Matematik ve ``Gerçek Yaşam''    <<GERi

Bir defasında, verdiğim cebir dersi için ``problem çözme'' konusunda bir tartişma başlatmasi amacıyla bir problem uydurdum. Öğrencilerime geçen yıl bahçemdeki herşeyi tavşanların yediğini, bu yüzden bu yıl bahçenin etrafını bir çitle çevirmeye karar verdiğimi söyledim. Ambarıma baktığımda bir tane 44 metrelik çit parçası, 48 tane de bir metrelik çit parçasi buldum. Çit parçalarını bölmeden çevreleyebileceğim en büyük bahçenin alanı nedir? Sınıftaki öğrenciler iki ihtimal olduğunda karar kıldılar. Birincisine göre 44 metrelik çit parçasının ucuna bir tane bir metrelik parça ekleyip boyu 45 m. eni de 1 m. olan bir dikdörtgen yaparak 45 .'lik bir alani çit parçalarının tamamını kullanarak çevreleyeceklerdi. Öteki seçeneğe göre yine çitin tamamı kullanılarak 44 m. boyunda ve 2 m. eninde bir dikdörtgenle 88 .'lik bir alan çevreleniyordu. 88 .'nin en iyi çözüm olduğuna karar verdiler. Bu cevabı beklediğim için yanımda bir teneke benzin getirmiştim. 44 m'lik çit parçasını üzerine benzin döküp yaktım. Kalan 48 tane bir metrelik parçayı kullanarak 12'ye 12'lik bir kare yapıp 144 .'lik bir alan çevreledim. Sonra öğrencilerime onların kullandığının neredeyse yarısı kadar çıt kullanarak nasıl onlarınkinin yaklaşık iki kati alan çevrelediğimi sordum. Biraz tartışmadan sonra birkaç önemli gerçeğin farkına vardılar. (1) Çitin uzunluğunun artması her zaman çevrelediği alanı artırmaz. (2) Problemin aslında bulunmayan sınırlamaları eklememeye dikkat etmek gerekir. Örneğin, onlara bahçenin dikdörtgen şeklinde olması gerektiğini, ya da bütün çit parçalarını kullanmaları gerektiğini söylememiştim. Sonunda benim bulduğum çözümden daha iyisini bulabileceklerini farkettiler. 44 m'lik çit parçasının bir bölümünü dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin bir kenarı olarak kullanıp kalan 48 parçayla dikdörtgenin diğer üç kenarını oluşturmaya karar verdiler. Bir kenarı bir nehirle belirlenmiş bir bahçe düşünün. Klasik bir kalkulüs problemi, diğer üç kenar için kullanacağınız çitin uzunluğu sabit olmak koşuluyla en geniş alanlı dikdörtgeni oluşturmak için dikdörtgenin boyunu eninin iki katı yapmak gerektiğini söyler. Bizim örneğimizde, bu boyutlarında bir dikdörtgen oluşturmak ve 44 m.'lik çit parçasını dördüncü kenar yerine kullanmak anlamına gelir ki böylelikle 288 .'lik bir alan elde ederiz. Bu bir cebir dersiydi, öyleyse neden ``klasik bir kalkulüs problemi'' verdim onlara? Aslına bakarsanız bu ``aptalca'' bir kalkulüs problemidir. Bu soru sadece cebir kullanılarak kolayca çözülebilir ve öyle çözülmelidir. Kalkulüs sadece kalkulüs gerektiren problemlerde kullanılmalıdır. Tek yapmamız gereken dikdörtgenin kısa iki kenarının uzunluğuna x demek. O zaman uzun kenarın uzunluğu 48 - 2x ve dikdörtgenin alanı A(x)=x(48-2x) olur. Klasik bir cebir numarası olan ``kareye tamamlama'' tekniğini kullanacak olursak şunu gözleriz

O zaman, belli ki A(x) maksimumuna, çıkardığımız miktar en küçük olduğunda ulaşır (yani 0 çıkardığımızda). Öyleyse A(x), x = 12 olduğunda maksimum olur. Bu da hikayemizin sonu, değil mi? Değil.

Peter G. Casazza