จำนวน Run ครึ่งหนึ่งของ Full factorial เสมอหรือ 1/2 Fraction เราจึงเรียกวิธีการออกแบบการทดลองนี้ว่า Half factorial design ซึ่งบางครั้งก็เรียกว่า 2^k-1 design เมื่อเราทำการทดลองตามที่ออกแบบนี้ ก็จะเรียกว่า Half factorial experiment ด้วยเช่นกัน 

Alias / Confound

เมื่อเราเลือกใช้วิธี Fractional factorial design ประโยชน์ที่เราได้คือจำนวน Run ที่ลดลงได้อย่างน้อยก็ครึ่งหนึ่ง แต่ก็ต้องแลกด้วยความสงสัยที่ว่าความถูกต้องจะเหมือนกับ Full factorial design หรือไม่ อีกสิ่งหนึ่งที่เราจะต้องสูญเสียไปคือ ความสามารถในการแยกแยะผลกระทบของ Effects ที่ตอนนี้มีบางตัวที่แยกแยะกันไม่ออก จากตารางที่ 4 เราทราบแล้วว่าตอนนี้ D=ABC นั่นคือถ้าสมมติเราพบว่า D เป็น Mian effects ที่มีนัยสำคัญทางสถิติหลังจากการวิเคราะห์แล้ว คำถามอยู่ที่ว่า เป็น Interaction ของตัวปัจจัย ABC หรือว่า  D กันแน่ กรณีเช่นนี้เราเรียกว่า D มี Alias คือ ABC หรืออีกนัยหนึ่ง ABC คือ Alias ของ D ได้เช่นกัน กรณีเช่นนี้เราจะเรียกว่า D และ ABC เกิด Confound กันด้วยเช่นกัน

ใช่เพียงแค่นี้หากเราทำการทดลองตามตารางที่ 4 แล้ว จะมี Alias เกิดขึ้นหลายคู่ ดังตารางที่ 5 (ขออภัยผู้อ่านอาจจะลายตาจากสีที่หลากหลาย โปรดดูตามสีเดียวกัน) นี่คือคู่ Alias ที่เกิดขึ้น ลักษณะเช่นนี้เราจะเรียกว่า Alias structure

ตารางที่ 5 Alias structure ของ 4 Factor 

เราอาจจะเขียน Alias structure ได้ดังนี้

Defining word 

ถ้าเราเอารหัสของแต่ละ Column คูณตัวเอง(ยกกำลังสอง) จะได้รหัสที่เท่ากับ (+1) ทุกตัวเสมอ เราจะเรียก Column ที่ได้ใหม่นี้ว่า Identity หรือ I 

จากตารางที่ 4 เมื่อ                                         D  =  ABC 

ดังนั้น ถ้าเอา D คูณทั้งสองฝั่ง จะได้เป็น       DD = ABCD

                                 หรือ                                 I  =   ABCD

เราจะเรียก I=ABCD นี้ว่า Defining relation ซึ่งเราสามารถนำไปใช้ในการหา Alias ได้ โดยนำ Effect ที่เราอยากทราบ Alias คูณทั้งสองฝั่งของสมการ Defining relation เช่น ถ้าอยากทราบว่า  AB จากตารางที่ 4 Alias อยู่กับ Effect อะไร ก็หาได้จาก

                                                  I(AB)   =  ABCD(AB)

                                                      AB  =  A²B²CD 

                                                      AB  =  IICD = CD

นั่นคือ AB alias อยู่กับ CD นั่นเอง

Vertical Balance 

หมายถึงการทดสอบความเท่ากันของจำนวน Code (+1)และ (-1) ของแต่ละ Column ทั้งของ main effects และ interaction effects ในตารางหลังจากการออกแบบการทดลอง โดยเงื่อนไขคือผลรวมของแต่ละ Column จะต้องเท่ากับ 0 นั่นหมายความว่าเรามีการเปลี่ยนแปลงค่าของ Factor นั้นให้เป็น Highและ Low ในจำนวนครั้งที่เท่ากัน ผู้ออกแบบจะต้องทำการทดสอบทุกครั้ง 

