República de Bolivariana de Venezuela

República de Bolivariana de Venezuela

UNIVERSIDAD YACAMBÚ
Lic. Contaduría Pública

Profesor: Juan García

Realizado por: Carmen Celina Espinoza
TRABAJO 5
Cálculo Diferencial

INTRODUCCIÓN

El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráfica y a la interpretación de la misma debido a que lo que nos indica es el comportamiento o tendencia de la gráfica. Por esta razón, el concepto de límite es básico en el Análisis Matemático.

Que es limite de una función, infinitos asintóticos, concepto de derivada y sus aplicaciones en el campo de las ciencias administrativas.

Ø ¿Qué es el límite de una función?

Una función es una sucesión de puntos que se dirigen de acuerdo a una regla que es la ecuación o regla que se nos da, podemos tomar cualquier valor del eje x y saber a que valor en el eje y se acercara la sucesión de puntos cuando se acerca al valor en x especificado.

Ejemplo: Sea la función

Haciendo una pequeña tabla para graficar

X	Y
-2	3
-1	-3
0	5
1	-3
2	3

ahora hallemos el límite de esta función cuando x tiende a 2, será:

Es fácil ver en la grafica que tiende a -4, y si se remplaza x=1 en la función da –4, entonces:

Este acercamiento se entiende como el valor más próximo y debemos hacer claridad que si bién en ocasiones resulta ser el valor de la función en el punto escogido no siempre pasa esto.

Ejemplo: Hallar

Realizando una tabla y graficando queda:

X	Y
-2	-0,33333
-1	-0,5
0	-1
1	e
2	1

Se observa en la gráfica que en x=1 no hay función por eso dibujamos la asintota como línea punteada. Si tratamos de encontrar un valor para x=1 nos encontraremos con una división por cero, y esto no es posible. Entonces veamos que en –1 se acerca al infinito por la derecha y al menos infinito por la izquierda. Entonces no hay límite por ser los dos valores diferentes.

Ø Infinitos asintóticos

Límites infinitos

Considere que simplemente los valores de 0,1,2,3,4,5 .... permitiendo de esta manera que crezca o decrezca pero sin dejar atras la definicion de limite entonces en conclusion se podría determinar que la funcion se acercaría al limite por un infinito de números pero nunca tocando el limite

Teorema1

Sea f una funcion que esta definida en todo número de algún intervalo abierto (a+∞) el limite de f(x) cuando x crece sin limite, es L lo que se escribe como:

$\lim_{x\to +\infty} f(x) = L$

Teorema2 Sea f una funcion que esta definida en todo numero de algún intervalo abierto(-∞,a). El limite de f(x) cuando x decrece sin limite, es L, lo que se escribe como

$\lim_{x\to -\infty} f(x) = L$

Teorema3

Sea n cualquier entero positivo, entonces

$\lim_{x\to +\infty} \frac{1}{x^n} =0$

$\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x^n} =0$

Ø Límites al infinito

Se trata ahora de calcular cuál es el valor, en caso de que exista y sea finito, al que se acerca una sucesión según vamos avanzando términos. Usaremos un ejemplo muy ilustrativo para introducir esta. Considérese la siguiente sucesión:

$a_n = \frac{1}{n}$

Si escribimos algunos términos, nos haremos rápidamente una idea de hacia qué valor real se acercan los mismos:
$a_1 = 1, a_2 = \frac{1}{2} = 0.5, a_3 = \frac{1}{3} = 0.33333..., a_4 = \frac{1}{4} = 0.25, a_5 = \frac{1}{5} = 0.2, ...$

Como podemos comprobar, los términos se van haciendo cada vez menores, por lo que es de esperar que, de existir realmente un último término de la sucesión, éste sería 0. Esto nos da una idea intuitiva de lo que significa el límite de una sucesión cuando tiende a infinito; ésto es, aventurar de algún modo a qué valor se acercan los términos de la sucesión según vamos avanzando sobre la misma.

Con la sucesión anterior, podemos escribir $\lim_{n \to \infty}a_n = 0$ , y de hecho, nos podemos tomar la siguiente licencia: $\lim_{n \to \infty}a_n = \frac{1}{\infty} = 0$ .

