Universidad Yacambú

Licenciatura en Contabilidad Pública

 

 

 

 

 

 

 

 

 

LIMITE   MATEMATICO

 

En matemáticas, se usa el concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que en una sucesión o una función, al hablar de límite, decimos que tiene uno si se puede acercar a un cierto número (o sea, el límite) tanto como queramos.

Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y matemático) para definir convergencia, continuidad, derivada, integración, y muchas otras cosas.

Informalmente, decimos que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a p, y escribimos

Si se puede encontrar suficientemente cerca de tal que es tan que decimos que:

Esta definición se llama frecuentemente la definición épsilon-delta del límite.

 

 

 

Límites infinitos

Cuando al acercarse a un número la función crece más allá de toda cota, rebasando cualquier número positivo que propongas, la función no tiene límite, pero se designa este comportamiento indicando: .

Un comportamiento similar se da cuando la función crece sin cota pero su signo es negativo, se escribe: .  Este comportamiento se puede identificar en , en  o en ambos.

 

Límites al infinito

Cuando hacemos crecer a x más allá de toda cota o número positivo que consideres y la función se evalúa bajo estas condiciones, se dice que se está calculando un límite al infinito y lo escribimos, en caso de que exista, este mismo comportamiento se puede provocar en la dirección opuesta.

Formalmente:

“ , significa que para todo , existe un número positivo N, tal que  siempre que x>N”.

De manera idéntica:

“ , significa que para todo , existe un número negativo N, tal que  siempre que x<N”.

 

 

Asíntota

Asíntota (del idioma griego: ἀσύμπτωτος — asýmptōtos— „aquello que no cae“palabra formada a partir del verbo συμπίπτειν sympiptein —„caer-con“—) Una asíntota es una línea recta ó curva a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque.

En matemática enunciados tales como "aproximarse indefinidamente" (o "tender a") no son definidas rigurosamente si no se utiliza explícitamente el concepto de límites. Queriendo adoptar un lenguaje más conforme a aquel que se emplea en el estudio topológico de los límites se puede decir que la curva A es una asíntota de la curva C si se establece una distancia mínima y que existe un trecho no limitado por la curva C que dista de la asíntota A menos de la distancia mínima establecida.

En general la curva C puede parecer intersecar varias veces a su asíntota A. Sin embargo aquello que hace a A una asíntota de C es el hecho que C se aproxima a A por un trecho ilimitado sin jamás coincidir con A, y esto significa prescindir de otras eventuales y ocasionales intersecciones. Esto explica también la etimología de la palabra asíntota la cual ya se ha explicado deriva del griego a-sym-ptōtos, donde a- posee un valor privativo (= no), mientras que sym-ptōtos está compuesto por sym-, "con", y ptōtos, un adjetivo que connota a aquello que "cae". Entonces sym-ptōtos describe aquello que "cae junto (a algo)", o también aquello que "interseca", y a-sym-ptōtos etimológicamente describe aquello que "no interseca". De este modo se puede recurrir a un lenguaje figurado y decir que además de las eventuales intersecciones finitas existe una "intersección al infinito" entre A y C, y que por esto tal intersección se puede aproximar entonces indefinidamente pero sin jamás alcanzarse. Es esta particular, inalcanzable "intersección al infinito" la que hace a A "asíntota" de C.

En la construcción de gráficas, las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente que indefinen la función con una división entre cero. Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente (x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente. Las asíntotas oblicuas corresponden a las funciones cuya regla de correspondencia se integra de un cociente o división de dos polinomios tales que el polemonio del numerador es de grado mayor o igual que el polinomio del denominador. En todo caso, el conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.

 

 

 

 

 

 

DERIVADAS DE UNA FUNCION:

 

 

INTRODUCCIÓN

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.

