Elaborado por:

Adriana Fraga

Blanca Brito

Betsy Arguelles

Gerardo Durante

Rosanna Medina

Alcance del Trabajo 2

1.      Introducción a la estadística descriptiva. Conceptos. Tipos de variables. Clasificación de variables.

2.      Distribución de frecuencias. Concepto. Formulas. Ejemplos.

3.      Distribución de frecuencias agrupadas. Concepto. Formulas. Ejemplos.

4.      Medidas de posición central. Concepto. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.

5.      Medidas de posición no central. Concepto. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.

6.      Medidas de dispersión. Concepto. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.

7.      Medidas de forma: grado de concentración. Concepto. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.

8.      Medidas de forma: Coeficiente de Asimetría. Concepto. Tipos. Formulas. Principales medidas. Curvas. Ejemplos.

9.      Medidas de forma: Coeficiente de Curtosis. Concepto. Tipos de distribuciones. Formulas. Curvas. Ejemplos.

10. Distribuciones Bidimensionales. Concepto. Representación de los datos. Formulas. Ejemplos.

11. Distribuciones marginales. Concepto. Tipos. Formulas. Ejemplos.

12. Conclusiones:

13. Infografía y Bibliografía.

 

1.   Estadística:

La ciencia estadística, considerada en su sentido teórico, esta constituida por un cuerpo de principios, axiomas y desarrollos cuantitativos mediante los cuales los matemáticos han llegado a construir métodos y técnicas especificas, aplicables al procesamiento de la información dada por diversos tipos de datos, procedimientos y técnicas empleadas para recolectar, organizar y analizar datos, los cuales sirven de base para tomar decisiones en las situaciones de incertidumbre que plantean las ciencias sociales o naturales.   

 

Estadística descriptiva: el objetivo será, a partir de una muestra de datos (recogida según una técnica concreta), la descripción de las características más importantes, entendiendo como características, aquellas cantidades que nos proporcionen información sobre el tema de interés del cual hacemos el estudio.

Tipos de variables:

 

·        Variable: es la característica que estamos midiendo. Existen dos categorías o tipo de variables:

·        Variable cualitativa: es aquella que expresa un atributo o característica, ejemplo: rubio, moreno, etc.

·        Variable cuantitativa: es aquella que podemos expresar numéricamente: edad, peso, nº. De hijos, etc. Esta a su vez la podemos subdividir en:

·        Variable discreta, aquella que entre dos valores próximos puede tomar a lo sumo un número finito de valores. Ejemplos: el número de hijos de una familia, el de obreros de una fabrica, el de alumnos de la universidad, etc.

·        Variable continúa la que puede tomar los infinitos valores de un intervalo. En muchas ocasiones la diferencia es más teórica que práctica, ya que los aparatos de medida dificultan que puedan existir todos los valores del intervalo. Ejemplos, peso, estatura, distancias, etc.

  Clasificación de las variables

   Las variables se pueden clasificar de tres formas:

• · Según su naturaleza (variables cualitativas, variables cuantitativas   y variables cualicuantitativas)
• · Según la función que cumplan en la hipótesis o en el análisis del problema.
• · Según su grado de complejidad (simples y complejas).

 

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2.   Distribución de frecuencias: agrupamiento de datos en categorías, que muestran el número de observaciones en cada categoría mutuamente excluyente.

 

Los intervalos de clase usados en la distribución de frecuencias deben ser iguales.

Determine un intervalo de clase sugerido con la fórmula:
 i = (valor más alto - valor más bajo)/número de clases.

 

Use el intervalo de clase calculado sugerido para construir la distribución de frecuencias. Nota: este es un intervalo de clase sugerido; si el intervalo de clase calculado es 97, puede ser mejor usar 100.
Cuente el número de valores en cada clase.

 

Ejemplo: El Dr. Castro es el decano de la facultad de administración y desea determinar cuánto estudian los alumnos en ella. Selecciona una muestra aleatoria de 30 estudiantes y determina el número de horas por semana que estudia cada uno: 15.0, 23.7, 19.7, 15.4, 18.3, 23.0, 14.2, 20.8, 13.5, 20.7, 17.4, 18.6, 12.9, 20.3, 13.7, 21.4, 18.3, 29.8, 17.1, 18.9, 10.3, 26.1, 15.7, 14.0, 17.8, 33.8, 23.2, 12.9, 27.1, 16.6.
Organice los datos en una distribución de frecuencias.

Considere las clases 8-12 y 13-17. Las marcas de clase son 10 y 15. El intervalo de clase es 5 (13 - 8).