Dar una prueba para esta igualdad es algo complicado, pero podemos ilustrarlo con el siguiente ejemplo:
Supongamos que disponemos de una barra de pan y con ella debemos alimentar a toda la población de China. La pregunta es cuánto pan corresponde a cada persona.

Si tenemos en cuenta la cantidad de chinos que hay, habremos de realizar fracciones muy microscópicas de pan, porciones casi moleculares que en ningún caso supondrán alimento alguno, por lo que podemos decir que a cada chino le toca cero pan. La idea es que al dividir una cantidad por otra inmensamente mayor, el resultado es inmensamente diminuto; por lo que dividir una cantidad por infinito, que vendría a ser el mayor de todos los valores, nos da el menor de todos ellos, que es cero.

Es importante de cara al cálculo de límites al infinito tener en mente algunas igualdades que implican a infinito. Debemos, además, recordar siempre que infinito no es un número, sinó un concepto. Nos referimos a infito como aquello que es inabarcable o inabastable, pero mediante un inofensivo abuso de lenguaje podemos valernos de él para efectuar operaciones:

$\frac{k}{\infty} = 0$ , $\forall k \ne 0, \infty$

$\frac{k}{0} = \infty$ , $\forall k \ne 0, \infty$

$\infty \pm k = \infty$ , $\forall k \in \mathbb{R}$

Ø Asíntotas

Las asíntotas son rectas a las cuales una función se aproxima indefinidamente, cuando x o f(x) tienden al infinito.

Usando la notación de límite para describir asíntotas

Ahora considere la función

$g(x) = \frac {1}{x}.$

Cuál es el límite cuando x se aproxima a cero? El valor de $g (0)$ no existe puesto que

$\qquad g(0) = \frac {1}{0}$

no está definido

Pero es intuitivamente claro que podemos hacer la función g tan grande como queramos, escogiendo un x suficientemente pequeño. Por ejemplo para hacer $g (x)$ igual a un millón, escogemos que x sea 10^-6. En este caso decimos que podemos hacer g(x) arbitrariamente grande (tan grande como queramos tomando un x que sea suficientemente cercano a cero, pero no igual y expresamos esto algebráicamente como sigue

$\lim_{x\to 0^+} g(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac {1}{x} = \infty$

Note que hemos usado la notación de límite por derecha, ya que el límite, propiamente dicho no existe de hecho en x = 0 (dado que el límite por la derecha y por la izquierda son distintos).

De igual manera podemos considerar que en la medida en que x se hace más y más grande g(x) tiende a cero, pero nunca lo alcanza. Esto nos permite introducir la noción de asíntotas horizontales y verticales.

Ø Asíntota Vertical

Una asíntota vertical se da en x = c, para una función f(x) siempre que:

$\lim_{x\to -3^-} f(x) = \pm \infty$
$\lim_{x\to -3^+} f(x) = \pm \infty$

Vale la pena hacer énfasis en que en c el límite la función puede ser o bien infinito positivo o bien infinito negativo (cualquiera de ellos, pero no ambos), para que tegamos una asíntota vertical y que esto se puede cumplir cuando nos acercamos a c bien sea por la izquierda (primer caso) o bien por la derecha (segundo caso).

$limite$ $4 t 2 + t 2$

Ø Asíntota Horizontal

Una asíntota horizontal es la recta $y = b$ y se tiene siempre que:

$\lim_{x\to \infty} f(x) = b$
$\lim_{x\to -\infty} f(x) = b$

Aplicación de las derivadas en la administración e interpretación. Ejemplos prácticos en el área. Funciones creciente y decreciente. Máximo y mínimos en todo su dominio y en un intervalo.

Ø Derivadas: la definición de derivada

Una función f es derivable en un punto a si existe el siguiente límite:

Lim

h→0 f(a + h) − f(a)

El valor de este limite es la derivada de la función f en a y se representa f_(a).

La derivada de una función en un punto es un número real que mide como está creciendo la función en el punto, con relación al cambio de la variable.

Ya hemos visto numerosos ejemplos en los apartados anteriores y todavía veremos más en este. Antes, sin embargo, veamos un par de cuestiones importantes.