Orthogonal

เมื่อนำ Code (+1) หรือ (-1) ของ 2 Column ที่อยู่ติดกัน และอยู่แนว Row เดียวกัน คูณกันทุกๆ Row ของ 2 Column ดังกล่าว แล้วนำผลลัพธ์ดังกล่าวรวมกัน จะต้องได้เท่ากับ 0 เสมอ นั่นหมายความว่าเมื่อเราทำการวิเคราะห์ผลการทดลองแล้ว จะไม่ปรากฏเหตุการณ์ที่ Factor หนึ่งแปรเปลี่ยนตามอีก Factor หนึ่ง (Dependency test) ถ้าสมมติว่า ไม่เป็น orthogonal แล้ว เป็นไปได้ว่า เราจะต้องเปลี่ยนค่าของ Factor มากกว่า 1 ตัว เป็น High หรือ Low พร้อมกันอาจจะส่งผลให้เราตีความผิดพลาดแยกแยะไม่ออกว่า Response แปรค่าตาม Factor ใดกันแน่ การออกแบบที่ดีจะต้องได้ตารางเป็น Orthogonal ผู้ออกแบบจะต้องทำการทดสอบทุกครั้งเช่นเดียวกับ Vertical balance และทำให้ครบทุก Column แต่ครั้งละ 1 คู่เท่านั้น

วิธีการสร้าง Fractional factorial แบบ 2^k-p design

เมื่อเรามี Factor อยู่ 3-5 ตัว เราอาจจะสามารถใช้วิธี Half factorial design หรือ 2^k-1 design ได้ แต่ถ้าจำนวน Factor เพิ่มมากขึ้นกว่านั้นอีก ก็ยากที่เราจะสามารถทำการทดลองตามแบบที่ออกแบบไว้ได้ เพราะจำนวน Run ก็จะยังเยอะเกินกว่าจะทำตามได้ 

ตารางที่ 6 จำนวน Run เทียบกับจำนวน Factor ของแต่ละ Design

จากตารางที่ 6 จะพบว่าผู้ออกแบบการทดลองจำเป็นต้อง ใช้ค่า p ที่มากกว่า 1 ในการออกแบบเมื่อมี Factor ตั้งแต่ 6 ตัวขึ้นไป โดยข้อกำหนดง่ายๆ คือ เมื่อมีการออกแบบ ควรจะให้จำนวน Run เริ่มต้นที่ 8 และไม่ควรเกิน 32 (ความคิดเห็นส่วนตัวของผู้เขียนเอง)

ตัวอย่าง 2 มี Factor ทั้งหมด 7 ตัว (A,B,C,D,E,F,G) และในการทดลองแต่ละ Factor ปรับได้ 2 ค่า (Level) จากตารางที่ 6 หากเราออกแบบโดยใช้วิธี Full factorial จะมีจำนวน Run เท่ากับ 2⁷=128 ซึ่งเป็นไปไม่ได้เลยที่เราจะทำการทดลองให้ได้ตามนั้น แม้แต่ Half factorial design ก็ยังมีถึง 64 Run ซึ่งก็ยังถือว่ามากอยู่ดี  ถ้าต้องการออกแบบการทดลองโดยให้เหลือจำนวน Run เพียง 16 เท่ากับ Full factorial ของ 4 factor นั่นคือ 7-p = 4 ดังนั้น p=3 นั่นคือเราเลือกการออกแบบ 2^7-3 นั่นเอง 

ขั้นตอนก็คล้ายกับวิธี 2^k-1 เริ่มจากการเขียน Full factorial design ของ Main effect A,B,C,D และใช้เป็นตัวกำเนิด Main effect E,F,G ที่เหลือ โดยเราจะเลือก E=ABC , F=BCD, G=ABD 

ตารางที่ 7 ผลการออกแบบโดยวิธี 2^7-3 

        ทำไมเราถึงต้องเลือก E=ABC , F=BCD, G=ABD จะเป็น E=AB , F=BC, G=CD ได้หรือไม่ เนื่องจากข้อสมมติฐานที่ว่า Interaction ระดับที่สูงกว่า มีโอกาสมีนัยสำคัญทางสถิติน้อยกว่า Interaction ที่มีระดับต่ำกว่า นั่นคือ Interaction ของ 3 Main effect ย่อมมีโอกาสมีนัยสำคัญทางสถิติน้อยกว่า Interaction ของ 2 main effects. เมื่อเวลาวิเคราะห์โอกาสตีความ Confounding ก็จะผิดน้อยลง จึงต้องเลือก 3 Main effect แทนตัว Factor ที่เหลือ ถ้าเหตุผลเป็นเช่นนี้ก็ควรใช้ 4 main effect แทนน่าจะดีที่สุด แต่ที่ไม่ใช้เพราะ 4 Main effect ในการออกแบบด้วยวิธี 2^7-3 มีเพียง 1 เดียวเท่านั้น ไม่พอที่จะใช้แทน 3 Main effect ที่เหลือได้ โดยที่ข้อกำหนดพื้นฐานคือต้องใช้ ระดับ Interaction เดียวกันแทน main effects ที่เหลือทุกตัว

จากการที่เราต้องใช้   E=ABC , F=BCD, G=ABD ในการออกแบบ ถ้าเอาตัว main effect คูณทั้งสองด้านจะได้