 

 

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3.   Distribución de frecuencias agrupadas:

En estadística existe una relación con cantidades, números agrupados o no, los cuales poseen entre sí características similares. Existen investigaciones relacionadas con los precios de los productos de la dieta diaria, la estatura y el peso de un grupo de individuos, los salarios de los empleados, los grados de temperatura del medio ambiente, las calificaciones de los estudiantes, etc., que pueden adquirir diferentes valores gracias a una unidad apropiada, que recibe el nombre de variable. La representación numérica de las variables se denomina dato estadístico.

 

La distribución de frecuencia es una disposición tabular de datos estadísticos, ordenados ascendente o descendentemente, con la frecuencia (fi) de cada dato. Las distribuciones de frecuencias pueden ser para datos no agrupados y para datos agrupados o de intervalos de clase.

    Los pasos para la construcción de una distribución de frecuencias son mejor explicados con un ejemplo.

                Ejemplo: Los siguientes datos son el número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.

 

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4.   Medidas de posición:

Nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos.

Las medidas de posición son de dos tipos:

A.     medidas de posición central o "medidas de tendencia central”: informan sobre los valores medios de la serie de datos.

B.     medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.

  

   Las principales medidas de posición central son las siguientes:

 

1.- La media, es la medida más popular. Es el valor medio ponderado de la serie de datos.

      es decir, tenemos una muestra de n observaciones:  x₁,  x₂,…,x_n.   

      Su media muestral es:                                                                                    de forma compacta:

 

       la media de la muestra de seis observaciones:

                   7, 3, 9, -2, 4, 6  esta dada por:

Cuando muchas observaciones toman el mismo valor, estas se pueden  resumir en una tabla de frecuencias.  Supongamos que el número de 

Ejemplo: Número de hijos en una muestra de 16 empleados:

num. De hijos                  0     1     2     3
Num. De empleados      3     4     7     2

       Se pueden calcular diversos tipos de media, las más utilizadas

     A) media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:

                   B) media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todos estos resultados y al        producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).      

2. mediana (m) es el “valor central” de un histograma. Es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra.  Para hallar la mediana de una distribución debemos: 1. Ordenar las observaciones en orden ascendente. 2. Si el número de observaciones n es impar, m es la observación central de la lista ordenada. M se halla contando (n+1)/2 observaciones desde el comienzo de la lista. 3. Si el número de observaciones n es par, m es la media de las dos observaciones centrales de la lista ordenada. 

   3.- moda: es el valor que ocurre con mayor frecuencia en la muestra (observación).

   Media, mediana y moda: si una distribución es simétrica, la media, mediana y modo coinciden  

 

 

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5.   Medidas de posición no central: serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:

·             Cuartiles: hay 3 cuartiles que dividen a una distribución en 4 partes iguales: 1º., 2º y 3º. Cuartel, ordenada de forma creciente o decreciente, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.

·             Deciles: hay 9 deciles que la dividen en 10 partes iguales: (1º. Al 9º. Decil)., ordenada de forma creciente o decreciente, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. 

·             Percentiles: hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales: (1º. Al 99 percentil), ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.

 

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6.   Medidas de dispersión o variabilidad:

Estudia la distribución de los valores de la serie, analizando si estos se encuentran más o menos concentrados, o más o menos       dispersos.

 

 

Medidas de dispersión más utilizadas:

1.- rango: es calcular el recorrido de la distribución empírica, es decir, la diferencia entre las observaciones máxima y mínima. 

2.- varianza: mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media.

                             De forma compacta:

3.- Desviación típica o distribuciones normales: se calcula como raíz cuadrada de la varianza. La curva de densidad de una distribución normal se describe por su media m y su desviación estándars. Propiedades de la desviación estándar: a) s mide la dispersión respecto a la media, b) s = 0 solo ocurre cuando no hay dispersión: todas las observaciones toman el mismo valor. De lo contrario s > 0. c)  cuanto más dispersión hay entre las observaciones, mayor es s. d) s, al igual que la media, se encuentra fuertemente influenciado por las observaciones extremas

           4.- Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.

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7.   Medidas de forma: grado de concentración.

 

 Las medidas de forma permiten comprobar si una distribución de frecuencia tiene características especiales como simetría,         asimetría, nivel de concentración de datos y nivel de apuntamiento que la clasifiquen en un tipo particular de distribución. Son necesarias para determinar el comportamiento de los datos y así, poder adaptar herramientas para el análisis probabilístico. Las medidas de forma son instrumentos que analizan la mayor o menor concentración o equidad en una distribución. Estas medidas son de gran interés en distribuciones donde ni la media ni la varianza son significativas.