Historia

 

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

El concepto de derivada fue desarrollado por Leibniz y Newton. Leibniz fue el primero en publicar la teoría, pero parece ser que Newton tenía papeles escritos (sin publicar) anteriores a Leibniz. Debido a la rivalidad entre Alemania e Inglaterra, esto produjo grandes disputas entre los científicos proclives a uno y otro país.

Newton llegó al concepto de derivada estudiando las tangentes y Leibniz estudiando la velocidad de un móvil.

Concepto

El concepto de derivada es muy fácil de comprender. Dada una función y = f(x), la derivada mide la variación de y, cuando hay una pequeña variación de x.

La definición de la derivada de la función y=f(x), es:

 

El concepto de derivada está indianamente ligado al del límite.

Para comenzar debemos recordar cuál es la ecuación de una recta en función de dos puntos conocidos (a, b) y (a',b') :

El segundo término de la ecuación es lo que se llama pendiente de la recta, y nos da la inclinación o pendiente que tiene la recta respecto a la horizontal.

Si tenemos una función f(x) y los dos puntos pertenecen a ella entonces estaremos calculando la ecuación de la recta secante (corta a la función en dos puntos): 

Por lo tanto tendremos que:

Donde ahora la pendiente m de la recta viene dada por:

Si la distancia entre los dos puntos h se va haciendo cada vez más pequeña (h tiende a 0) obtendríamos una recta tangente (corta a la función en un solo punto)

La ecuación de la recta tangente vendrá dada por:

Donde la pendiente es:

Pues bien a la pendiente de la recta tangente se le llama derivada de la función en ese punto:

 

¿Cómo se calcula la derivada de una función en un punto?

Puesto que la derivada es un límite, lo que tenemos que hacer es calcularlo. Veamos un ejemplo sencillo:

Sea la función f(x) = x² vamos a calcular su derivada en el punto x₀ = 3

 Si sustituimos el punto x₀ = 1 obtendremos que :

f '(1) = 2 · 1 = 2

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente es positiva y tiene un valor de 2 .

Que la pendiente sea positiva significa que en ese punto la función es creciente, es decir, al aumentar la x aumenta la y .

¿Para qué se puede utilizar el concepto de derivada?

Si en el ejemplo anterior sustituimos el punto x₀ = -1 obtendremos que

f '(-1) = 2 · (-1) = -2

En este caso la pendiente es negativa por lo que la función en este punto es decreciente .

Si analizamos en general el valor de la derivada de esta función en un punto cualquiera, vemos que si x₀ es positivo, la derivada f '(x₀) es positiva y por lo tanto la función es creciente y si el punto x₀ es negativo la derivada f '(x₀) es negativa y por lo tanto la función es decreciente.

¿Qué ocurre en el punto x₀ =0? Pues que ni es creciente ni decreciente si no que tenemos un mínimo ya que la función pasa de ser decreciente a la izquierda a creciente por la derecha.

 Conclusión: la derivada nos puede servir para estudiar las funciones.

 

Los economistas, administradores  también estudian la demanda, el ingreso y la utilidad marginales, que son las derivadas de las funciones de demanda, ingreso y utilidad. Se desarrollan técnicas para hallar los valores máximos y mínimos de funciones.

Por ejemplo. Los economistas llaman COSTO MARGINAL al límite de esta cantidad cuando delta de x tiende a cero es decir, la razón instantánea de cambio del costo con respecto al número de artículos producidos.

 

1. Tasa de variación media

Incremento de una función

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo

 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

 

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función

f(x) =3-x² en el intervalo [0,2]

Solución

T.V.M. [0, 2] =

 

Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.

2. Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .

 

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por, por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h, la derivada, en el punto a, también puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x² +4x   el punto dee abscisa x =1.

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’₊ y f _-’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.

      

 

Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.

 

Proposición. Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto.

El recíproco es falso.

Ejemplo 2.  es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Aplicación física de la derivada

         Consideremos la función espacio E= E(t).

         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t₀, t]  es:  v_M(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t₀, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.