Si una función presenta una discontinuidad en un punto, no existe la derivada de la función en aquel punto.

Dicho de otra manera, si una función es derivable en un punto, tiene que ser continua en este punto.

Ø Aplicaciones económicas.

En el tema que nos ocupa, podemos destacar muchas aplicaciones de las derivadas a la Economía. Como una primera aplicación, destacamos que la derivada de una función F(x) en un punto a es la tasa instantánea de F(x) en a; para entender dicho concepto, vamos a deducirlo a partir de la tasa de variación media como vemos en los siguientes ejemplos.

Ejemplo.

Supongamos que entre los meses de enero y noviembre del año 2000 el Ibex ha pasado del valor 11.500 al 9.000. Determinar la tasa de variación media mensual.

Solución:

Dado el periodo transcurrido, 11 meses, podemos llamar:

Ibex_0 = 11500

Ibex_11 = 9000

Entonces la tasa media mensual será:

Por lo tanto, si la tasa de variación media la definimos como:

nos devuelve cuantas veces crece (decrece en nuestro ejemplo) la variable “y” (en nuestro ejemplo el Ibex) por cada una de x (en nuestro ejemplo el mes).

Ejemplo

Sea la función:

Determinar la tasa de variación media en el punto x=1 para un incremento “h”.

Solución:

La tasa de variación en el punto x=1 es:

Ejemplo.

Sea la función:

Determinar la tasa de variación instantánea en el punto x=1 y compararla con las obtenidas en los puntos x=2 y x=3.

Solución:

La tasa de variación instantánea es el límite de la tasa de variación media cuando el intervalo de variación de la variable independiente tiende a cero:

En el punto x=1:

Es decir, la derivada de la función F(x) en el punto x=1:

En el punto x=2:

En el punto x=3:

Observamos que las tasas de variación instantánea o las derivadas de la función dada en cada uno de los puntos han dado valores muy distintos: negativo, cero y positivo. Si dibujamos la gráfica de la función podremos comprobar este hecho:

Vemos que en x=1 la pendiente es negativa, en x=2 la pendiente es cero y en x=3 la pendiente es positiva. Observamos, además que la pendiente, en valor absoluto, es mayor en x=3 que en x=1

Otras aplicaciones son los conceptos marginales. Así, si suponemos una empresa que produce un único bien en un número de unidades igual a “x”, entonces si llamamos C(x) al coste de producción de dicho bien y I(x) al ingreso por la venta del mismo, el beneficio:

B(x) = I(x) – C(x)

Pues bien, a las derivadas de estas funciones se llaman, respectivamente, B’(x) beneficio marginal, I’(x) ingreso marginal y C’(x) coste marginal.

Veamos otro concepto importante en Economía relacionado con las derivadas: la elasticidad.

Definición.

Sea F(x) y x un punto donde F(x) es derivable con F(x)0. La elasticidad de F con respecto a x es:

Ejemplo

Demostrar que:

Solución:

Ø Derivadas de orden superior.

Sea F(x) y su función derivada F’(x). Definimos la derivada de orden “n” (n natural) como:

De la definición anterior, se desprende que la derivada de orden 3 es la derivada de la derivada de orden 2, siendo la derivada de orden 2 la derivada de la derivada de orden 1, a la que hemos llamado, en general, derivada de la función.

Ejemplo

Si tratamos de calcular la derivada tercera de la función x⁵-3x² + 9 hemos de proceder, según la definición:

1) Calcular la primera derivada:

F(x) = x⁵-3x² + 9 Þ F’(x) = 5x⁴ – 6x

2) Calcular la segunda derivada:

3) Calcular la tercera derivada (derivada de la segunda):

Definición.

Una función F(x) continua y cuyas derivadas hasta el orden k sean funciones continuas, se dice que es de clase k y se denota:

Las funciones de clase k las utilizaremos bastante en lo que sigue.

Derivación de funciones compuestas. Regla de la cadena.

Sean F y G dos funciones reales:

Sabemos que si se verifica:

entonces existe la composición

definida como

Pues bien, ahora se trata de determinar la derivada de la función composición GF a la que, por comodidad, llamaremos W = GF; es decir, tratamos de calcular W’.

