Meu Mundo

1. Determine os ângulos agudos de um triângulo retângulo, sabendo que a mediana e a bissetriz relativas à hipotenusa formam um ângulo de 35º.
Solução: O ponto D, ponto médio da hipotenusa é eqüidistante dos vértices. Portanto, o triângulo ADB é isóceles è <DAB = <DBA = x.
No vértice A, x + 35º + y = 90º è x + y = 55º .

Como AE é bissetriz, x + 35º = y è y - x = 35º.
Das duas equações 2y = 90 è y = 45º e x = 45º - 35º = 10º.
De x + z= 90, tiramos z = 90º - 10º = 80º.
Resposta: 10º e 80º.

2. Dados dois polígonos regulares, com (n + 1) lados e n lados. Respectivamente, determine n sabendo que o ângulo interno do primeiro polígono excede o ângulo interno do segundo de 5º.
Solução:- O ângulo interno de um polígono regular de n lados é i = 180º.(n – 2)/n.
Para o polígono de (n + 1) lados, i’ = 180º.(n + 1 – 2)/(n + 1).
Temos então: 180º.(n + 1 – 2)/(n + 1) - 180º.(n – 2)/n = 5º.
O mmc dos denominadores é n.(n + 1).
Portanto, 180.(n – 1).n – 180.(n – 2).(n + 1) = 5.n.(n + 1) è
è180ºn² – 180ºn – 180ºn² + 180ºn + +360º = 5n² + 5n è
è 5n² + 5n – 360º = 0 è n² + n – 72º = 0.
Resolvendo a equação: D = 1² – 4.1.(-72) = 289 è
è n = (-1 + 17)/2 = 8 ou n = (-1 – 17)/2 = -9 (o número de lados não pode ser negativo).
Resposta: 8 lados.

3. Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz do ângulo agudo do trapézio um ângulo de 110º . Determinar o maior ângulo desse trapézio.
Solução:- Considerando os ângulo da base menor.
A figura mostra o trapézio e as bissetrizes.

O ângulo y vale 180º - 110º = 70º.
Do triângulo, 45º + 70º + x = 180º Û x = 180º - 115º = 65º Û
Û 2x = 2.65º = 130º.
Considerando os ângulos da base maior.
No triângulo:
45º + 110º + z = 180º Û z = 180º - 155º = 25º.
No trapézio:
90º + 90º + 2z + 2x = 360º Û 180º + 50º + 2x = 360º Û
Û 2x = 360º – 230º = 130º.
Resposta: 130º.

4. A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de 55º. Determinar o valor dos ângulos agudos.
Solução: A figura mostra o losango e os ângulos citados.
Como a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º:
x + 55º + 55º = 180º Û x = 180 - 110 = 70º.
Resposta: 70º.

5. Um dos ângulos internos de um trapézio isósceles é os 2/7 do ângulo externo adjacente. Determinar os 4 ângulos do trapézio.
Solução: No trapézio isósceles os ângulos de uma mesma base são iguais e o

ângulo de uma base é o complemento do ângulo da outra base.
Da soma dos dois ângulos x e (2/7)x que é 180º calcula-se o ângulo interno (2/7)x.
Assim, x + (2/7)x = 180º Û 7x + 2x = 180.7 Û x = 180º.7/9 = 140º e (2x/7 = 2.140º/7 = 40º.
Resposta: ângulos da base maior: 40º; ângulos da base menor = 140º.

6. Determine as medidas dos ângulos formados pelas bissetrizes internas de um trapézio em que dois ângulos agudos consecutivos medem 80º e 60º.
Solução: Os ângulos dados trapézio são: A = 80º e D = 60º.

Como os ângulos A e B são colaterais internos, A + B = 180º.
Sendo A = 80º, resulta B = 180º - 80º = 100º.
Do mesmo modo, C + D = 180º.
Sendo D = 60º, resulta: C = 180º - 60º = 120º.
O ângulo formado pelas bissetrizes que passam por A e B é:
x = 180 - A/2 - B/2 = 180º - 40º - 50º = 90º.
O ângulo formado pelas bissetrizes que passam por A e D é:
x = 180 - A/2 - D/2 = 180º - 40º - 30º = 110º.
O ângulo formado pelas bissetrizes que passam por C e B é:
x = 180 - C/2 - B/2 = 180º - 60º - 50º = 70º.
O ângulo formado pelas bissetrizes que passam por C e D é:
x = 180 - C/2 - D/2 = 180º - 60º - 30º = 90º.
Resposta: 90º, 110º, 70º e 90º.

7. Com um arame de 36 m de comprimento construímos um triângulo equilátero e depois um quadrado. Determinar a razão entre o lado do triângulo e o lado do quadrado.
Solução: o lado do quadrado é 36:4 = 9 m e o do triângulo é 36:3 = 12.
A razão entre o lado do triângulo e do lado do quadrado é 12/9 = 4/3.
Resposta: 4/3.

8. Seja p o ponto de tangência da circunferência inscrita no triângulo ABC, com o lado AB. Se AB=7, BC=6 e AC=8, quanto vale AP ?

Solução:- AP = AB – PB = AB - BQ = 7 – BQ =7 – (BC – QC) =
= 7 – 6 + OC = 1 + QC = 1 + RC = 1 + (AC – AR) = 1 + 8 – AR.
Portanto, AP = 9 – AR. Como AP = AR, resulta: 2AP = 9 è AP = 9/2 = 4,5.
Resposta: 4,5.

9. Determinar a área de um octógono inscrito em um círculo cujo raio é 6 cm.
Solução: Ligando do centro ao vértice obtém-se 8 triângulos isósceles com lados iguais ao raio e ângulo do vértice igual a 360º/8 = 45º. Portanto, a área é 8.(1/2).6².sen45º = 8.(1/2).36.(Ö2/2) = 72Ö2 cm². Resposta: 72Ö2 cm².

10. Em um círculo de raio igual a 5cm está inscrito um retângulo de área igual a 25 cm². Calcule o ângulo formado pelas diagonais desse retângulo.
Solução: Sejam “a” e “b” os lados do retângulo.
Tem-se ab = 25 e a² + b² = 10².
Multiplicando a primeira igualdade por 2 e somando à segunda:

a² + 2ab + b² = 150 è (a + b) = Ö150 = 5Ö6.
Usando a propriedade da equação do segundo grau x² – Sx + P = 0, tem-se: x² - 5Ö6.x + 25 = 0.
Resolvendo a equação: D = 150 – 4.1.25 = 50 è
x₁ = (5Ö6 + 5Ö2)/2 e x₂ = (5Ö6 - 5Ö2)/2 . Estes são os lados do retângulo.
Do triângulo AOB,
sen (x/2) = (b/2)/r = [(5Ö6 + 5Ö2)/4]/5 = (Ö6 + Ö2)/4 e
cos (x/2) = (Ö6 - Ö2)/4.
Fazendo sen x = 2.sen (x/2).cos (x/2), tem-se:
sen x = 2.[(Ö6 + Ö2)/4].[(Ö6 - Ö2)/4] = (6 – 2)/8 = ½ è x = 30º.
O outro ângulo é 180º - 30º = 150º.
Resposta: 30º, 150º