Gabarito Teste 2 de Matemática Combinatória
Coeficientes Binomiais e PIE

1)
Vou chamar de S, o somatório de [i . (i+1)] para i=1 até n.
Nesse caso, S = 1.2 + 2.3 + ... + n(n+1)

Se dividirmos ambos os mebros por 2!, teremos:
S/2! = 1.2/2! + 2.3/2! + ... + n(n+1)/2!
     = C2,2 + C3,2 + ... + C(n+1),2
       
Pelo teorema das colunas temos:
S/2! = C(n+2),3 = (n+2)(n+1)n / 3!

E portanto,
S = n(n+1)(n+2) / 3

2)
Vou chamar de T(5) o quinto elemento da expansão de (2+x)^5 da esquerda 
para a direita.
Temos que:
T(i+1) = Cn,i . a^i . b^(n-i)
onde a = 2, b = x, n = 5

Com isso,
T(5) = C5,4 . 2^4 . x = 80x

Podemos considerar também a expansão da direita para a esquerda, o que 
leva a:
T'(5) = 10x^4

3)
a)
Primeiro escolhemos as duas bolas que permanecerão em suas caixas 
iniciais. Isso pode ocorrer de C4,2 = 6 maneiras
Depois garantimos que as outras duas bolas não ocupem suas posições 
iniciais, o que pode ocorrer de D2 = 1 (permutação caótica de 2 elementos) 
maneiras.

Com isso temos como resposta:
C4,2 . D2 = 6

b)
Para termos pelo menos duas bolas em suas caixas iniciais, podemos 
contar os casos em que temos exatamente duas bolas em suas posições 
iniciais mais os casos em que temos exatamente três bolas em suas posições 
iniciais mais os casos em que temos exatamente 4 bolas em suas posições 
iniciais.
caso (1) C4,2 . D2 = 6
caso (2) C4,3 . D1 = 0
caso (3) C4,4 = 1

Total = 6 + 0 + 1 = 7