การอนุมานค่ากลางของประชากร กรณีรู้ค่าความแปรปรวน (Inference on the mean of a population, Variance known)  

ถ้าหาก X₁,X₂…..X_n คือตัวอย่างที่ถูกชักออกมาจากประชากรแม่ที่มีการกระจายแบบปกติ (Normal distribution) ดังนั้นค่าเฉลี่ย () จะเป็นตัวประมาณค่ากลางของประชากร (m) เราจึงใช้ทฤษฎีแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์กลาง (Central limit theorem) ที่กล่าวว่า จะประมาณเท่ากับ (m) มีค่าความแปรปรวนเท่ากับ s ²/n

การทดสอบค่ากลาง

สมมติเรากำลังทดสอดสมมติฐานที่ได้ตั้งไว้ว่า

เมื่อ m₀ คือค่าคงที่ที่เราระบุในสมมติฐาน โดยที่เรารู้ว่า คือตัวประมาณค่า (m)  และ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ( s ) เท่ากับ เพื่อให้ง่ายในการทดสอบ เราจำเป็นต้องแปลงค่ากลางของตัวอย่าง () ให้อยู่ในรูป Standard Normal Distribution ดังสมการต่อไปนี้

  Z₀   นี้เราจะเรียกว่าตัวทดสอบสถิติ (Test Statistic)

ถ้าสมมติฐานหลัก H₀: m = m₀ เป็นจริง ก็แสดงว่า  E() = m₀   ) หรือก็คือ  = m₀    โดยมีโอกาสเท่ากับ 1-a  ที่ค่า Z₀จะมีค่าอยู่ระหว่าง - Z_a/2 และ  Z_a/2 หรืออีกนัยหนึ่งคือมีโอกาสเท่ากับ a ที่ค่า  Z₀ จะตกอยู่ในบริเวณ Z₀> Z_a/2   หรือ Z₀< -Z_a/2   ดังรูปที่แสดง

นั่นคือเราจะปฏิเสธสมมติฐานหลัก   H₀: m = m₀  เมื่อ   Z₀> Z_a/2   หรือ  Z₀< -Z_a/2

และเราจะยอมรับ   H₀: m = m₀    ถ้า     

 การทดสอบโดยใช้  Z₀ (Standard normal distribution) ดังที่กล่าวมา บางครั้งก็รู้จักกันในชื่อ Z-Test หรือ 1- Sample Z test

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้ 1-Sample Z test

ในกรณีตัวอย่างเรื่องระบบน้ำหล่อเย็นของเครื่องกำเนิดไฟฟ้า ที่ข้อกำหนดระบุไว้ว่าต้องมีอัตราการไหลของน้ำเข้าสู่อุปกรณ์แลกเปลี่ยนความร้อน เท่ากับ 50 ลูกบาตรเมตรต่อนาที จากอดีตที่ผ่านมาที่มีการวัดค่าและบันทึกค่าไว้พบว่ามีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (s ) เท่ากับ 2 ลูกบาตรเมตรต่อนาที วิศวกรต้องการพิสูจน์สมมติฐาน ที่ว่าอัตราการไหลของน้ำยังเท่ากับข้อกำหนดอยู่ โดยระบุค่าโอกาส Type I Error หรือระดับนัยสำคัญ (Significant Level) ไว้ที่ a = 0.05 และเขาได้ทำการเก็บข้อมูลโดยบันทึกค่าอัตราการไหลของน้ำหล่อเย็น ทุกๆชั่วโมง จนได้ข้อมูล 25 ข้อมูล เมื่อหาค่าเฉลี่ยแล้ว ได้ 51.3 ลูกบาตรเมตรต่อนาที ให้ทำการทดสอบสมมติฐาน

ขั้นตอนในการทดสอบสมมติฐาน

1. ระบุค่าพารามิเตอร์ที่จะทดสอบ ในกรณีนี้คือค่าเฉลี่ยของอัตราการไหลของน้ำหล่อเย็น (m)
2. ตั้งสมมติฐาน