                                   EE  = I  =    ABCE

                                   FF   = I =    BCDF

                                   GG = I  =   ABDG        

นั่นคือเราจะได้ Defining word เริ่มต้น 3 ตัวคือ   I = ABCE =  BCDF = ABDG

เมื่อนำ Defining word มาคูณกันเอง ทีละคู่และคูณกันเองทั้งหมดจะได้เป็น 

                I²  = ABCE(BCDF)  จะได้เป็น   I = AB²C²DEF  หรือ  I = ADEF 

                I²  = ABCE(ABDG)  จะได้เป็น   I = A²B²CDEG  หรือ  I = CDEG 

               I²  = ABDG(BCDF)  จะได้เป็น   I = AB²D²CFG  หรือ  I = ACFG 

               I³  = (ABCE)(ABDG)(BCDF)  จะได้เป็น   I = A²B³D²C²EFG  หรือ  I = BEFG 

ดังนั้น Defining word ทั้งหมดคือ   I = ABCE=BCDF=ABDG=ADEF=CDEG=ACFG=BEFG

เราสามารถหา Alias ทั้งหมดได้โดยการนำ Effect ที่เราต้องการทราบว่า มี Alias อะไรบ้างคูณเข้ากับ Defining word ดังตัวอย่างต่อไปนี้

Alias ของ A หาได้จาก

                   I(A) = ABCE(A)=BCDF(A)=ABDG(A)=ADEF(A)=CDEG(A)=ACFG(A)=BEFG(A)

                  A=BCE=ABCDF=BDG=DEF=ACDEG=CFG=ABEFG

Alias ของ BCD หาได้จาก

               I(BCD) = ABCE(BCD)=BCDF(BCD)=ABDG(BCD)=ADEF(BCD)=CDEG(BCD)=ACFG(BCD)=BEFG(BCD)

                 BCD = ADE = F = ACG = ABCEF = BEG = ABDFG = CDEFG

Resolution (R)

คือระดับความละเอียดในผลลัพธ์ที่ได้จากการวิเคราะห์ หาได้จากความยาวของ Alias ที่สั้นที่สุดจาก  Defining relation หมายความว่าผลการวิเคราะห์ที่ได้มีความน่าเชื่อถือมากแค่ไหน โดยมีค่าอยู่ระหว่าง 2 (R_II) จนถึง 5 (R_V)  เช่นตัวอย่าง

        I = ACG = ABCEF = BEG = ABDFG = CDEFG   ได้ R_III เพราะ Alias สั้นที่สุด คือ 3 Main effect interaction

       I = ABCEG =  BCDF = ABDG   ได้ R_IV เพราะ Alias สั้นที่สุด คือ 4

 Resolution มากกว่า ย่อมให้ความน่าเชื่อถือของผลลัพธ์มากกว่า นั่นเพราะเราได้เฉพาะ Interaction ระดับสูงๆแทน Main effect ในการออกแบบ ทำให้โอกาสที่ Confond ที่พบในการวิเคราะห์มีโอกาสเป็นของ Main effect มากกว่า Interaction นั่นเอง การเลือกระดับ Resolution ต่ำหมายความว่าคนออกแบบใช้ค่า p ที่มาก เข้าใกล้ k มาก ทำให้ลดจำนวน Run ลงได้มาก และต้องใช้ Interaction ระดับต่ำในการแทน Main effects บางตัว

         (R_III)  เป็นระดับที่ต่ำที่สุดที่คนออกแบบจะเลือกใช้ เหมาะสำหรับการเริ่มต้น (Screenning) กรณีที่มีจำนวน Factor มากๆ  ไม่ควรนำ Model ใดๆ ที่ได้จากการวิเคราะห์ไปใช้ และจะต้องมีการคัดกรองเอา Main effect ที่ไม่มีนัยสำคัญทางสถิติบางตัวออก และควรมีการออกแบบการทดลองอีกรอบ ที่มี Resolution มากกว่า R_III

            (R_IV)  เป็นระดับที่ดีปานกลางที่คนออกแบบควรจะเลือกใช้ สามารถนำ Model  ที่ได้จากการวิเคราะห์ไปใช้ในการพยากรณ์ หรือเปลี่ยนแปลงกระบวนการตามผลการวิเคราะห์ได้

            (R_V)  เป็นระดับที่ดีที่สุดที่คนออกแบบควรจะเลือกใช้ แต่ก็ต้องใช้ทรัพยากรมากกว่าระดับอื่นๆ ทั้งนี้เพราะ จะมีจำนวน Run มาก นั่นเอง

ตารางที่ 8 ระดับ Resolution ที่เป็นไปได้ เมื่อกำหนด Run และจำนวน Factor