Meu Mundo

1. Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo de hipotenusa 20, sabendo que a mediana relativa a um dos catetos mede 15.
Solução:- No triângulo ABC, 20² = (2y)² + x² Û
Û 400 = 4y² + x²

No triângulo ACD, 15²= y² + x² Û 225 = y² + x² .
Subtraindo a segunda igualdade da primeira teremos:
175 = 3y² Û y² = 175/3 Þ x² = 225 - 175/3 = 500/3 Û x = 10.Ö5/Ö3 = 10Ö15/3.
Como sen B = x/20, resulta: sen B = (10Ö15/3)/20 = Ö15/6.
Procurando em tabelas trigonométricas B = 40,2º.
O ângulo A vale então 90º - 40,2º = 49,8º.
Resposta: 49,8º e 40,2º.

2. Quais os ângulos agudos de um triângulo retângulo, sabendo que a mediana e a bissetriz relativa à hipotenusa formam um ângulo de 35º.
a)80º e 10º b)50 e 40º c)70 e 20º d)60 e 30º

Solução:- A mediana do triângulo retângulo tem medida igual à metade da medida da hipotenusa.
Isto é CD = DA.
Portanto, o triângulo CDA é isósceles.
Deste modo C = (1/2)A + 35º = (1/2).90º + 35º = 45º + 35º = 80º.
Os ângulos agudos medem então 80º e 10º.
Resposta: Letra (a)

3. As bissetrizes internas dos ângulos B e C de um triângulo ABC formam um ângulo de 116º . Determine a medida do menor ângulo formado pelas alturas relativas aos lados AB e AC desse triângulo.

Solução:- Do triângulo CDB, x + y + 116 = 180 è x + y = 64º.
Do triângulo ABC, 2x + 2y + A = 180º è 2.64º + A = 180º è
è A = 180º - 128º è A = 52º.
Do quadrilátero AGEF, (180º - a) + 90º + 90º + A = 360 è
è 180º - a + 180º + 52º = 360º è a = 52º .
Resposta: 52º

4. Calcular a área da superfície limitada por seis círculos de raio unitário com centro nos vértices de um hexágono regular de lado 2.
Solução: A área pedida corresponde à área do hexágono (6L²Ö3/4) menos 6 metades de círculos (3.pR²).
Portanto: A = (6.2².Ö3/4) – (3.p1²) = 6Ö3 - 3.p.
Resposta: 6Ö3 - 3.p.

5. Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm . A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é:
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 25
Solução:- Sejam x e y os números de tábuas de 2 cm e 5 cm respectivamente.
Temos: x + y = 50 e 2.x + 5.y = 154. Multiplicando a primeira equação por (-2) e somando à segunda resulta: 3y = 54 è y = 18 e x = 50 – 18 = 32.
A diferença entre o número de tábuas é 32 – 18 = 14.
Resposta: letra (b)

6. A área de um terreno retangular é de 281,25m² . Se o lado maior do terreno excede 25% o lado menor, então, o perímetro do terreno é igual, em metros a:
a) 67,5 b) 71,5 c) 75,5 d) 79,5 e) 83,5
Solução: Se x é um dos lados, o outro será 1,25x (excede em 25%).
A área é então: 281,25 = x.(1,25x) è x² = 281,25/1,25 = 225 è x = 15 m (menor lado).
O maior lado é 1,25.x = 1,25.15 = 18,75 m.
Para o perímetro tem-se: 2.15 + 2.18,75 = 30 + 37,5 = 67,5 m.
Resposta: letra (a)