República de Bolivariana de Venezuela
UNIVERSIDAD YACAMBÚ
Lic. Contaduría Pública
Profesor: Juan
García
Realizado por: Carmen Celina Espinoza
TRABAJO
1
Cálculo Diferencial
Lógica
Matemática
INTRODUCCION
En este trabajo se trata además de presentar
las explicaciones con ejemplos que le sean familiares. El objetivo
primordial es que nosotros los alumno aprendamos a realizar demostraciones formales
por el método directo y el método por contradicción. Consideramos que sí el
alumno aprende lógica matemática no tendrá problemas para aprender ciencias
exacta y será capaz de programar computadoras,
ya que un programa
de computadora
no es otra cosa que una secuencia de pasos lógicos, que la persona
establece para resolver un problema determinado.
El presente trabajo pretende motivar para
que con ayuda de la “lógica matemática”, él sea capaz de encontrar estos
relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje,
para que de esta manera tenga una buena estructura
cognitiva. Consideramos que si sabemos
lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras
áreas para de esta manera crear conocimiento.
Por lo tanto, en el desarrollo de este trabajo nos paciéremos someramente por
los puntos siguientes: Definiciones de proposición, clasificación
de las proposiciones, definición de conectivos: negación, conjunción disyunción
inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional. Tablas de verdad. Tautologías, contradicciones.
Importancia de estos conceptos en el campo profesional. Cual es la aplicación de las funciones Lineal.
Cuadrática. Máximos y mínimos.
Desarrollo
La lógica
matemática es la disciplina
que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica
proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento
dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas;
en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas;
en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones
de experimentos;
y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud
de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para
realizar cualquier actividad.
Ø Definiciones de proposición.
Una
proposición o enunciado es una
oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es
un elemento fundamental de la lógica matemática.
Proposición: es lo que se
afirma cuando se usa una oración para decir algo verdadero o falso. Así pues,
una proposición corresponde al significado de una oración enunciativa, ya que las
oraciones interrogativas, desiderativas o exclamativas carecen de valor de
verdad.
Proposición
lógica: agrupación de términos de la que se puede averiguar si su
contenido es verdadero o falso. Ej: “La mesa es
redonda”; “3+2=5”.
Las proposiciones son los elementos a
partir de los cuales se construyen los razonamientos.
Una proposición es una oración con
valor referencial o informativo, de la cual se puede predicar su veracidad o
falsedad, es decir, que puede ser falsa o
La proposición es la expresión lingüística
del razonamiento, que se caracteriza por ser verdadera o falsa empíricamente,
sin ambigüedades. Son proposiciones las oraciones aseverativas, las leyes
científicas, las fórmulas matemáticas, las fórmulas y/o esquemas lógicos, los
enunciados cerrados o claramente definidos. No son proposiciones las opiniones
y suposiciones; los proverbios, modismos y refranes; los enunciados abiertos no
definidos; las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas,
desiderativas y dubitativas; las interjecciones en general; ni las operaciones
aritméticas.
Las siguientes
expresiones son ejemplos de proposiciones:
Bolívar libertó a
Venezuela
El hierro es un mineral
Einstein fue un físico teórico
36 + 63 = 99
La palabra
"esdrújula" es esdrújula
Los siguientes son ejemplos
de expresiones las cuales no son proposiciones
El hombre más fuerte del
mundo
El director del
periódico
¡Quién se ganara el Kino!
13 + 7
¡Tú te callas!
X obtuvo el Premio Nobel en 1970
¿Cuánto cuesta ese
reloj?
Las proposiciones se representan por letras minúsculas: p, q, r, s, t, u,
etc. Por ejemplo, sea la proposición q igual a 34 + 56 = 90
Una proposición se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bién es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad .
Algunas proposiciones se pueden componer de
dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones
compuestas .
Ø Clasificación de las proposiciones.
