การอนุมานค่าความแปรปรวนของประชากรที่มีการกระจายแบบปกติ (Inference on the variance of a normal population)  

ในบางครั้งเราต้องการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับ Population variance หรือ Standard deviation  สมมติให้  X1 , X2 , .... Xn คือตัวอย่างที่ถูกสุ่มออกมาจากประชากรที่มีการกระจายแบบปกติ เราจะกำหนดให้  (s²)คือค่าโดยประมาณของ  (s²) 

การทดสอบสมมติฐาน

สมมติเราต้องการทดสอบสมมติฐานที่ว่าค่า Population variance(s²) จะเท่ากับค่าที่เราระบุหรือไม่ โดยที่  X1 , X2 , .... Xn คือตัวอย่างที่ถูกสุ่มออกมาจากประชากรที่มีการกระจายแบบปกติ แต่เราจะไม่รู้ค่ากลาง(m ) และไม่รู้ค่า s²  เราจะเขียนสมมติฐานได้ดังนี้

 เราเลือกใช้  c²   ในการทดสอบ 

จากที่

และจากที่ 

นั่นคือ

ดังนั้น

c²₀   นี้เราจะเรียกว่าตัวทดสอบสถิติ (Test Statistic)  นั่นคือเราจะใช้   Chis-quare distribution ในการอ้างอิง โดยที่ n-1 คือ Degree of freedom

เมื่อย้อนกลับมาดูสมมติฐานหลัก Ho: s ² =s₀² เราจะปฏิเสธสมมติฐานหลักนี้ถ้า

หรือถ้า 

นั่นคือ Confidence Interval ของ s ² จะเป็นดังนี้

แต่หากสมมติฐานเราตั้งเป็น

เราจะปฏิเสธสมมติฐานหลัก Ho: s ² =s₀² เมื่อ

เช่นเดียวกัน ถ้า

เราจะปฏิเสธสมมติฐานหลัก Ho: s ² =s₀² เมื่อ

ตัวอย่าง

วิศวกรต้องการพิสูจน์ทราบว่า เครื่องจักรที่ทำการบรรจุแชมพูสระผมเมื่อทำการบรรจุน้ำยาสระผมในขวดแล้ว ให้ค่า Variance เกินกว่า 0.01 มิลลิลิตร หรือไม่  จึงได้สุ่มเก็บตัวอย่างขวดยาสระผมที่ทำการบรรจุเสร็จแล้วมาจำนวน 20 ขวด พบว่ากลุ่มตัวอย่างดังกล่าวมีค่า Variance เท่ากับ 0.0153 มิลลิลิตร อยากทราบว่าเครื่องจักรที่ทำการบรรจุน้ำยาสระผมเครื่องดังกล่าวจะต้องได้รับการแก้ไขหรือไม่ ถ้าหากมีข้อกำหนดว่า จะต้องแก้ไขเครื่องจักรหากค่า Variance มากกว่า 0.01 มิลลิลิตร หากกำหนด a=0.05 และประชากรของค่าปริมาณน้ำยาสระผมเป็นแบบ Normal distribution 

   1.      ระบุค่าพารามิเตอร์ที่จะทดสอบ ในกรณีนี้คือค่า Population variance (s ²)

   2.      ตั้งสมมติฐาน

  3.     ระบุค่าระดับนัยสำคัญ ในการทดสอบ ข้อนี้กำหนดให้   α = 0.05

    4.    เลือกใช้ตัวสถิติในการทดสอบ

 5.    คำนวณค่า c²₀     โดย ที่  n = 20

6. หาค่า          จากตาราง Chi-square เมื่อ df=19 และ a=0.05 จะได้เท่ากับ   30.144 

 หรือจากฟังก์ชันคณิตศาสตร์ของโปรแกรม Microsoft Excel ได้ดังนี้

      7.      สรุปผลการทดสอบสมมติฐาน

เนื่องจาก  c²₀  = 29.07  ซึ่งน้อยกว่า 30.144   จึงสรุปว่าเรายอมรับสมมติฐานหลัก  Ho: s ² =0.01cc  หรือ ค่า Variance ในการเติมน้ำยาสระลงขวดบรรจุของเครื่องไม่ได้เกิน ค่าที่กำหนดคือ 0.01 cc

 ถ้าเราสนใจอยากรู้ว่า Variance สูงเท่าใดเราถึงจะไม่ยอมรับว่า Variance ยังเท่ากับค่าที่กำหนดอยู่ ก็หาได้โดยหา Upper limit 

จาก Upper limit

หาค่า c²_0.95,19 โดยใช้ Excel ได้ดังนี้

ดังนั้น

หมายความว่า ค่า Variance สูงสุดที่ยังยอมรับว่าไม่ต่างจากค่าที่กำหนดคือ 0.0287 cc