UNIVERSIDAD YACAMBU

 

 

 

 

 

 

Facilitador: Juan García

Participantes:      Aparicio, Bellanira

 

 

 

 

 

Introducción

 

El presente trabajo pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la "lógica matemática", él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento.

La lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico,  la lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.

El orden en que se presenta el documento es el siguiente: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después definimos el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposición, negación conjunción y disyunción. Más tarde abordamos las proposiciones condicionales y bicondicionales. Definimos tautología, contradicción, así mismo explicamos a que se le llama proposiciones lógicamente equivalente apoyándonos de tablas de verdad. Para finalizar; abordamos las funciones lineales, cuadráticas estudios de los conceptos de Máximos y Mínimos.

 

 

 

Desarrollo

Lógica simbólica: es la que estudia sistemáticamente las proposiciones, los razonamientos y las demostraciones para lo cual utiliza un lenguaje constituido por símbolos convencionales que representan estructuras. La lógica simbólica es aquella que se refiere a las  proposiciones y que también se conoce con el nombre de Calculo Proporcional.

 

PROPOSICIÓN

¿Qué es una Proposición?

Una proposición  es el significado de cualquier frase declarativa (o enunciativa) que pueda ser o verdadera (V) o falsa (F). Nos referimos a V o a F como los valores de verdad del enunciado, pero no ambas a la vez es decir son evaluadas en forma excluyentes.

Veamos ejemplos de Proposiciones:

• La frase 4=4 es un enunciado, puesto que puede ser verdadero o falso. Como resulta que es un enunciado verdadero, su valor de verdad es V.
• La frase 1/3=3 también es un enunciado, pero su valor de verdad es F.
• "Lloverá mañana" es una proposición. Para conocer su valor de verdad habrá que esperar hasta mañana.
• "Haz los ejercicios de lógica" no es un enunciado, puesto que no se le puede asignar ningún valor de verdad (Está en modo imperativo, es una orden, y no una frase declarativa)
• "El perro" no es una proposición, puesto que no es ni siquiera una frase completa (al menos en este contexto).

 

 

CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES

La Negación: la conectiva “no” es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo “~”.

La Conjunción: es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo “y”, y se representa con el siguiente símbolo:  “  Ù “  

La Disyunción Inclusiva: es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica “o”, que se representa de la manera siguiente: “V”.

La Disyunción Exclusiva: es una proposición compuesta por dos proposiciones simples entrelazas por el conectivo “o…o” y se representa así: “V”.

La Condicional o Implicación: es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si…entonces…”, que se representa de la forma siguiente: “→“. La proposición que aparece entre las palabras ”Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra “Entonces”, se le llama consecuente o conclusión.

La Bicondicional o Doble Implicación: es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo “si y solo si” y se representa así:” «”

 

 

TABLAS DE LA VERDAD

 

A continuación se presenta un ejemplo para la proposición [(p® q)Ú (q’Ù r) ] « (r® q).

 

p	q	r	q’	p® q	(q’Ù r)	(p® q)Ú (q’Ù r)	r® q	[(p® q)Ú (q’Ù r) ] « (r® q)
0	0	0	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	0	1	1	0	0
1	1	0	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0	1	1	1

 

CONCEPTO DE TAUTOLOGIA

Una proposición compuesta es lógicamente verdadera o tautológica cuando es verdadera siempre, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la forman. Ejemplo:

p	q	p v q	p→( p v q)
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	V

 

CONCEPTO DE CONTRADICCION

La contradicción: es una proposición compuesta que es falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones que la formen. Ejemplo:

p	~p	p ð q
V	F	F
F	V	F

 

CONCEPTO DE CONTINGENCIA

La contingencia: es la combinación de la tautología y la contradicción. Ejemplo:

p	q	p → q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

 

 

IMPORTANCIA DE ESTOS CONCEPTOS EN EL CAMPO PROFESONAL

El tema de "lógica matemática", se presta para que  se puedan realizar los relacionamientos entre las distintas proposiciones, esto permite crear nuevas formas de resolver problemas en distintas ramas: matemáticas, física, química pero también en las ciencias sociales y por su puesto cualquier problema de la vida real. Porque cada vez que nos enfrentamos a un problema, manipulamos la información por medio de reglas de inferencia que aunque no estén escritas debemos respetar. Cada vez que realizamos una actividad empleamos la lógica para realizarla, quizá algunos realicen dicha actividad por caminos más corto, otros realizan recorridos más largos, pero al fin de cuenta lo que importa es llegar al resultado. Si se le da la confianza al alumno para que cree e innove, su estructura cognitiva seguramente va a crecer.

