CARLOS CALVIMONTES R.
Solución que hace 42 siglos, en la cultura sumeria de Mesopotamia, sirvió para resolver problemas prácticos de la construcción y la agrimensura. Aunque se trata de una solución ahora conocida, su interés radica en la antigüedad de su utilización y su influencia en culturas posteriores *. Fue encontrada en la famosa escultura del más antiguo arquitecto del que se tiene noticia.
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AUTORGudea, ‘el elegido’, es el personaje paradigmático del Renacimiento de Sumer. Ensi o Patesi, fue al mismo tiempo príncipe, mandatario y sacerdote de la ciudad-estado de Lagash (gobernó entre 2144 - 2124 ó 2122 a. C.) en la época del mayor esplendor de la antigua civilización mesopotámica. Lagash es la actual Tello o Al Hiba, a orillas del Río Tigris, a 300 Km. al sudeste de Bagdad en Irak. De él y de su obra se ha comentado extensamente, incluso se ha dicho que era un dios. Fue el hombre más retratado de la antigüedad y de las muchas esculturas que se le hicieron la más conocida es la sedente que se ha llamado 'el Arquitecto del Plano' y que se conserva en el Museo del Louvre. En uno de los documentos conmemorativos que él escribió manifiesta que inventó “una nueva manera de construir, no empleada antes por ningún soberano”. Se ha supuesto hasta ahora que se refería a un nuevo tipo de ladrillo, pero es más probable que aludía a un útil recurso geométrico. Éste, atendiendo a un problema de todos los tiempos, facilita poner ‘a escuadra’ el replanteo de un diseño en el terreno, de una obra de construcción o tarea de agrimensura, en casos de diferente razón entre las longitudes de los catetos de triángulos rectángulos con lados de números enteros. |
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SOPORTESobre las rodillas del Arquitecto del Plano se encuentra un tablero de dibujo, en el cual está grabado el plano de un supuesto templo fortificado, acompañado por un instrumento de dibujo y otro de medida. Éste tiene igual forma y tamaño que el empleado actualmente para el dibujo técnico y que se conoce como escalímetro. En la franja interior del instrumento hay una regla de medición con base sexagesimal. En la franja exterior existen marcas que señalan en forma sucesiva magnitudes proporcionales a 1, 5 y 12, que hacen un total de 18 entre los extremos. Todas las mediciones fueron verificadas directamente sobre la escultura. |
Las dimensiones encontradas en la franja exterior del instrumento muestran las características cuantitativas del triángulo rectángulo con lados 5, 12 y 13: la diferencia entre el cateto mayor y la hipotenusa (1), el cateto menor que es impar (5), el cateto mayor (12) y la suma del cateto menor y la hipotenusa (18). La disposición de las medidas en la regla permite inferir que se quiso deliberadamente mostrar el desarrollo lineal de ese triángulo y sugerir el procedimiento para el diseño de éste y de otros semejantes. El conjunto de esas características define, generalizando, a los que se puede denominar como Triángulos de Gudea: siendo rectángulos, sus lados se miden con números enteros y su solución no requiere el empleo de raíces cuadradas.
Por el mérito verificable de la solución geométrica planteada
En los triángulos rectángulos cuyos lados se miden con números enteros si: la hipotenusa es impar, un cateto es impar siendo el otro par y la diferencia entre el mayor y la hipotenusa es de 1 ó 2; el valor de la hipotenusa es igual al cateto mayor más 2 si el cateto menor es par y más 1 si es impar.
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CATETO MENOR |
CATETO MAYOR |
E- B |
A + B + C |
HIPOTENUSA D – A o B + C |
B + D |
B + E |
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A |
B |
C |
D |
E |
F |
G |
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3 |
4 |
1 |
8 |
5 |
12 |
9 |
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5 |
12 |
1 |
18 |
13 |
30 |
25 |
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7 |
24 |
1 |
32 |
25 |
56 |
49 |
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8 |
15 |
2 |
25 |
17 |
40 |
32 |
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9 |
40 |
1 |
50 |
41 |
90 |
81 |
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12 |
35 |
2 |
49 |
37 |
84 |
72 |
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16 |
63 |
2 |
81 |
65 |
144 |
128 |
CONDICIONES AXIOMÁTICAS
La hipotenusa es siempre impar (E).
Si un cateto es par el otro es impar (A y B).
La diferencia entre el cateto mayor y la hipotenusa sólo puede ser 1 ó 2 (C).
COROLARIOS
El cateto menor (A) es un submúltiplo de la suma (G) del cateto mayor (B) y la hipotenusa (E).
La suma (F) del cateto mayor (B), los dos catetos (A+B) y la diferencia entre el cateto mayor y la hipotenusa (C), es siempre un número par.
Si la suma (D) de los catetos (A+B) más la diferencia entre el cateto mayor y la hipotenusa (C) es un número par o impar, ocurre lo mismo con el cateto mayor (B).
Si la suma (G) del cateto mayor (B) y la hipotenusa (E) es un número par o impar ocurre lo mismo con el cateto menor (A).
*En un dibujo que se encuentra en la tumba de Ramsés IX, faraón que vivió diez siglos después de Gudea, se describió una solución semejante en un triángulo rectángulo 3-4-5, con un 1 adicional en una prolongación del cateto mayor. Seis siglos más tarde Pitágoras (que se nutrió de conocimientos en Mesopotamia y Egipto) se hizo famoso por la demostración de las relaciones cuadráticas entre los lados de los triángulos rectángulos.
DOCUMENTO ESPECIAL