* Atómicas: Si no puede
subdividirse en otras proposiciones más
pequeñas y siempre son afirmativas. Ej.:”Está lloviendo”; “3+2=5”
* Moleculares: pueden subdividirse en
otras proposiciones enlazadas y/o modificadas por algunos términos. Ej.: “Llueve
y es de día”; “La mesa no es redonda””No la mesa es redonda” (Molecular)
Son aquellas que carecen totalmente de
conectivos lógicos y que, por lo tanto, son inseparables. En este grupo se
encuentran las proposiciones predicativas,
que son aquellas en la cual se afirma o atribuye una característica respecto de
un objeto, como por ejemplo, Juan Pérez es
profesor; y las proposiciones relacionales, en las cuales existe una relación de
dependencia, estableciendo un enlace entre dos o más objetos, como por ejemplo,
Caracas es la capital de Venezuela.
Las proposiciones pueden
ser afirmativas y negativas. En lógica bivalente o lógica
binaria, la negación de una proposición negativa equivale a una afirmación.
Por su extensión, las
proposiciones pueden clasificarse en universales (“Todo S es P”),
particulares (“Algún S es P”) y existenciales (“Sócrates existe”).
La combinación de ambos
criterios da lugar a los siguientes tipos de proposiciones:
- Universal
afirmativa (“Todos los humanos son mortales”).
- Universal
negativa (“Ningún humano es mortal”).
- Particular
afirmativa (“Algunos planetas giran alrededor del Sol”).
- Particular
negativa (“Algunos planetas no giran alrededor del Sol”).
- Existencial
afirmativa (“Sócrates existe”).
- Existencial
negativa (“Sócrates no existe”).
Todas ellas pueden ser verdaderas o
falsas. Su valor de verdad, sin embargo, no depende de la lógica, sino de la
aplicación de otro tipo de criterios de verdad.
Ø
Definición de
Conectivo:
Ø Negación
Si p es una
proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le
llama Negación de p, escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es
posible, se inserta en p la palabra «No».
Simbólicamente
denotaremos a la negación por ~p, aunque existen
varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la negación
de una proposición p como: ¬p ,-p , etc...., nosotros
utilizaremos la notación ~p.
El valor de
verdad de la negación de una proposición fundamental depende de la condición
siguiente:
Si p es
verdadero, entonces ~p es falso;
si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es decir el
valor de verdad de la negación de una proposición fundamental es siempre
opuesto del valor de verdad de la proposcion.
Consideremos
los siguientes ejemplos:
1.- Si p es
la proposición «Alemania se encuentra en Europa»,entonces
la negación de p, ~p, será la proposición: «Es falso
que Alemania se encuentre en Europa»
Es obvio que el valor de verdad para ~p es falso,
pues la proposición p: «Alemania se encuentra en Europa» es verdadero.
Tambien se pudo haber expresado la negación de p como:«Alemania no se encuentra en Europa».
2.- Si p es
la proposición: «2 * 3 = 7», entonces ~p es la
proposición: «2 * 3 /= 7», donde el valor de verdad de ~p
es verdadero, pues p«2 * 3 = 7», es falso.
Ø Conjucion disyunción inclusiva
En
matemáticas se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término
y/o.
Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó
ambas».Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposición.
Simbolicamente la denotaremos escribiendo p v q .
A esta
nueva proposición compuesta se le llama Disyunción, de modo que la proposición
p v q se llama disyunción de p y q.
El valor de
verdad de la proposición compuesta p v q cumple la condición siguiente:
Si p es
verdadero o q es verdadero o si ambos, entonces p v q
es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la disyunción de
dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.
Veamos a
continuación los siguientes ejemplos:
1.- Si p es
la proposición «2 es un número par» y q es la proposición «3 es un número
primo», entonces la disyunción p v q será la proposición «2 es un número par o
3 es un número primo».Donde el valor de la disyunción es verdadero pues tanto p
y q son ambas verdaderas.
2.- Si p es
la proposición «2 < 3» y q es la proposición «4 es un número primo».
Entonces la disyunción p v q es la proposición:«2 <
3 o 4 es un número primo». Donde el valor de verdad de p v q es verdadero, pues
p «2 < 3» es verdadero, y q «4 es un número primo» es falso.
Con esto se
observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyunción p v q es
verdadera, entonces el valor de la disyunción es verdadera.