 

 

FUNCIONES

 

CUAL ES LA APLICACIÓN DE LAS FUNCIONES LINEALES

Una transformación lineal es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un elemento de un sub espacio, para transformarlo en un elemento de otro sub-espacio. En ocasiones trabajar con vectores es muy sencillo ya que pueden ser fácilmente interpretados dentro de un contexto gráfico, lamentablemente no siempre ocurre y es necesario transformar a los vectores para poderlos trabajar más fácilmente. Por otra parte, trabajar con sistemas lineales es mucho más sencillo que con sistemas no lineales, ya que se puede utilizar una técnica llamada superposición, la cual simplifica de gran manera gran variedad de cálculos, por lo que es de gran interés demostrar que un proceso puede ser reducido a un sistema lineal, lo cual solo puede lograrse demostrando que estas operaciones forman una transformación lineal.

Codominio

Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:

Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que:

1.  

2.   donde k es un escalar.

La particularidad de una transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector.

 

CUAL ES LA APLICACIÓN DE LA FUNCION CUADRATICA

Definición: Una función cuadrática es una función de la forma

donde a, b y c son constantes y a 0

al gráfico de una función cuadrática se le llama parábola

en el caso de b=0 y c=0 se obtienen los siguientes gráficos

Observar que la parábola es una curva simétrica. Al eje de simetría se le llama eje de la parábola. En las parábolas anteriores el eje corta la parábola en el vértice.

El vértice es el punto donde la función f(x)= ax² alcanza el mínimo si a>0, ó el máximo si a<0.

La gráfica de f(x)= ax² +bx +c es la de y=ax² convenientemente traslada.

Las coordenadas del vértice están dadas por la siguiente fórmula:

El valor máximo ó mínimo está dado por:

 

 

MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS

 

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal

 

 

 

Importancia y Aplicación del tema de estudio en la Administración y Economía

 

El elemento principal que se pretende desarrollar es  brindar situaciones particulares de la vida cotidiana que nos permitan acercarnos a un contexto específico a partir de un enfoque matemático, que si ser excesivamente formal, permita visualizar las aplicaciones prácticas de uno o más contenidos de un programa de estudio en particular.

Es decir, un concepto matemático que se pueda ver reflejado dentro de la realidad de los seres humanos y no como una simple definición llena de simbolismo y de elementos abstractos.

Para visualizar lo expuesto con anterioridad consideremos en primer lugar dar un ejemplo que nos permitirá ver mejor la utilidad de lo investigado. Uno de los contenidos básicos de este estudio es la  función real de variable real y donde usualmente se desarrollan modelos de funciones lineales, cuadráticas, máximos y mínimos.

Tomemos como ejemplo el caso de la función lineal dada por f: IR→ IR tal que f (x) = m x + b y consideremos un determinado artículo, sea el caso de un lapicero. En la producción o venta de cualquier bien por una empresa, intervienen ciertos rubros, los cuales van a establecer su precio en el mercado. Así podemos definir dos tipos de precios, precio de costo y precio de venta.

Se llama precio de costo a la suma de los montos de todos los rubros que intervienen en la producción del artículo. En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos: fijos y variables.

Los costos fijos son aquellos costos, que bajo condiciones normarles, no dependen del nivel de producción, es decir, deben enfrentarse sin importar la cantidad de artículos producidos Por otro lado, los costos variables son aquellos que dependen del nivel de producción, es decir, están relacionados en forma directa con la cantidad de artículos producidos.

Por ejemplo, para fabricar un lapicero se requiere la utilización de una serie de elementos como lo son la tinta, plástico o metal, el uso de electricidad, la publicidad, personal que ejecute la labor, etc. El conjunto de estos elementos forman parte de lo que se denomina estructura de costo de producción donde la cantidad de tinta, de plástico y de metal pueden ser considerados como costos variables; ya que, a mayor cantidad de lapiceros fabricados es mayor la cantidad de estos insumos que se requieran, estableciéndose así una relación

entre nivel de producción y cantidad de materiales.

Por otro lado, rubros como alquileres, intereses sobre préstamos y salarios de administrativos se mantienen constantes independientemente de la producción de la empresa. Es decir, forman parte de lo que se denominó costos fijos.

Por tanto, en resumen podemos decir Costo total = Costos variables + Costos fijos Si designamos C como costo total, Cv como costos variables y CF como costo fijo, la relación anterior puede escribirse como V F C = C + C donde CV es igual al número artículos producidos multiplicado por el costo variable por unidad y CF es una constante.

Si x representa el número de artículos producidos y m el costo variable por unidad entonces podemos definir la función f: IR ∩ {0}→ IR tal que C (x) = mx + CF .

