Ángulos y triángulos

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS

ÁNGULOS COMPARATIVOS

Ángulos complementarios: Son aquellos que sumados dan 90°.

Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 90°

Ángulos suplementarios: Son aquellos que sumados dan 180°.

Complemento de un ángulo es lo que le falta al ángulo para completar 180°

Ángulos consecutivos o contigüos: Son aquellos que tienen un lado común.

Ángulos adyacentes: Son aquellos ángulos que tienen una lado en común y el otro lado sobre una misma recta. Dos ángulos adyacentes son siempre suplementarios.

Ángulos opuestos por el vértice: Son dos ángulos son opuestos por el vértice, cuando al prolongar los lados de un ángulo se forman los lados del otro ángulo.

ÁNGULOS ENTRE PARALELAS

Al intersectar una paralela por una recta llamada transversal o secante, se forman los siguientes tipos de ángulo:

Ángulos correspondientes: Son los que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.

Ángulos alternos internos: Son los que están entre las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos: Son los que "fuera" de las paralelas a distinto lado de ellas y a distinto lado de la transversal.

Las propiedades fundamentales de los ángulos entre paralelas son:

1. Los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

2. Los ángulos alternos internos son iguales entre sí.

3. Los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Ángulos entre paralelas

TEOREMAS DE ÁNGULOS

• Todo circulo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro.

• Los ángulos básicos del triangulo isósceles son iguales.

• Los ángulos opuestos por el vértice que forman al cortarse una recta son iguales.

• Si dos triángulos son tales que dos ángulos y un lado de uno de ellos son iguales a los del otro triángulo, ambos triángulos don congruentes.

• Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS

Los triángulos se pueden clasificar según dos criterios: la medida de sus lados y la medida de sus ángulos.

• Según la medida de sus lados hay 3 tipos de triángulos. Estos son:

	Equilátero Es el único triángulo regular.
	Isósceles El lado distinto se llama base = AB.
	Escaleno

• Según la medida de sus ángulos, también encontramos 3 tipos de triángulos. Ellos son:

	Acutángulo Sus 3 ángulos interiores son agudos.
	Rectángulo < CAB = 90° < ABC y < BCA = agudos. Lados que forman < recto se llaman catetos. El otro, hipotenusa.
	Obtusángulo < CAB = obtuso. < ABC y < BCA = agudos.

TEOREMAS DE GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO.

  Una de las rectas, de un triángulo, con la que estamos mas familiarizados es la altura, pues todos hemos calculado el área de esta figura alguna vez. Recordemos que la altura en un triángulo es la recta perpendicular a un lado y que pasa por el vértice opuesto a ese lado, dada esta definición tenemos tres rectas que son alturas del mismo triángulo, un hecho importante que podemos asegurar sobre estas tres rectas es que son concurrentes, es decir, que tienen un punto en común; este punto de concurrencia es uno de varios puntos importantes en un triángulo y se conoce como ortocentro.

  Si tomamos las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo, podemos asegurar que estas tres rectas también son concurrentes, este punto de concurrencia se llama incentro que además tiene la propiedad de ser el centro de la circunferencia inscrita, de ahí su nombre, la circunferencia inscrita es aquella, que tiene su centro en este punto y es tangente a los tres lados del triángulo.

  Otras rectas importantes en un triángulo son las medianas, son aquellas rectas que van del punto medio de cada lado al vértice opuesto, al igual que las anteriores estas rectas concurren y su punto de concurrencia es llamado punto mediano o centroide, este punto es importante pues es el centro de gravedad del triángulo, es decir, si construimos un triángulo de cualquier material y encontramos su centroide, este punto será el centro de equilibrio del mismo.

  Finalmente mencionamos las rectas conocidas como mediatrices, dichas rectas son aquellas perpendiculares a cada lado del triángulo por el punto medio, no es difícil adivinar que estas rectas también son concurrentes, el punto de concurrencia es llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita (circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo).

  Una forma de justificar la concurrencia de los tres primeros grupos de rectas es mediante un teorema importante en geometría conocido como Teorema de Ceva que dice: si en un triángulo ABC tomamos tres rectas que pasen por cada uno de los vértices y las cuales intersectan los lados BC, CA y AB en L, M y N, respectivamente, estas rectas son concurrentes si y sólo si (AN/NB)(BL/LC)(CM/MA)=1 o en su forma trigonométrica (sen(ACN)/sen(NCB))(sen(BAL)/sen(LAC))(sen(CBM)/sen(MBA))=1. Fig.1.