         Solución

         v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4

3. Interpretación geométrica de la derivada

La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

 

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))

La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)

Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x² +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)

Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x²-x +5 en el punto de abscisa x=0

Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax² +5x –1 sean paralelas en x = 1.

Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

 

4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas

 

La función derivada

La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

1) f(x)  =k  f´(x) =0

2) f(x) =  xⁿ  f´(x) = nx^n-1

3) f(x) =   f´(x) =

4) f(x) = ln x  f´(x) =

5) f(x) = e^x  = e^x

6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x

7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x

Reglas de derivación

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:

-(f +g)´= f´(a) + g´(a)

-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)

Además si g(a)0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = e^x(x²- 3x + 2); b)

c) h(x) = tan  x;  d)

 

Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:

a) f(x)=           

Observación: la gráfica de esta función es:       

b) y =

c) g(x)=

 

Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,

y  f ´´´, f ´ ^v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.

 

Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= e^x; b) g(x) =; c) h(x)= sen x.

 

Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f_g es derivable en a y se verifica:

(f_g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)

Derivación logarítmica

Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si  y’, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

 

Método:

Sea

1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2º Se deriva     

 

3º Se despeja y’

[][]

 

Que puede escribirse:

 

Observación. La fórmula por ser muy “compleja” no suele aplicarse  es preferible aplicar el método en cada ejercicio.

 

Ejemplo 4. Consideremos la función y = x ^x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:

, y  derivando los dos miembros de la igualdad

        y’=x^x(ln x +1)

Derivada de la función inversa

Es otra aplicación de la regla de la cadena.

Como f_f ^-1= I, se tiene (f_f ^–1)’(x)= f ’(f ^–1(x))(f ^–1)’(x)=1, luego despejando

(f ^–1)’(x)= 1/f ’(f ^–1)’(x),

Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x   x = tg y,  y derivando x ’ = 1 +tg²y, de donde:

Ejercicio 9. Calcula la derivada de

Tabla de derivadas (propuesta como ejercicio)

 

 Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= ;        b) ;

 c) y =;      d) h(x) =cos³(x²-2); 

e) y =e ^{arc tg x};                f) j(x) =arc sen(x + 3x²)

g) y =;      h) k(x) =(x²+1)^{cos x};

 j) y = ln ; k) y = ;

 

5. Crecimiento y decrecimiento de una función

Proposición. Si una función f es derivable en un punto a, y f’(a)>0 entonces f es creciente en el punto a.

Figura 1

La demostración de este resultado puede hacerse usando la definición de derivada y e concepto de límite, pero resulta evidente si se tiene en cuenta el significado geométrico de la derivada (ver figura 1).

Si f es derivable en un intervalo I y f ’ >0  en ese intervalo entonces f crece en I.

El recíproco no se cumple en general.

Ejemplo 5. La función y =x³ cumple que es creciente en todo R, y sin embargo f ’(0) =0.

Análogamente si f es derivable en un punto a y f ‘(a)<0 entonces f es decreciente en a. Si f ‘<0 en todo un intervalo I, f es decreciente en I. (Ver figura 1)

6. Máximos y Mínimos relativos de funciones derivables

Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.

 

 

 

 

 

 

Figura 2

Condición necesaria de extremo

Proposición.

Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0.

Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la proposición anterior f sería creciente en un entorno del punto a, lo que contradice la existencia de extremo.

La condición no es suficiente.

Ejemplo 6. La función y =x³ es creciente en 0, por lo que no puede tener extremos, y sin embargo f ’(0)=0.

Criterio práctico. Hay extremo relativo en el punto si la derivada de la función en ese punto es cero (condición necesaria f ‘(0)=0) y en dicho punto cambia el crecimiento. Ver figura 2.

         f ’      <0      =0                >0     

Si                          |a                         hay mínimo relativo en (a, f(a))

f                                 mínimo            

 

f ’      >        =0                <                

Si                          |a                           hay máximo relativo en (a, f(a))

                   f        máximo       

Ejercicio 9.Dada la función  se pide estudiar el crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos.