Supongamos que el costo variable por unidad de producir un lapicero es de B

Bs.100 y que los costos fijos mensuales ascienden a Bs.2.225.000.

Suponiendo que el costo total tiene un comportamiento lineal, una función que

representa la situación anterior viene dada por C (x) = 100 x + 1500000, donde x representa el número de lapiceros producidos por mes. Con base en la relación anterior, ¿cuál será el costo que representaría para la empresa la producción de 100.000 lapiceros en el mes?

Solución

C (100000) = 100 (100000) + 1500000

C (100000) = 11500000

El costo total de producir 100.000 lapiceros en

un mes es de Bs.11.500.000.

Para reflexionar:

Para la función dada C (x) = 100 x + 1500000. El valor de 100 significa que por cada lapicero adicional que se produzca, el costo total aumenta en Bs.100. Por otro lado, el valor de 1500000, como se dijo anteriormente, representa el costo fijo o de forma análoga, el costo de producción que debe cubrirse aunque no se fabrique ningún lapicero.

Supongamos ahora que la empresa sufrió un cambio en su estructura productiva por lo que su función de costo total se vio afectada de tal forma que si se producen 50.000 lapiceros, en un mes, el costo asciende Bs.5.800.000 y se producen 80.000 lapiceros los costos ascienden a Bs.8.500.000.

Suponiendo un modelo de costo lineal, determine la relación del costo total C de producir x lapiceros al mes.

Para establecer el criterio de una función lineal cualquiera sólo necesitamos conocer dos pares ordenados. De acuerdo con este caso particular, la primera componente representa la cantidad de lapiceros producidos por mes, y la segunda componente representa el costo total mensual.

Para determinar el valor numérico de m se requiere conocer dos pares ordenados del gráfico de la función. Basta tomar los puntos (x1 , y1) y ( ) 2 2 x , y , que en este caso vienen dados por (50000, 5800000) y (80000, 8500000), y aplicar la siguiente fórmula.

  M=    y2-y1

x2-x1

 

Para determinar el valor numérico de CF se debe, evaluar uno de los dos puntos anteriores en la fórmula: b = y ! mx

Por tanto, el problema anterior se resuelve de la siguiente manera.

Solución

  M=    y2-y1

x2-x1

 

8500000-5800000     =                 2700000    =   90

                                                                                                                     80000-50000                          300000

 

b = y ! mx = 8500000 ! 90 (80000)

 

b = 1300000

 

Por tanto, la nueva estructura productiva define la función de costo total C(x) = 90 x + 1300000

Como puede observarse, el tema de función lineal constituye, tan solo, un ejemplo de las variadas aplicaciones que los contenidos de la disciplina de la Matemática encuentran en el desarrollo de las actividades propias del ser humano, entre ellas la Administración y la Economía.

 

 

 

 

Conclusión

Todo enunciado puede ser planteado en términos de teoremas. Un teorema por lo general es resultado de un planteamiento de un problema, este planteamiento debe tener el siguiente formato.

(p1 Ù p2 Ù .......Ù pn) Þ q

Como se establece p1, p2 ,......,pn son hipótesis (o premisas) derivadas del mismo problema y que se consideran válidas. Pero además deberán conectarse con el operador And (Ù ), lo cual implica que p1 es cierta y (Ù ) p2 es verdad y (Ù )...... y pn también es cierta entonces (Þ ) la conclusión (q) es cierta. Para realizar la demostración formal del teorema se deberá partir de las hipótesis, y después obtener una serie de pasos que también deben ser válidos, ya que son productos de reglas de inferencia. Sin embargo no solamente las hipótesis y reglas de inferencia pueden aparecer en una demostración formal, sino también tautologías conocidas. En el teorema anterior cada uno de los pasos p1, p2,...pn son escalones que deberán alcanzarse hasta llegar a la solución.

Lo mismo ocurre con todo tipo de problemas que se nos presentan en la vida, antes de llegar a la solución debemos alcanzar ciertas metas (p1,p2,....pn) hasta llegar al objetivo o conclusión (q). Pero una vez que logramos el objetivo debemos plantearnos nuevos objetivos que nos permitirán superarnos.

Dependiendo del área de interés al estudiante puede transportar dichos conocimientos, de tal manera que le auxilien para entender y resolver otro tipo de problemas. En el caso de computación cada línea de un programa se obtiene inconscientemente aplicando una regla de inferencia y por lo tanto cada instrucción tiene su orden en que debe de ir colocada, si se cambia esa línea seguramente el resultado ya no será igual.

Una demostración formal equivale a relacionar esquemas para formar estructuras cognitivas. Sí el alumno sabe inferir soluciones lógicas, estará en condiciones de resolver todo tipo de problemas.