A partir de la regla de la cadena:

W’(x) = G’(F(x)) F’(x)

Esta última expresión se deduce de la propia definición de la composición antes indicada, W(x) = G(F(x)).

En el caso que la derivada de W la queramos evaluar en un punto x₀, utilizaremos la expresión:

W’(x₀) = G’(F(x₀)) F’(x₀)

Evidentemente, siempre se puede realizar esta derivada calculando la composición directamente y derivando después en ésta, aunque este camino suele ser más largo que la aplicación de la regla de la cadena.

Ejemplo

Dadas las funciones F(x) = Log(x+2) y G(x) = x⁴-x, determinar la derivada de la función composición de ambas de forma general y evaluada en el punto x=0.

Solución:

Aplicando la regla de la cadena:

W’(0) = G’(F(0)) F’(0)

Calculemos dichos elementos:

F(x) = Log(x+2) ; F(0) = Log(2)

G(x) = x⁴- x ; G’(x) = 4x³– 1 ; G’(F(0)) = 4 (Log(2))³ -1

Por tanto:

W’(0) = 1/2 (4 (Log(2))³ - 1) = 2 (Log(2))³ - 1/2

Como hemos indicado anteriormente, podemos construir la composición de las funciones y luego derivar, sin aplicar, por tanto, la regla de la cadena. Este proceso, cuando las funciones son complicadas es mucho más difícil y lento que el método anterior.

En nuestro ejemplo:

W(x) = (F°G)(x) = G(F(x)) = G(Log(x+2)) = (Log(x+2))⁴ - Log(x+2)

W’(0) = 1/2 (4(Log(2))³ - 1) = 2 (Log(2))³ - 1/2

Resultando, evidentemente, lo mismo por los dos caminos.

En la práctica, además de todo lo indicado en el ejemplo anterior, se suele utilizar la regla de la cadena cuando se realiza el cálculo de la derivada de una función; por ejemplo, si preguntamos por la derivada del logaritmo neperiano de una función indicamos:

F(x) = Log(f(x))  F’(x) = 1/f(x) f ’(x)

estamos aplicando la regla de la cadena como se puede comprobar fácilmente.

Ø Funciones crecientes y decrecientes

Una función es creciente si en la medida en que crece el valor de los elementos del dominio también crece el valor de las imágenes.

Una función es decreciente si en la medida en que crece el valor de los elementos del dominio, las imágenes decrecen en valor.

Algunas funciones son siempre crecientes, decrecientes o constantes, pero esto no es lo habitual.

Determina cuáles de las siguientes funciones son crecientes y cuáles son decrecientes. Mueve el punto rojo para ver cómo varía la función.

Ø Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada

Sea f una función continua con ecuación , definida en un intervalo .
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo .

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:

Creciente en los intervalos $]a,x_{3}[$ , $]x_{5},x_{6}[$
Decreciente en los intervalos $]x_{3},x_{5}[$ , $]x_{6},b[$

También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos $(x_{3}, f(x_{3}))$ , $(x_{5},f(x_{5}))$ y $(x_{6},f(x_{6}))$ la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas se formalizan las apreciaciones anteriores.

Teorema 1

Sea f una función continua en un intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto .

Si para toda x en , entonces la función f es creciente en .
Si para toda x en , entonces la función f es decreciente en .
Demostración: Al final del capítulo.

Ejemplos:

Determinemos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{1}{2}(x^2-4x+1)$ .

Para ello calculemos la primera derivada de .

Como $f'(x)>0 \Leftrightarrow x-2>0$ , o sea si , entonces f es creciente para .

Como $f'(x)<0 \Leftrightarrow x-2<0$ , o sea si , entonces f es decreciente para .

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

Determine en cuáles intervalos crece o decrece la función con ecuación $f(x)=x^2+\displaystyle\frac{1}{x^2}$ con $x\neq0$ .

La derivada de f está dada por $f'(x)=2x- \displaystyle\frac{2}{x^3}$ que puede escribirse como $f'(x)=\displaystyle\frac{2(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x^3}$

Como es positivo para toda x en $I \! \! R$ entonces:

$f'(x)>0 \Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} >0$ y

$f'(x)<0\Leftrightarrow \displaystyle\frac{(x-1)(x+1)}{x^3} <0$

Para resolver estas desigualdades recurrimos a la siguiente tabla.