3.- Si p
es: «París se encuentra en Inglaterra» y q es: «2 + 2 = 5», luego entonces el
valor de la disyunción p v q será falso, pues tanto p como q, ambas son falsas.
Ø DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
Decimos que la
disyunción exclusiva resulta verdadera cuando sus componentes tienen distinto
valor de verdad y es falso si sus dos componentes tienen el mismo valor de
verdad.
Ejemplo: “O bien Juan se dedica a estudiar o bien se dedica a la música”
|
A |
B |
(A W B) |
|
V |
V |
F |
|
F |
V |
V |
|
V |
F |
V |
|
F |
F |
F |
Ø Condicional
En
matemáticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposición «Si p, entonces
q». Tales proposiciones se llaman condicionales y se le denota por:
p --> q
El
condicional p --> q también se puede expresar de las siguientes maneras:
- p implica q
- p solamente si q
- p es suficiente para q
- q es necesario para p
Veamos un
ejemplito, el cual te ayudara a comprender las maneras en que una proposición
condicional se puede expresar:
Por ejemplo,
cuando decimos:
Mi
automóvil funciona si hay gasolina en el tanque.
Este
enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:
a) Si hay
gasolina en el tanque, entonces mi automóvil funciona.
Observa que
en este caso la proposición condicional es del caso: «Si p, entonces q».
b) Mi
automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque.
En este
caso la proposición condicional es del caso: «p solamente si q».
c) Si hay
gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil
funcione
En este
caso la condicional es de la forma: «p es suficiente par q».
d) Para que
mi automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.
Para este
caso la proposición condicional es de la forma: «q es necesario para q».
e) Que haya
gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.
En este
caso la condicional es de la forma: «p implica q».
El valor de
verdad de la proposición condicional p --> q está dada
de la siguiente condición:
El
condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es
decir, una proposición verdadera no puede implicar una falsa.
La
proposición condicional juega un papel muy importante en matemáticas, en
particular, en la demostración matemática. Veremos mas adelante cuando
lleguemos a este tema, que los teoremas, corolarios,.etc,etc...vendran
dadas por una serie de condiciones a la que llamaremos: Hipótesis o
antecedentes, lo cual implican un consecuente. En el condicional p --> q a p
se le llama el antecedente, y a q el consecuente.
Ø
Bicondicional
El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales
p <--> q obedece a la condición:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p
<--> q, es verdadero.
Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso.
Dicho de otra manera: si tanto p como q son verdaderos, entonces p <--> q
es verdadero.
Si tanto p como q son falsos, entonces p <--> q tambien
es verdadero.
Si p es verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso.
Si p es falso y q verdadero, entonces p <--> q también es falso
Veamos los ejemplos siguientes:
1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.
Si se toma p como: «3 + 2 = 7» y q como: «4 + 4 = 8»,
entonces el valor de verdad de p, es falso, pero el valor de verdad de q es
verdadero, luego entonces la bicondicional p
<--> q es falsa.
2.- Londres está en Inglaterra si, y solamente si, París
está en Francia.
Sea p «Londres está en Inglaterra» y q «París está en
Francia», entonces tanto el valor de p, como de q, son verdaderos,es decir tienen el mismo valor de verdad, luego
entonces la bicondicional p <--> q es
verdadera.
3.- 10 es un número impar si, y solamente si, 6 es un número
primo
Si p es: «10 es un número impar» y q es: «6 es un número
primo», entonces se observa que tanto el valor de verdad de p, como de q, son
falso, es decir tienen el mismo valor de verdad, luego entonces la bicondicional p <--> q es verdadera.
Ø Tablas de Verdad
A partir de el conjunto original
de proposiciones fundamentales hemos formado un nuevo conjunto, aceptando en él
toda combinación de proposiciones del conjunto original, que se pueden formar
empleando los conectivos lógicos ^, v, ~. Los elementos del último conjunto se
le llaman proposiciones compuestas. Podemos tener ahora proposiciones
compuestas del tipo (p ^ q)v r.
El valor de verdad que se asigna a una proposición compuesta suponemos que se
asigna de acuerdo con la extensión natural de las hipótesis anteriores.