 

Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes características de la curva:

A.     concentración: mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo largo de la muestra.

B.     asimetría: mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la misma o centro de simetría los segmentos de  curva que quedan a derecha e izquierda son similares

C.     curtosis: mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra.

 

Concentración.

Para medir el nivel de concentración de una distribución de frecuencia se pueden utilizar distintos indicadores, entre ellos los más utilizados son el índice de gini y la curva de lorentz.

 

A continuación se presenta la formula del índice de gini:

 

 

Siendo             

De manera más detallada, explicamos el cálculo de la formula del índice de gini:

Ig =	S (pi - qi)
	----------------------------
	S pi
(i toma valores entre 1 y n-1)

En donde pi mide el porcentaje de individuos de la muestra que presentan un valor igual o inferior al de xi.

Pi =	N1 + n2 + n3 + ... + ni
	----------------------------	X 100
	N

Mientras que qi se calcula aplicando la siguiente fórmula:

Qi =	(x1*n1) + (x2*n2) + ... + (xi*ni)
	-----------------------------------------------------	X 100
	(x1*n1) + (x2*n2) + ... + (xn*nn)

El indice gini (ig) puede tomar valores entre 0 y 1:

 

Ig = 0: concentración mínima, la muestra está uniformemente repartida a lo largo de todo su rango.

Ig = 1: concentración máxima,  un sólo valor de la muestra acumula el 100% de los resultados.

 

Ejemplo: Procedemos a calcular el índice gini de una serie de datos con los sueldos de los empleados de una empresa

Calculamos los valores que necesitamos para aplicar la fórmula del índice de gini:

Un índice gini de 0,19 indica que la muestra está bastante uniformemente repartida, es decir, su nivel de concentración no es excesivamente alto.

   Otro ejemplo:    En una empresa existen cuatro categorías profesionales y cada una tiene unos niveles de ingresos mensuales diferentes. La distribución de frecuencias que expresa los niveles de ingresos y el número de personas en cada categoría es la siguiente:

 

 

Obtener el índice de gini y comentar el resultado. Obtener la curva de lorentz.

 

                                

 

                                                                La Curva de Lorentz quedaría de la siguiente manera

 

 

 

 

                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    Al tomar un valor próximo a cero podemos decir que existe una buena distribución de la renta.

 

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8.   Medidas de forma: coeficiente de asimetría.

Las medidas de la asimetría, al igual que la curtosis, van a ser medidas de la forma de la distribución, es frecuente que los valores de una distribución tiendan a ser similares a ambos lados de las medidas de centralización. La simetría es importante para saber si los valores de la variable se concentran en una determinada zona del recorrido de la variable.

Hemos comentado que el concepto de asimetría se refiere a si la curva que forman los valores de la serie presenta la misma forma a      izquierda y derecha de un valor central (media aritmética)

Para medir el nivel de asimetría se utiliza el llamado coeficiente de asimetría de fisher, que se define con la siguiente formula:

   Los resultados pueden ser los siguientes:

   G1 = 0  distribución simétrica; existe la misma concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media

               G1 > 0  distribución asimétrica positiva; existe mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda

               G1 < 0  distribución asimétrica negativa; existe mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha

                             Curvas

 

 Ejemplo:  Procedemos a calcular el coeficiente de asimetría de Fisher de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de      alumnos.

 

 Recordemos que la media de esta muestra es 1,253

 

 

	(1/30) * 0,000110
G1 =	-------------------------------------------------	= -0,1586
	(1/30) * (0,030467)^(3/2)

             Luego:

 

 

Por lo tanto el coeficiente de Fisher de simetría de esta muestra es -0,1586, lo que quiere decir que presenta una distribución asimétrica negativa,  se concentran más valores a la izquierda de la media que a su derecha.

 Entre otros métodos para medir la asimetría encontramos:

·        Comparando la media y la moda.

·        Comparando los valores de la variable con la media.

Si la diferencia es positiva, diremos que hay asimetría positiva o a la derecha, en el caso de que sea negativa diremos que hay asimetría negativa o a la izquierda.

No obstante, esta medida es poco operativa al no ser una medida relativa, ya que está influida por la unidad en que se mida la variable, por lo que se define el coeficiente de asimetría como:

Esta medida es muy fácil de calcular, pero menos precisa que el coeficiente de asimetría de pearson.

El coeficiente de asimetría de pearson, se basa en la comparación con la media de todos los valores de la variable, así que es una medida que se basará en las diferencias , si medimos la media de esas desviaciones sería nulas, si las elevamos al cuadrado, serían siempre positivas por lo que tampoco servirían, por lo tanto precisamos elevar esas diferencias al cubo.

