Se si considerano le circonferenze massime equivalenti alle rette del piano e gli archi sulle prime equivalenti ai segmenti sulle seconde, è possibile costruire e studiare le proprietà dei triangoli, quadrilateri, ... sferici.
Vanno sottolineate però alcune analogie e alcune differenze.

Archi di circonferenza massima e segmenti sono le traiettorie di minor lunghezza (geodetiche) sulle relative superfici. Sfera e piano hanno curvatura1 costante, rispettivamente (1/r)^2 e 0. Le circonferenze massime si incontrano sempre nei 2 punti antipodali; non esiste quindi, nelle ipotesi formulate, "parallelismo sferico"2. Non esisteranno quindi neppure triangoli simili sulla stessa superficie sferica. Sarà possibile calcolare e misurare perimetro e area. Per quanto riguarda la scelta delle unità di misura ci aspettiamo di poter utilizzare un filo unitario flessibile e inestensibile per misurare lunghezze sia sul piano che sulla sfera e si spera sia possibile fare qualcosa di simile per la superficie.

Nella figura è rappresentato un triangolo sferico isoscele con due angoli di 90°.
Si vede subito che nel triangolo sferico dato la somma degli angoli è maggiore di 180° e l'area è proporzionale all'angolo in eccesso.
E' possibile dimostrare che questi risultati sono validi in generale.