 

Condición suficiente de extremo

Proposición. Sea f una función derivable en a y tal que f ‘(a)=0:

a) Si f ’’>0 entonces f tiene un mínimo relativo en el punto a.

b) Si f ‘’<0 entonces f tiene un máximo relativo en el punto a.

Esta proposición nos da también un método para resolver los problemas de máximos y mínimos para funciones derivables.

Se presentarán en  tablas estos resultados:

f(x)	Crece	Máximo	Decrece
f '(x)	+	0	-
f ''(x)	-	-	-

 

 

 

  

f(x)	Decrece	Mínimo	Crece
f '(x)	-	0	+
f ''(x)		+

 

 

 

 

Ejercicio 10. Descomponer un número N en dos sumandos x e y de tal manera que x² +6y sea mínimo.

Nota. Cuando busquemos los extremos absolutos de la función f, si esta es continúa en un cerrado y derivable en el abierto, buscaremos los valores en que la derivada es cero y los compararemos con los de los extremos, el valor más grande será el máximo y el más pequeño el mínimo.

Ejercicio 11. Se considera la función f(x) =x³ –3x definida sobre el intervalo [-2,2], se pide hallar los puntos donde f alcanza máximo absoluto.

Ejercicio 12. Entre todos los rectángulos de 20cm de perímetro halla el que tiene diagonal mínima.

7. Algunas “precisiones” sobre los extremos de funciones

OBSERVACIÓN 1. Decir que f posee un máximo local en un punto x₀, significa que existe un intervalo (x₀ - r, x₀ + r) tal que f(x)f(x₀) para todo x perteneciente al conjunto 

(x₀ - r, x₀ + r)  D_{f .}

Análogamente para mínimo local.

Esta matización en la definición de extremo, de intersecar el entorno con el  dominio de f, D_f,  es esencial. En otro caso se puede llegar al absurdo de decir que una función continua, definida en un dominio compacto, no tiene extremos locales (cuando sabemos por el teorema de Weiertrars que los posee incluso absolutos), cuando éstos se alcanzasen en puntos no interiores del dominio.

OBSERVACIÓN 2. No se deben asociar tanto los extremos locales a las derivadas, ya que éstos pueden encontrarse en los puntos en que la función no es derivable.

Ejercicio 13. La función:

(su dominio es [-2,3])

Cuya gráfica se adjunta

_{Figura 3}

¿Tiene extremos locales? ¿Tiene extremos absolutos? En caso afirmativo ¿en qué puntos se alcanzan? Razonas las respuestas.

Si no tuvieras las gráficas ¿cómo les localizarías?

Teniendo expuesto anteriormente deduce razonadamente como se pueden calcular los extremos (absolutos y relativos) de una función.

Ejercicio 14. Calcula los extremos (indica si son absolutos o no) de las siguientes funciones, en caso de que existan:

a) f(x)=-x³ +3x;       b) ;  c)

d)

e)

8. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Una función es convexa en a, si existe un intervalo que contiene al punto a,  tal que la diferencia entre la ordenada de la función y la ordenada de la tangente a la gráfica de f en el punto (a, f(a)) es positiva en dicho intervalo.

Figura4

Análogamente se dice que es cóncava cuando dicha diferencia es negativa.

Se dice que f tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno de a en que la diferencia entre la ordenada de f y la de la tangente en a tiene distinto signo a la izquierda que a la derecha.

Por lo tanto f tiene un punto de inflexión en a si en dicho punto la tangente atraviesa a la gráfica.

 

 

Ejemplo 7. En la gráfica aparece la función y = x³ y la tangente en el punto x =0. Se aprecia que en dicho punto la gráfica posee una inflexión.

                                Figura 5

 

Proposición. Si la función es derivable en a y f’’(a)>0 se verifica que f es convexa en a.