Para evitar el problema de la unidad, y hacer que sea una medida escalar y por lo tanto relativa, dividimos por el cubo de su desviación típica. Con lo que resulta la siguiente expresión:

 

 

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9.   Medidas de forma: coeficiente de curtosis.

El coeficiente de curtosis analiza el grado de concentración que presentan los valores alrededor de la zona central de la distribución. La curtosis es una medida del apuntamiento, que nos indicará si la distribución es muy apuntada o poco apuntada.

Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:

·             Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable, el      mismo que presenta una distribución normal.

·             Distribución leptocúrtica: presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

·              Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

 

El coeficiente de curtosis viene definido por la siguiente fórmula:

Los resultados pueden ser los siguientes:

G2 = 0  distribución mesocúrtica

G2 > 0  distribución leptocúrtica

G2 < 0  distribución platicúrtica

Curvas

  Ejemplo: Realizar el cálculo del coeficiente de curtosis de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos.

 

  Recordemos que la media de esta muestra es 1,253

 

	(1/30) * 0,00004967
G2 =	-------------------------------------------	- 3	= -1,39
	((1/30) * (0,03046667))^2

 

 

 

 

Por lo tanto, el coeficiente de curtosis de esta muestra es -1,39, lo que quiere decir que se trata de una distribución platicúrtica, es       decir, con una reducida concentración alrededor de los valores centrales de la distribución.

Ejemplo: Igualmente podemos observar, que el coeficiente de curtosis nos mide el grado de apuntamiento de la distribución utilizando la siguiente formula, donde podemos denotarlo por k y se calcula según la siguiente expresión:

 

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10.   Distribuciones Bidimensionales

Cuando trabajamos en un estudio estadístico y observamos simultáneamente dos caracteres en un mismo individuo obtenemos pares de resultados, por ejemplo, al observar en una persona su edad y su peso. Los distintos valores de las modalidades que pueden adoptar estos caracteres forman un conjunto de pares, que representamos por (X, Y) y llamamos variable estadística bidimensional.

Los dos caracteres observados no tienen por qué ser de la misma clase, así nos podemos encontrar con las siguientes situaciones:

 

 

Es decir, ahora nuestra unidad de estudio es el par (X, Y) y dos pares están repetidos cuando sus respectivos valores son iguales. Otro factor a tener en cuenta es que el número de modalidades distintas que adopta el carácter X no tiene por qué ser el mismo que el que adopta el carácter Y:

X = { x₁, x₂, x₃, ..., x_s }    ;    Y = { y₁, y₂, y₃, ..., y_t }

Ordenación de datos: Tablas

11.         Distribuciones marginales.

Las distribuciones unidimensionales del total de los individuos de la población, respecto a cada una de las características reciben el nombre de distribuciones marginales.

Distribución marginal de la Y:

 

               Análogamente la distribución marginal de la X

   Ejemplo. Obtener  la distribución marginal de la variable X.

Si en la tabla de correlación consideramos la primera columna y una columna intermedia, la correspondiente a y_j, se obtiene una distribución unidimensional que llamaremos distribución condicionada de la variable X por la modalidad y_j de la variable Y.

            Análogamente se define la distribución condicionada de la variable Y por la modalidad x_i  de la variable X.

 Ejemplo. Obtener la tabla de la distribución condicionada de la variable Y por la modalidad x₂.

 

 

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12.         Conclusiones:

La Estadística es una disciplina que utiliza recursos matemáticos para organizar y resumir una gran cantidad de datos obtenidos de la realidad, e inferir conclusiones respecto de ellos.

Por ejemplo, la estadística interviene cuando se quiere conocer el estado sanitario de un país, a través de ciertos parámetros como la tasa de morbilidad o mortalidad de la población.

En este caso la estadística describe la muestra en términos de datos organizados y resumidos, y luego infiere conclusiones respecto de la población.

Aplicada a la investigación científica, también infiere cuando provee los medios matemáticos para establecer si una hipótesis debe o no ser rechazada.

La estadística puede aplicarse a cualquier ámbito de la realidad, y por ello es utilizada en física, química, biología, medicina, astronomía, psicología, sociología, lingüística, demografía, etc.

Existen varias formas de clasificar los estudios estadísticos:

1)     Según la etapa.- Hay una estadística descriptiva y una estadística inferencial. La primera etapa se ocupa de describir la muestra, y la segunda etapa infiere conclusiones a partir de los datos que describen la muestra (por ejemplo con respecto a la población).