3. Luego: si $x \in ]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$ por lo que la función f crece en el intervalo $]-1,0[ \; \cup \; ]1,+\infty[$ .

Además: si $x \in ]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$ de donde la función f decrece en el intervalo $]-\infty,-1[ \; \cup \; ]0,1[$ .

La representación gráfica de la función es la siguiente:

Determinar los intervalos en que crece o decrece la función f con ecuación $f(x)= \displaystyle\frac{x+1}{x-1}$ , con $x\neq 1$ .

La derivada de f es $f'(x)=\displaystyle\frac{-2}{(x-1)^2}$ .

Como es mayor que cero para x en $I \! \! R$ , $x\neq 1$ , y además entonces para todo x en $I \! \! R$ $(x\neq 1)$ , por lo que la función f es decreciente para x en $I \! \! R$ , $x\neq 1$ . La siguiente, es la representación gráfica de dicha función:

Ø MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN

1. En las funciones siguientes determina los puntos críticos, máximos y/o mínimos si existen, intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos de inflexión, intervalos de concavidad y un esbozo del gráfico:

a) f(x) = x³ - 4x² + 6x + 1	b) f(x) = (1-2x)³	c) f(x) = x³ + 4x
d) f(x) = x³ - 2x² + 5	e) f(x) = 2x^1/3 - x^2/3	f) f(x) =
g) f(x) =	h) f(x) = 2x^1/2 - x	i) f(x) = 2 + (x - 3)^4/3
j) f(x) = x	k) f(x) =	l) f(x) = (x - 1)³(x + 2)²

2. Encuentra a, b y c tales que la función definida por f(x) = ax² + bx + c tenga un valor máximo relativo de 7 en 1 y la gráfica de y = f(x) pase por el punto (2,-2).

3. Hallar a, b, c, y d tales que la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d tenga un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (2,2).

4. Hallar a, b y c tales que la función f(x) = tenga un máximo relativo en (5,20) y pase por (2,10).

5. Hallar a, b, c y d tales que la función f(x) = ax³ + bx² + cx + d tenga un máximo relativo en (3,3), un mínimo relativo en (5,1) y un punto de inflexión en (4,2).

6. Grafica las siguientes funciones indicando máximos y/o mínimos si existen:

a) f(x) =	b) f(x) =
c) f(x) =	d) f(x) =

7. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y su suma sea mínima.

8. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 16 y la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mínima.

9. Una pared de 3,2 metros de altura está situada a una distancia de 1,35 metros de una casa. Hallar la longitud de la escalera más corta de manera que apoyándose en el suelo y en la pared llegue a la cima de la casa.

10. Un fabricante de cajas de cartón desea hacer cajas abiertas de piezas de cartón de 12 pulgadas por 12 pulgadas, cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados. Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible.

Función creciente y/o decreciente.

Creciente en x_o si para x > x_o F(x) ≥ F(x_o) ► F ' (xo) ≥ 0

ya que:

		F(x) - F(x_o)
F'(x_o) =	Lim	————————	≥ 0
	x → x_o	x - x_o

Una función F(x) se dice que es Creciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es positiva; F '(x_o) ≥ 0. En la gráfica se puede ver que esto ocurre desde -∞ hasta a y desde b hasta +∞. En esos intervalos la derivada (pendiente) está por encima del ejes X (es positiva).

Decreciente en x_o si para x > x_o F(x) ≤ F(x_o) ► F ' (xo) ≤ 0

Una función F(x) se dice que es Decreciente en un punto, x_o, si su derivada, en ese punto, x_o, es negativa; F '(x_o) ≤ 0. En la gráfica se observa que esto ocurre para valores de x comprendidos entre a y b. En este intervalo la derivada está por debajo del eje X (es negativa).