3. ระบุค่าระดับนัยสำคัญ ในกรณีนี้ α = 0.05
4. เลือกใช้ตัวสถิติในการทดสอบ



5. คำนวณค่า   Z_a/2   และ    -Z_a/2

โดยโปรแกรม Minitab ได้ดังนี้

      Inverse Cumulative Distribution Function

  Normal with mean = 0 and standard deviation = 1.00000

      P( X <= x )                 x

      0.0250                  -1.9600

 

หรือจากฟังก์ชันคณิตศาสตร์ของโปรแกรม Microsoft Excel ได้ดังนี้



 

จะได้ค่า  -Z_a/2  =  -1.96   และค่า  Z_a/2  = 1.96

ดังนั้นช่วงที่ยอมรับ     H₀ : m = 50 m³/min.          คือ



6. คำนวณหาค่า  Z₀  จากสมการ



7. สรุปผลการทดสอบสมมติฐาน

เนื่องจาก  Z₀  = 3.25  ซึ่งมากกว่า 1.96   จึงสรุปว่าอัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นที่ไหลเข้าชุดแลกเปลี่ยนความร้อน ไม่ตรงกับค่าที่กำหนดไว้ อย่างมีนัยสำคัญ

ลักษณะการทดสอบสมมติฐานดังตัวอย่างนี้ เราเรียกว่าการทดสอบแบบสองด้าน (Two-trailed Test) ซึ่งค่า ที่มากกว่า 1.96 และน้อยกว่า  –1.96   เราก็จะปฏิเสธ สมมติฐานหลักทันที

แต่บางครั้งเราต้องการทดสอบเพียงด้านเดียว ยกตัวอย่างเช่น

 ตัวอย่างที่ผ่านมาผลที่เกิดขึ้นเมื่ออัตราการไหลของน้ำต่ำกว่าระดับที่กำหนดไว้จะมีความสำคัญกว่าค่าที่มากกว่า เพราะหากอัตราการไหลของน้ำสูงกว่าข้อกำหนด เครื่องกำเนิดไฟฟ้า ก็จะไม่ได้รับผลกระทบมากนัก แต่ถ้าอัตราการไหลของน้ำหล่อเย็นต่ำลงอาจทำให้ เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเสียหายได้ กรณีเช่นนี้เราอาจจะตั้งสมมตฐานดังนี้

เราจะปฏิเสธสมมติฐาน ถ้า  Z₀< -Z_a

จากตัวอย่าง  -Z_a = Z_0.05

 

หาค่าโดยโปรแกรม Minitab ได้ดังนี้

     Inverse Cumulative Distribution Function

     Normal with mean = 0 and standard deviation = 1.00000

         P( X <= x )            x

         0.0500              -1.6449

หรือจากฟังก์ชันคณิตศาสตร์ของโปรแกรม Microsoft Excel ได้ดังนี้

 

จากกรณีนี้เราไม่สามารถปฏิเสธสมมติฐานหลัก   H₀ : m = 50m³/min.  ได้ เนื่องจากค่า 3.25 มากกว่า –1.64 การทดสอบดังกรณีนี้เราจะเรียกว่า Lower-Trailed Test

ในทางตรงกันข้าม บางครั้งเราต้องการทดสอบด้านมากกว่า ดังสมมติฐานดังต่อไปนี้

เราจะปฏิเสธสมมติฐานหลัก   H₀ : m = 50m³/min.  ถ้า  Z₀> Z_a  และจากตัวอย่างที่ผ่านมา เราจะปฏิเสธสมมติฐาน เพราะ 3.25 มากกว่า 1.64 การทดสอบดังกรณีนี้เราจะเรียกว่า Upper-Trailed Test

โปรดสังเกตว่าทั้ง โปรแกรม Minitab และ Microsoft Excel เวลาคำนวณหาค่า Z เราจะต้องเลือกโหมด Inverse Cumulative Distribution Function เสมอ โดยค่าที่เราใส่คือค่า Alpha( a ) และเครื่องจะให้แต่ค่าด้านลบมาเสมอ แต่เราสามารถ กลับด้านเป็นบวกได้ ตามกฎ  Symmetry  ของ  Standard Normal Distribution นอกจากนั้นเรายังสามารถหาค่า Z ได้จาก Z-Table ได้เช่นเดียวกัน