Dichas hipótesis se resumen y se generalizan por medio de lo que se llama una
tabla de verdad
Se puede conocer el valor de verdad de una proposición, que contiene
conectivos, determinando el valor de verdad de cada una de las componentes. A
una proposición p se le asigna los valores V o F, escritos en este orden,
debajo de la proposición p. Las tablas de verdad para los conectivos ~, v, ^,-->, <--> se verán a continuación.
Tabla de verdad para ~p.
|
Esta tabla nos hace recordar la definición que vimos anteriormente
de la negación, que dice: si el valor de verdad de p es verdadero, entonces el
valor de verdad de ~p es falso. Si el valor de verdad
de p es falso, entonces el valor de verdad de ~p es
verdadero.
Tabla de verdad para p v q.
|
En esta tabla se observa: Si p es verdadero o q es verdadero
o si ambos p y q son verdaderos, entonces p v q es verdadero; en otro caso p v q
es falso. Es decir, la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si
cada proposición componente es falsa.
Tabla de verdad para p ^ q.
|
Esta tabla nos hace ver la definición de la conjunción:
Si p es verdadero y q es verdadero, entonces p ^ q es verdadero; en otro caso p
^ q es falso. Es decir, la conjunción de dos proposiciones es verdadera
solamente si cada componente es verdadero.
Tabla de verdad para p --> q.
|
De la tabla anterior se abserva
que el condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso.
Es decir una proposición verdadera no puede implicar una falsa.
Tabla de verdad para p <--> q.
|
De la anterior tabla se puede observar que:
Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q es verdadero;
si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso.
Las tablas de verdad anteriores son las que se necesitan
para deducir el valor de verdad de cualquier proposición por complicada que
sea. A las tablas de verdad deducidas a partir de ellas se les llama tablas de
verdad deducidas
Ilustremos esto con el siguiente ejemplo:
Calculemos la tabla de verdad de la proposición ~p v
q. Como se indica en la tabla que veremos a continuación, para construir dicha
tabla, debemos empezar con todas las posibles combinaciones de valores de
verdad de p que se deducen de la primera columna, podemos escribir la columna
dos en la cuarta columna, finalmente aplicamos la definición de la disyunción
para ~p v q. Esto lo verificamos con la siguiente
tabla:
Tabla de verdad para ~p v q.
|
Nota:
De la tabla anterior podemos observar lo siguiente:Si comparamos las columnas primera y segunda con los
de la cuarta columna, es decir los valores de verdad de p y q con los valores
de verdad de ~p v q, observamos que ~p v q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es
falsa. Esto nos hace recordar los valores de la proposición condicional p
<--> q, veremos mas tarde la relación que existe entre éstas dos
proposiciones.
En general:
Analizando que para dos proposiciones se necesitan cuatro
filas..o visto de otra manera: se necesitan 22
= 4 filas. Para tres proposiciones se necesitan ocho filas, o, 23 =
8. Para cuatro proposiciones necesitaremos 24 = 16 filas...en
general para n proposiciones necesitaremos 2n filas.
Ilustremos todo esto con un ejemplo, construyamos la tabla
de verdad para la proposición compuesta: [(p v q) ^ r ]
--> ~q ^ p.
Tabla de verdad para
[(p v q) ^ r] --> ~q ^ p.
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Ø Tautología
Ahora
veamos un caso especial de proposiciones, las cuales se caracterizan por tener
sólo el valor de verdad V en la última columna de sus tablas de verdad,
independientemente de el valor de las demas proposiciones. Tales proposiciones se le llaman:
Tautologías.
Algunas de estas tautologías son muy comunes y útiles y por eso se le llaman leyes.
Ahora costruyamos la tabla de verdad para la proposición: p v ~p.
Tabla
de verdad para p v ~p.
|
Se observa
que el valor de verdad de esta proposicion p v ~p es V, independientemente de el valor de p. Por tanto se
trata de una tautología. A dicha tautología se le llama ley del tercio excluído.
Construyamos
la tabla de verdad para la proposición:
[(p -->
q) ^ (q --> r)] --> (p --> r).
Tabla de verdad para: [(p
--> q) ^ (q --> r)] --> (p --> r)
|
A esta
proposición se le conoce con el nombre de La ley del silogismo, la cual es un principío fundamental del razonamiento lógico.