		F(x) - F(x_o)
F'(x_o) =	Lim	———————	≤ 0
	x → x_o	x - x_o

F(x) = 1/(x² + 1) Se observa que para x є (- ∞, 0] es creciente, es decir, al aumentar la x, aumenta F(x). Su derivada es positiva en ese intervalo .
Para x є (0 , + ∞], es decreciente, al aumentar la x disminuye F(x). Su derivada es negativa.
Su derivada es: F ' (x) = - 2·x/(x² +1)² que como puede observar es positiva para x < 0 y negativa para x > 0.

Máximos y Mínimos Relativos. Puntos Singulares.

Máximos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea positiva y después del punto negativa, se dice que la función tiene un máximo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de creciente a decreciente. En x = a la función tiene un máximo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de positiva a negativa. (se anula y cambia de signo). Máx en (a,f(a))

Mínimos de una Función.

En un punto en el que la derivada se anule y antes sea negativa y después del punto positiva, se dice que la función tiene un mínimo relativo. Es decir, que F'(x_o) = 0 y en ese punto, la función, pase de decreciente a creciente. En x = b la función tiene un mínimo relativo y se observa que su derivada se anula en ese punto, pasando de negativa a positiva. Mín en (b,f(b).
Para que una función tenga máximo o mínimo no es suficiente con que su derivada se anule (debe, además, cambiar de signo).

Para estudiar un caso práctico vaya aquí.

Puntos de Inflexión de una función. Máximos y mínimos de la derivada. Concavidad.

Un punto de inflexión es aquel donde la función derivada tiene un máximo o mínimo, es decir, un punto singular. Se dice que la función tiene un cambio en la concavidad.
Para calcular los puntos de inflexión hay que igualar a cero la derivada segunda y comprobar que ésta cambia de signo. Es decir, estudiar los máximos y mínimos de la primera derivada, para ello se deriva la primera derivada (segunda derivada) y se anula. En los puntos donde la segunda derivada se anule y cambie de signo, la función tendrá un punto de inflexión y su derivada un máx o un mín. En la gráfica, en x = 0 la función tiene un punto de inflexión y en el su derivada tiene un mínimo en (0,c).
Donde la derivada segunda sea positiva se dice que la función es cóncava positiva y donde es negativa concavidad negativa. Un punto de inflexión es donde la función cambia de concavidad.

En F(x) = x⁴ - 4·x² = x²·(x² - 1) puede observarse que su derivada:
F'(x) = 4·x³ - 8·x = 4·x·(x² - 2) presenta un máximo y un míninimo en x = ± √(2/3). Es aquí donde la función presenta puntos de inflexión. Vea ambas

ESTUDIO GRÁFICO DE UN POLINOMIO

F(x) = x³ - 9·x = x·(x² - 9) = x·(x - 3)·(x+3)

Dominio.

Recordemos que el Dom de F(x) está formado por los número reales (originales) que tienen imagen. Al sustituir la x por un valor numérico, F(x) nos devuelve, también, un valor numérico. Por tanto el Dom F(x) es R o - ∞ < x < ∞ o (- ∞ , ∞). En general, el dominio de un polinomio es siempre R.

Puntos de corte con eje X.

Los puntos del eje X tienen la forma (a , 0), es decir y = 0. Para calcular dichos puntos resolvemos la ecuación: F(x) = 0

F(x) = x³ - 9·x = x·(x² - 9) = x·(x - 3)·(x+3) ► x = 0 , x = ±3. Los puntos buscados son: (-3 , 0) ; (0 , 0) y (3 , 0). Vea la gráfica y compruébelo.

Punto de corte con eje Y.

Los puntos del eje Y tienen la forma (0 , a), es decir x = 0. Para calcular dicho punto (uno como máximo) se hace a = F(0) ► (0 , F(0)) ► (0 , 0)

Estudio del signo de la función.

Para ver dónde la función es positiva (está encima del eje X) o negativa (debajo del eje X) se factoriza la función, encontrando los puntos de cortes con el X, ya calculados. Téngase en cuenta que dicho eje es la frontera entre los positivos y negativos de la función. El siguiente paso es delimitar los intervalos entre los puntos de corte, es decir:

- ∞ < x < -3   Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= -10 ► F(x) < 0
- 3 < x < 0     Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= -1   ► F(x) > 0
0 < x < 3     Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= 1 ► F(x) < 0
3 < x < ∞    Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= 10 ► F(x) > 0

Simetría.