Fig.1

  Para demostrar la concurrencia de las mediatrices solo es necesario conocer la definición de la mediatriz de un segmento, que dice, es el lugar geométrico de los puntos que estan a la misma distancia con respecto a los extremos del segmento.

  Podemos preguntarnos cuales de estos puntos estarán siempre dentro del triángulo y cuales algunas veces fuera y algunas veces dentro. La siguiente figura muestra los puntos notables en el triángulo; aunque no es una demostración formal, podemos ver que los cuatro conjuntos de rectas son concurrentes, el triángulo puede ser modificado con el ratón presionando cualquier vértice del triángulo y arrastrando el ratón sin dejar de presionar, con esto podemos responder a la pregunta arriba planteada.

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ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA.

  Primero veremos cuanto mide el ángulo formado por dos cuerdas cuya intersección esta sobre la circunferencia, ver Fig.2, primero supongamos que una de las cuerdas es un diametro de la circunferencia con centro en O, entonces queremos ver cuanto mide el ángulo CAB. Sea el triángulo BAO que es isosceles pues OB y OA son radios de la circunferencia, por esta razón los ángulos OAB y ABO son iguales, además sabemos que los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados y también tenemos que los ángulos COB y BOA suman 180 grados entonces se da la igualdad de los siguientes ángulos COB=OAB+ABO pero los ángulos de la derecha de la igualdad son iguales, es decir, COB=2OAB esto es el ángulo formado por dos cuerdas cuya intersección esta sobre la circunferencia mide 1/2 del ángulo central.



Fig.2

  Ahora veremos el caso cuando ninguna de las dos cuerdas es un diametro de la circunferencia, ver Fig.3. Queremos saber cuanto mide el ángulo CAB, como ninguna de las cuerdas que forman este ángulo es un diametro, podemos trazar el diamero de esta circunferencia que pase por A esto nos pone en el caso arriba demostrado, es decir, sea D el punto de intersección del diametro trazado con la circunferencia, entonces el ángulo CAD mide la mitad del ángulo central COD y el ángulo DAB mide la mitad del ángulo central DOB, por lo tanto el ángulo CAB es un medio del ángulo central COB.



Fig.3

  Como podemos darnos cuenta en el caso anterior el diametro queda "dentro" del ángulo CAB, ahora veremos cuanto mide, si el diametro queda "fuera" del ángulo CAB, como lo muestra la figura 4. Otra vez sea AD un diametro donde A es el vértice del ángulo que queremos medir, por lo hecho anteriormente el ángulo 2DAB=DOB, pero el ángulo CAB=DAB-DAC y el ángulo COB=DOB-DOC, además como una de las cuerdas que componen el ángulo DAC es un diametro, este mide la mitad del ángulo DOC, entonces 2CAB=2DAB-2DAC pero 2DAB=DOB y 2DAC=DOC, por lo tanto 2CAB=2DAB-2DAC=DOB-DOC=COB. Lo que completa la demostración.



Fig.4

  En la animación de abajo se muestra esta propiedad, se pueden mover los vértices de los ángulos que estan sobre la circunferencia y como podemos darnos cuenta el valor de los ángulos no cambia y es la mitad del valor del ángulo central.

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  Veamos ahora el caso en que el punto de intersección de las cuerdas esta dentro de la circunferencia, ver figura 5. Queremos saber cuanto mide el ángulo BAC. Antes de seguir con nuestro problema, recordemos la propiedad de que dos rectas paralelas que intersectan una misma circunferencia determinan en esta arcos iguales. Para contestar la pregunta, tracemos una recta paralela a EC que pase por D sea D' la intersección de la recta con la circunferencia, por la propiedad mencionada anteriormente los arcos DE y CD' son iguales, además el ángulo BAC es igual al ángulo BDD', ya que las rectas EC y DD' son paralelas y estos ángulos son correspondientes, y nos encontramos ahora en el caso demostrado antes, pues el ángulo BDD' tiene su vértice sobre la circunferencia, que como ya sabemos este mide 1/2 del ángulo central BOD' y a su vez el ángulo central BOD' es la suma de los ángulos BOC y COD' y como los arcos DE y CD' son iguales, entonces los ángulos COD' y DOE son iguales. En resumen el ángulo BAC mide 1/2 de la suma de los ángulos centrales BOC y DOE.



