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TRIÂNGULOS
1. Para medir a altura da torre vertical DE toma-se, no plano horizontal que passa pela sua base D, o seguimento AB de comprimento 12 m e cujo ponto médio é C . Medem-se os ângulos DAE, DBE e DCE verificando-se que DAE = DBE = 45º e DCE = 60º. Determinar a altura da torre.

Solução: Do triângulo ADE, retângulo em D, como <DAE = 45º, resulta AD = ED.
Do mesmo modo BD = ED. Assim, BD = AD = ED.
Do triângulo DCE, ED/CD = tg 60º Þ ED = CD.Ö3 Û CD = ED/Ö3 = ED. Ö3/3.
Como C é o ponto médio de AB, e AD = BD, CD é a altura do triângulo isósceles ABD.
 Do triângulo BCD,
 BD2 = BC2 + CD2 Þ ED2 = 62 + (ED/Ö3)2 Û ED2 = 36 + ED2/3 Û
 Û 3ED2 = 36.3 + ED2 Û 2ED2 = 36.3 Û ED2 = 54 è ED = 3Ö6 m.
Resposta: 3Ö6 m

2. Um observador encontra-se na Via Anhanguera em trecho retilíneo horizontal e situado no mesmo plano vertical que contem uma torre de TV, localizada no Pico do Jaraguá. De duas posições A e B desse trecho retilíneo e distantes 60 m, uma da outra, o observador vê a extremidade superior da torre, respectivamente, sob os ângulos de 30º e 31º53’ .  O aparelho utilizado para medir os ângulos foi colocada a 1,50 m da torre em relação ao nível do mar. Determinar a altura da torre em relação ao nível do mar. Dado tg 31º53” = 0,62 

Solução: De acordo com a interpretação dada à questão temos a situação indicada na figura ao lado.
Suponhamos que o trecho em referência esteja ao nível do mar.
Do triângulo CBE,
tg CBE = EC/BC Þ 0,62 = EC/BC Û EC = 0,62.BC (1).
 
Do triângulo CAE, tg CAE = EC/(AB + BC) Þ tg 30º = EC/(60 + BC) Û
Û 0,58.(60 + BC) = EC (2).
De (1) e (2) 0,62BC = 0,58.(BC + 60) Û 0,62BC = 0,58BC + 34,8 Û
Û 0,04BC = 34,8 Û BC = 870 m.
De (1), EC = 0,62.BC = 0,62.870 = 539,4 m.
Resposta: 539,4 m.

3. Num triângulo isósceles, o perímetro mede 64m e os ângulos adjacentes são iguais ao arc cos 7/25 . Então a área do triângulo é:
a) 168 m2    b) 192 m2     c)84 m2     d) 96 m2     e) 157 m2

Solução: Tem-se que A = B = arc cos 7/25 Û cos A = cos B = 7/25.
Do triângulo ACD,
cos A = (c/2)/a Û 7/25 = c/2a Û 14a = 25c Û c = (14/25)a.
 
Sendo o perímetro igual a 64 cm, a + a + c = 64 Þ a + a + (14/25)a = 64 Û
 Û25a + 25a + 14a = 64.25 Û 64a = 64.25 Û a = 25 = b e c = (14/25).25 Û
 Û c = 14.
A área do triângulo é A = c.DC/2 = (1/2).c.a.sen A.
De sen2 A + cos2 A = 1,  sen2 a + (7/25)2 = 1 Û
 Û sen2 a = 1 – 49/625 = 576/625 Û sen a = 24/25.
Portanto, A = (1/2).14.25.(24/25) = 168 m2.
Resposta: letra (A).

4. Em um triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa faz com ela ângulo de 40º. A diferença entre os ângulos do triângulo.
 a) 30º       b) 40º       c) 45º        d) 50º      e) 55º

Solução: Sendo D a mediana, D é o centro do círculo circunscrito ao triângulo.
Deste modo, CD = DA Þ triângulo CDB é isósceles.
 
Do triângulo CAD, como< D = 40º, C = A = (180º – 40º)/2 = 70º.
Os ângulos dos triângulos retângulo são então 90º, 70º e 20º.
Temos então as diferenças: 90º - 70º = 20º; 90º - 20º = 70º e 70º - 20º = 50º.
Resposta: letra (d).

5. Num triângulo ABC, BD e CE são alturas, BD = CE e o ângulo A = 40º. O ângulo CBD vale:
a) 10º   b) 15º    c) 20º  d) 25º    e) 30º

Solução: No quadrilátero ADFE, <D = <E = 90º.
Do triângulo BDA, retângulo, <DBA = 90º - 40º = 50º.
Do triângulo AEC, retângulo, <ECA = 90º - 40º = 50º.
 
Como CE = DB, os triângulos CEB e BDC são congruentes (hipotenusa comum CB, e cateto de igual medida CE = DB).
Assim, <ECB = <DBC Þ o triângulo ABC é isósceles cujos ângulos iguais são ACB e ABC.
 Assim, do triângulo ABC, C = B = (180º - 40º)/2 = 70º.
Deste modo, DBC = ABC – ABD = 70º - 50º = 20º.
Resposta: letra (c)

6. Na figura, sendo AB congruente a AC, AE congruente a AD, calcule a medida do ângulo CDE, dado BAD = 48º
Solução: indiquemos por a, b, c e x os ângulos internos dos triângulos conforme indicado na figura.
O triângulo ABC é isósceles com <B = <C pois AB = BC. 
 
Assim, pode-se escrever: b = (180 – 40 – a)/2 = 70 – a/2.
O triângulo ADE é isósceles com <D = <E pois AD = EA. 
Portanto, c = (180 – a)/2 = 90 – a/2.
O ângulo c é externo ao triângulo EDC.
Assim, c = x + b Û b = c – x = (90 – a/2) – (70 – a/2) = 90º - 70º = 20º.
Resposta: 20º.

7. Num triângulo isósceles ABC de base AB o ângulo B é igual a 2/3 do ângulo S, formado pelas mediatrizes QS e PS. Calcule os ângulos desse triângulo.
Solução: do quadrilátero BPSQ, P = Q = 90º (mediatriz – perpendicular ao meio do lado).
 
Temos então:
90º + 90º + S + (2/3)S = 360º Û S + (2/3)S = 180º Û 3S + 2S = 3.180º Û
 Û S = 3.180º/5 = 108º  e B = (2/3).108º = 72º.
Portanto, A = B = 72º e C = 180º - (72º + 72º) = 180º - 144º = 36º.
Resposta: 36º, 36º e 72º.

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