Para el estudio de la simetría hay que ver si F(-x) y F(x) son iguales (par), de signo opuesto (impar) o distintos (no tiene simetría).

F(x) = x³ - 9·x
F(-x) = (-x)³ - 9·(-x) = -x³ + 9·x = -(x³ - 9·x) = - F(x) ► S. Impar (respecto origen)

Asíntotas.

Los polinomios carecen de asíntotas de todo tipo ya que al crecer (o decrecer) la x indefinidamente la función también lo hace (no tiene horizontal). Además es imposible que para x tendiendo a un número finito, F(x) crezca indefinidamente (no tiene vertical; ya que no tiene denominador).

Crecimiento. Máximos - Mínimos. Derivada. Pendiente.

Recordemos que la condición necesaria para que tenga máx-mín es que su derivada se anule en él. La derivada es la pendiente de la tangente y en estos puntos la recta tangente tiene pendiente nula (es horizontal).

F '(x) = 3·x² - 9 = 0 x² = 9/3 x = ±√3 . Ahora se estudia el signo de la derivada para ver si cambia de signo en ellos (condición suficiente).

- ∞ < x < -√3   Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= -10 ► F '(x) > 0
-√3 < x < √3   Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= 0 ► F(x) < 0
√3 < x < ∞    Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= 10 ► F(x) > 0

En   - ∞ < x < -√3 la función es CRECIENTE ya que su derivada es >0 (positiva)
En  -√3 < x < √3   la función es DECRECIENTE ya que su derivada es <0 (positiva)
En √3 < x < ∞    la función es CRECIENTE ya que su derivada es >0 (positiva)

En x = -√3 la derivada se anula y cambia de signo (de + a -) ► Máximo.
En x = √3 la derivada se anula y cambia de signo (de - a +) ► Mínimo.

Máx en (-√3 , F(-√3 )) ► (-√3 , 6√3 )
Mín en (√3 , F(√3 )) ► (√3 , -6√3 )

Concavidad. Puntos Inflexión. Derivada segunda.
(Máx-Mín de la Primera Derivada)

Ya sabemos que para calcular los máximos y mínimos de una función hay que derivar (pendiente) e igualar a cero. Si quisiéramos estudiar los máx-mín de la derivada tendríamos que derivar la derivada (segunda derivada) e igualar a cero ésta. Pues eso es lo que hay que hacer, ya que los puntos de inflexión de la función (donde cambia la concavidad) son máx o mín de la derivada (observe la figura y compruébelo). Es decir tenemos que repetir los pasos realizados con F'(x) para F''(x). Así que:

F''(x) = 6·x = 0 ► x = 0 Ahora comprobamos si la segunda derivada cambia de signo al anularse. Dividimos la recta Real en dos intervalos:

- ∞ < x < 0 Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= -10 ► F''(x) < 0
0 < x < ∞ Tomamos un x de este intervalo, por ejemplo, x= 10 ► F''(x) > 0

En el primer intervalo la segunda derivada es negativa ►la primera derivada es decreciente ► la función es convexa.
En el segundo intervalo la segunda derivada es positiva ►la primera derivada es creciente ► la función es cóncava.

Convexa significa que las rectas (y), tangentes a la función, están por encima de ella (el valor de y > F(x)). Cóncava lo contrario. Punto de inflexión es aquel donde cambia de concavidad, es decir, la recta tangente corta a la curva en un punto de ella, dejando una parte por encima y otra por debajo. Intente trazar la recta tangente de nuestra función en el punto (0 , 0). ¡A que esa no era la idea que tenías de recta tangente

Ø Bibliografía

http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas3.html

http://es.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_en_una_variable/L%C3%ADmites#L.C3.ADmites_infinitos

http://matematica.50webs.com/derivada.html

http://www.zonavirtual.org/EscenasInteractivas/paginas/Funciones_Creciente_Decreciente.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursoslinea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node2.html

http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/12maximo-min.htm

http://www.acienciasgalilei.com/mat/fun-gra-htm/14estudio-graf-polinomio.htm#concavidad