Análogamente si f es derivable en a y f’’(a)<0 se verifica que f es cóncava en a.

Criterio práctico. Para calcular los puntos de inflexión se halla la derivada segunda de f, se igual a cero y se resuelve la ecuación. En las soluciones de la ecuación se estudia y si cambia la curvatura hay punto de inflexión.

f ’’(x)	+	0	-
f (x)	Convexa 	P.inf	Cóncava 

 

 

 

  

Ejemplo 8. En la gráfica de la figura se aprecia que la función es cóncava en el punto –1 es convexa en el punto 3/2 y tiene un punto de inflexión en el 0:

 

Ejercicio 15. Dada la función  estudia la curvatura y los puntos de inflexión.

 

9. Aplicación de la derivada a la representación gráfica de funciones

El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta:

I) Estudio de f (resumen)

1º Dominio de f.

2º Puntos de corte con los ejes.

3º Signo de la función (regiones en las que varía el signo).

4º Simetrías.

- Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.

- Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen.

5º Asíntotas

- Verticales

Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota vertical.

- Horizontales

Si ,  y =b es una asíntota horizontal.

- Oblicuas

Si    y  , y =m x +n es una asíntota oblicua.

II) Estudio de f’

1º Crecimiento y decrecimiento.

Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)<0, f es decreciente.

2º Máximos y mínimos relativos

Condición necesaria de máximo y mínimo es que f ’(x)=0.

III) Estudio de f’’

1º Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa , f ’’<0 cóncava 

2º S i f ’’(x₀) =0 y en dicho punto cambia la curvatura es punto de inflexión.

Ejemplo 8. Representamos gráficamente la función

I) Estudio de f

1º D =R

2º Puntos de corte, el (0, 0)

3º Signo de f, negativa en x<0 y positiva para x>0

4º Simetrías, f(-x) = -f(x), luego simétrica respecto del origen.

5º Asíntotas.

No hay verticales por que el dominio es todo R

Horizontales y =0

No hay oblicua.

II) Estudio de f ’

, f ’(x)=0  -x²+1=0, de donde x =1

x	-		-1		1
f '(x)		-	0	+	0	-
f(x)		Decrece	Mínimo	Crece	Máximo	Decrece

 

 

 

 

 1º f decrece en los intervalos]-, -1[ y ]1, [  y crece en ]-1, 1[

2º Tiene un mínimo relativo en el punto (-1, -1/2) y un máximo relativo en el punto

(1, 1/2).

III) Estudio de f ’’

f ’’(x)==

f ’’(x)=0 

x	-		-		0		+
f ’’		-	0	+	0	-	0
f			inflexión		inflexión		inflexión	

 

 En la tabla se indica la curvatura y los puntos de inflexión

La gráfica es:

  

Ejercicio 16. Representar las gráficas de las siguientes funciones:

a); b); c)

 

Ejemplo 9. La gráfica de y = ln (x²+1) es:

Ejemplo 10. La gráfica de y =ln (x²-1)

Ejercicio 17. Representa gráficamente: a) y = x e ^x ;      b) .

 

Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida, según la fórmula: R(x)=-0.002x²+0.8x-5 donde R(x) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:

a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad

b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.

c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.

Solución

a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es positiva la función crece y si es negativa decrece

Procedimiento:

-Se deriva la función:

R`(x)=-0,004x+0,8

-Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:

R`(x)=0 ,

 

-Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la derivada (en este caso x =200). Hay varios métodos, un muy mecánico:

                   f

                   f ´               +       200    -

se coge un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos R´(100)=0,4>0 y en otro mayor que 200 (por ejemplo 300) R´(300)=-0,4<0

 

Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200), y f es creciente en ese intervalo y es decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos dice también que en punto 200 hay un máximo local

b) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.

c) La máxima rentabilidad es R(200)= -0,002.(200)²+0,8.200-5=75 euros

Solución gráfica

 