Fig.5

  La siguiente animación muestra la propiedad que acabamos de demostrar.

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  El caso que falta ver es cuando la intersección de la dos cuerdas esta fuera de la circunferencia (Fig.6), queremos ver cuanto mide el ángulo CAB, otra vez, tracemos una recta paralela a BE que pase por D sea D' la intersección de la recta con la circunferencia, por ser paralelas estas dos rectas tenemos dos cosas, primero los arcos DE y BD' son iguales y segundo, los ángulos CAB y CDD' son iguales, pues son internos alternos. El ángulo CDD' tiene su vértice sobre la circunferencia por lo tanto este mide 1/2 del ángulo central COD', a su vez este ángulo es la resta de los ángulos BOD' menos BOC, de la igualdad de los arcos DE y BD' se da la igualdad de los ángulos DOE y BOD', entonces el ángulo CDD' mide 1/2 del ángulo DOE-BOC, que es lo buscado, pues los ángulos CAB y CDD' son iguales.



Fig.6

  La siguiente animación muestra este hecho.

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TEOREMAS SOBRE POLIGONOS.

  Trabajemos primero con poligonos regulares, son aquellos que tienen tanto sus lados como sus ángulos interiores iguales; lo primero que haremos es demostrar que a todo poligono regular se le puede circunscribir un círculo, así como inscribir otro, ver figura 7. Haremos la prueba para un pentagono (la prueba para un poligono en general es totalmente parecida), sea el pentagono ABCDE, sabemos que siempre podemos encontrar un círculo que pase por tres puntos, trazamos dicho círculo por ABC, queremos demostrar que D y E también están en él. Llamemos O al centro del círculo, entonces OA=OB=OC pues son radios, es claro que si demostramos que OD es igual a alguno de estos tres segmentos implicará que D pertenece al círculo. Cosidere los triángulos OAB y OBC que son congruentes por (LLL), por lo tanto los ángulos CBO y OBA son iguales, también los ángulos CBO y OCB, y por transitividad se da la igualdad de los ángulos OBA y OCB ahora por ser un pentagono regular tenemos que los ángulos DCB y CBA son iguales; si a estos ángulos les restamos los ángulos OCB y CBO (que son iguales) respectivamente nos quedan los ángulos OBA y DCO los cuales son iguales (pues si a cantidades iguales restamos cantidades iguales conservamos la igualdad) y por (LAL) los triángulos OAB y OCD son congruentes, por lo tanto OD=OA con esto D está en el círculo.



Fig.7

  La demostración de la segunda parte se facilita sabiendo la propiedad de que en una circunferencia, cuerdas iguales equidistan del centro de la circunferencia, por lo demostrado antes los lados del pentágono son cuerdas iguales de la circunferencia circunscrita, por lo tanto la circunferencia de radio igual a la apotema es tangente a todos los lados del pentágono, lo que demuestra el problema.

  Ahora veremos como calcular el área de estos poligonos. La figura 8 muestra un pentagono, la misma figura nos sugiere la respuesta a esta pregunta, como vemos, dividiendo el área del pentagono en triángulos (trazando líneas del centro del pentagono a cada uno de los vértices), que es una figura de la cual ya sabemos como calcular su área, a saber (base*altura)/2, entonces si sumamos las áreas de todos los triángulos que se formen obtenemos el área del pentagono. Por ser un pentagono regular (todos los lados son iguales) los triángulos que se forman (5) son todos congruentes (iguales), por lo tanto el área es: (5*base*altura)/2 donde 5*base es el perimetro del pentagono (pues la base de los triángulos son los lados del pentagono), otra propiedad es que los triángulos que se forman son isosceles por ello la altura resulta ser el apotema del pentagono, con esto podemos decir que el área del pentagono es (perimetro*apotema)/2.



Fig.8

  Escogimos el pentagono por trabajar con una figura en concreto, igual pudo ser un hexagono y haciendo el mismo proceso obtener que su área es: (6*base*altura0/2 donde 6*base es el perimetro del exágono y, como en el caso anterior la altura es el apotema, si en general tenemos un poligono regular de n lados su área es (n*base*altura)/2 donde n*base es precisamente el perimetro del poligo. Por lo tanto el área de cualquier poligono regular es (perimetro*apotema)/2.