2)     Según el tiempo considerado.- Dentro de la estadística descriptiva se distingue la estadística estática o estructural, que describe la población en un momento dado (por ejemplo la tasa de nacimientos en determinado censo), y la estadística dinámica o evolutiva, que describe como va cambiando la población en el tiempo (por ejemplo el aumento anual en la tasa de nacimientos).

3)     Según la cantidad de variables estudiada.- Desde este punto de vista hay una estadística univariada (estudia una sola variable, como por ejemplo la inteligencia, en una muestra), una estadística bivariada (estudia cómo están relacionadas dos variables, como por ejemplo inteligencia y alimentación), y una estadística multivariada (que estudia tres o más variables, como por ejemplo como están relacionados el sexo, la edad y la alimentación con la inteligencia).

La Estadística  es la ciencia que más aporta en la toma de decisiones en todos los ámbitos gerenciales.  Desde el poder ejecutivo hasta los “draft’s” deportivos, la Estadística juega su papel a la hora de hacer cualquier movimiento. 

Las Estadística, por otro lado, si no se sabe manejar con cautela puede generar resultados falaces que podrían a su vez llevar a la toma de decisiones erradas.  Por consiguiente se  recomienda un estudio pleno y científico de la materia a fin de que quien utilice sus servicios pueda hacerlo de manera objetiva y con resultados satisfactorios. 

Hoy en día es imposible pensar en instituciones que manejan ciertos volúmenes de datos e informaciones y que no utilicen sus herramientas para verificación, planeación y seguimiento de políticas, estudios de factibilidades, etc.

 

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13.         Infografías y Bibliografías:

 http://www3.uji.es./mateu/Tema1-D37.doc  Definiciones de estadística

 http://www.aulafacil.com/cursoestadistica/lecc-4-est.htm Cursos en gratis línea. Lección 4ª.  de estadística. Medidas de Posición Central

http://knuth.uca.es/repos/l_edyp/pdf/febrero06/ Estadística descriptiva y probabilidad. Teoría y problemas 3a    Edición. Autores: I. Espejo Miranda, F. Fernández Palacín, M. A. López Sánchez. Publicaciones Universidad de  Málaga.

http://sitios.ingenieria-usac.edu.gt/estadistica/estadistica2/estadisticadescriptiva.html Estadística descriptiva.  Conceptos básicos

http://www.unavarra.es/estadistica/i.t.t.imagen/descriptiva.pdf  Estadística descriptiva. Definiciones fundamentales.

http://www.tuveras.com/estadistica/estadistica02.htm  Medidas descriptivas.

http://www.eumed.net/libros/2007a/239/7.htm Medidas de forma.

http://www.eumed.net/libros/2007a/239/7a.htm Tipos de distribuciones de frecuencia.

http://www.eumed.net/libros/2007a/239/7c.htm Coeficiente de asimetría.

http://www.eumed.net/cursecon/libreria/index.htm Eeumed●net biblioteca virtual. 392 libros gratis. En este sitio web puede encontrar gratis y accesible libremente, el texto completo de diccionarios, libros, cursos, revistas, vídeos y presentaciones multimedia sobre economía, derecho y otras ciencias sociales. El grupo eumed●net está reconocido oficialmente por la junta de Andalucía (sej 309) y está localizado en la Facultad de Derecho de la Universidad de Málaga, España

http://ponce.inter.edu/cremc/estadistica.htm  Sitio web. Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Ponce.

Rivera, luz m. Estadística. Última edición: marzo 9, 2001

http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t15_distribuciones_bidimensionales.htm Distribuciones Bidimensionales Estas distribuciones así obtenidas se denominan: distribución de la variable Y condicionada a X=xi o distribución de la variable X condicionada a Y=yi .
personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t15_distribuciones_bidimensionales.htm -

http://carmesimatematic.webcindario.com/bidimensionales.htm Distribuciones marginales Considerando las distribuciones marginales, como son unidimensionales es posible calcular los siguiente parámetros:. Llamadas medias marginales. ...

http://www.monografias.com/trabajos19/la-estadistica/la-estadistica.shtml

BATANERO, Carmen. Significado y comprensión de las medidas de posición central. Departamento de didáctica de la matemática, universidad de granada. Uno, 2000, 25, 41-58

RUIZ M., David. Manual de Estadística. Universidad Pablo de Olavide. Isbn: 84-688-6153-7. 91 págs. 

SANZ, J.A. y otros (1996): Problemas de estadística descriptiva empresarial. Ed. Ariel Economía.

SPIEGEL, Murray R. Probabilidad y Estadística. México. McGraw Hill. 1996.

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