Antes de
pasar a la siguiente observacion, veamos antes algo
sobre notacion:
Podemos denotar a una proposición compuesta, como las que hemos visto desde
casi el principio, como P(p,q,r,....),
donde P es la proposición compuesta en sí, y p,q,r,...sus
componentes.
Por ejemplo: La proposición anterior que vimos, [(p -->q) ^ (q -->r)]
--> (p -->r), podemos llamar a esta pproposición compuesta como P, de
componentes p,q y r. Es
decir nuestra proposición compuesta es de la forma:
P(p,q,r).
Observacion:
Si P(q,r,s...) es una
tautología, entonces ~P(q,r,s...)
es una contradicción y
viceversa
Ø
Contradicción
La contradicción es una proposición compuesta: P(q,r,s...) que se caracteriza por
tener sólo el valor de verdad F en la última columna de sus tablas de verdad,
independientemente de el valor de las demás proposiciones: q,r,s...
Veamos la proposición p ^ ~ p y verificaremos que se trata de una
contradicción.
p ^ ~p
|
La tabla nos muestra que en la última columna aparecen los valores de verdad F,
independientemente de los valores de p y ~p.
Ø Importancia de estos conceptos en el campo
profesional.
La lógica se utiliza en la
tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento
lógico. Asimismo, la lógica es pues muy importante; ya que permite resolver
inclusive problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando
solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se
pueden obtener nuevos inventos o innovaciones a los ya existentes o simplemente
utilización de los mismos.
·
Aplicación de las
funciones Lineal.
Una transformación lineal es un conjunto de operaciones
que se realizan sobre un elemento de un sub espacio,
para transformarlo en un elemento de otro sub-espacio.
En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente
interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre
y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más
fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más
sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica
llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de
cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser
reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas
operaciones forman una transformación lineal.
Codominio.
Se denomina transformación lineal, función
lineal o aplicación lineal a toda aplicación
cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente
definición:
Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o
campo K, y T
una función de V en W.
T es una transformación lineal si para todo
par de vectores u y v
pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K,
se satisface que:
1.
T(u +v) = T(u) + T(v)
- T(ku) = kT(u)donde k es un escalar.
La particularidad de una transformación lineal
es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar
por un vector.
Son aplicaciones lineales los operadores usados
en la formulación
matemática de la mecánica cuántica.
Ø Clasificación de las
transformaciones lineales
1. Monomorfismo:
Si T : V – W es inyectiva, o sea si el
único elemento del núcleo es el vector nulo
ker(T) = 0v
2. Epimorfismo: Si T : V – W es sobreyectiva
(exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si T : V – W es biyectiva
(inyectiva y exhaustiva
Ø
Cuadratica
Definición
Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la
forma:
|
f(x) =
ax2 + bx + c |
donde a, b y c son
números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática,
obtenemos siempre una curva llamada parábola.
Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos
funciones cuadráticas muy sencillas:
Ø
Valor
máximo y valor mínimo de una función
Ø
Mínimo impacto, máximo efecto
Podría denominarse Mínimo
impacto, máximo efecto y tiene que ver con conseguir el máximo efecto de ahorro de energía, agua,
reducción de emisiones o materiales contaminantes, reciclaje o económico, con
el mínimo impacto personal en
las costumbres o vida diaria.
Conclusión
La idea principal de este trabajo es que
nosotros los alumnos aprendamos el concepto
de proposición, la forma en que se pueden formar proposiciones compuestas usando
los conectores lógicos, representar enunciados por medio de simbología lógica,
conocer los conceptos de tautología, equivalencia lógica, regla de inferencia.
Realizar demostraciones de teoremas por medio del método directo y
contradicción. Pero con problemas que le sean familiares e interesantes. Se
trata de que en cada uno de los subtemas participe
proponiendo sus propios ejemplo y que sobre todo al final de la unidad él tenga
la habilidad, confianza e iniciativa para inferir posibles soluciones.
Bibliografía
Libro de Algebra A. Baldor, editorial Publicaciones Cultural S.A
elsanti.netfirms.com/logica.html