 

Problema 2. Un banco dispone de 18 millones de euros para ofrecer préstamos  de riesgo alto y medio, con rendimientos del 14% y 7% respectivamente. Sabiendo que se debe dedicar al menos 4 millones de euros a préstamos de riesgo medio y que el dinero invertido en alto y medio riesgo debe estar a lo sumo a razón de 4 a 5, determinar cuánto debe dedicarse a cada uno de los tipos de préstamos para maximizar el beneficio y calcular éste

Solución

Sea x lo que dedica a préstamos de riesgo alto

       y lo que dedica a préstamos de riesgo medio.

Función objetivo: f(x, y)= 0,14x+0,07y

Restricciones:

         R

Luego queremos hacer máxima la función objetivo en la región factible que nos dan las restricciones

Dibujamos la región factible:

Dibujamos  las rectas auxiliares en el primer cuadrante, ya que tienen que ser valores positivos:

1) x +y =18  (la solución la parte de abajo)

2) y =4 paralela al eje X (solución la parte de arriba)

 

3) , es decir 5x= 4y,         ó        5x-4y=0 , ( y =5x/4) (solución la parte de arriba)

 

La región factible es lo relleno de amarillo  en el dibujo(ver figura abajo)

Los vértices son: A (0, 4) [punto de intersección del eje Y, recta x =0, con y =4]

B(16/5 , 4)  [punto de intersección de las rectas  y = 4 ,  5x-4y=0,  que da x =16/5, y =4]

C(8, 10)  [punto de intersección de las rectas  x +y =18  y  5x-4y=0, comprobarlo)

D (0, 18) [punto de intersección de la recta 5x-4y=0 con el eje Y]

Si sustituimos estos valores en la función objetivos concluimos que el mayor valor se obtiene en (8, 10) (comprobarlo) luego es la solución óptima del problema y el valor máximo f( 8, 10) =1, 82 millones de euros

 

 

Hacerlo por el método gráfico.

 

Problema 3. Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euros vienen dados por la función f(x)=28x² + 36000x, mientras que sus gastos (también en euros) pueden calcularse mediante la función G(x)= 44x² + 12000x + 700000, donde x representa la cantidad de unidades vendidas. Determinar:

a) La función que define el beneficio en euros.

b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo. Justificar que es máximo.

c) El beneficio máximo.

Solución

a) El beneficio es la diferencia entre los ingresos y los gastos es decir:

B(x)=f(x)-G(x)= 28x² + 36000x –(44x² + 12000x + 700000) = -16x²+24000x-700000

b) Cómo la función beneficio es derivable, la condición necesaria para que tenga un máximo es que su derivada sea 0.

B´(x)=0-32x+24000=0, de donde x =

Para justificar que es el máximo hay varios métodos, por ejemplo: se calcula B´´(x)=-32< 0, que es la condición suficiente de máximo local.

Como cuando x tiende a + y - infinito la función tiende a –infinito estaría probado que es el mayor valor de la función.

Nota. Otra forma de justificar que el máximo es 750, sería estudiando el crecimiento en un entorno de 750 y viendo que crece hasta ese valor y decrece a partir de él. Y, por último, otra forma muy simple de justificarlo este hecho sería: observando que la función beneficio es un función cuadrática y su gráfica es una parábola, como a < 0 el vértice es el punto mas alto (punto de tangente horizontal, la derivada 0) y en este punto la abscisa es 750.

Resolución gráfica

c) El beneficio máximo es B(750)=-16(750)²+24000.750-700000=8300000 euros

 

 

Bibliografía e Infografía

 

http://suanzes.iespana.es/derivada.htm

http://actividadesinfor.webcindario.com/ejerciciosmodelo.htm

http://carmesimatematic.webcindario.com/

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/diferencial.htm

http://www.matematicasbachiller.com/temario/calcudif/index.html