Gabarito Teste 1

1. a base e' n=3, nao temos que provar que a soma dos dos angulos internos
de um triangulo e' PI porque ja foi dado.
assumo como hipotese de inducao que para um poligono convexo de n >=3 lados
a soma dos angulos internos e' (n-2)PI.
o passo de inducao considera um poligono convexo de n+1 lados,
com vertices a1, a2, ..., a(n+1).
Chame de alphai o angulo interno no vertice i.
Pego a diagonal definida pelos vertices a1 a3.
como o poligono e' convexo, a diagonal define
dois poligonos convexos, cada um com numero estritamente menor que n+1
lados: um triangulo e um poligono convexo com n lados.
Para o triangulo, foi dado que a soma dos angulos internos e' PI,
observe que este triangulo tem um angulo que vale alpha2 e outros
dois angulos cuja soma vale PI - alpha2;
Para o poligono convexo de n lados, a hipotese de inducao diz que sua 
soma dos angulos internos e' (n-2)PI.
Agora, a soma dos angulos internos do poligono convexo de n+1 lados
sera dada por:
alpha2 + (PI - alpha2) + (n-2)PI = (n-1)PI, como queriamos.

2. Notacao: Cn,p para combinacao de n elementos p a p.
(Por exemplo C5,3 = 10.)

a) C22,10 ja que temos que selecionar 10 dentre 22 computadores distintos.

b) De 10! formas. Ja que para evitar brigas, existem exatamente 10 das 19
cadeiras ja dispostas em fila, para serem ocupadas pelos 10 tecnicos.

c) De 6! formas. Temos 5! permutacoes circulares dos 6 juizes.
Como os computadores sao distintos, para cada uma das 5! permutacoes
circulares, temos 6 possibilidades para sentar os 6 juizes.

d) escolhemos as mulheres de C5,3 modos, escolhemos os homens de C11,7
modos. Pelo principio multiplicativo: C5,3 X C11,7 e' a resposta.

e) Primeiro fazemos o produto de 4 numeros:
decidimos sala dos competidores de C22,10 X 10! formas;
decidimos sala dos tecnicos de 10! formas;
decidimos sala dos juizes de 12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 formas;
decidimos sala do staff de C5,3 X C11,7 formas.
Observe que para a sala dos competidores, levei em consideracao que os
computadores sao distintos. Uma vez escolhidos os 10 que ficam na sala dos
competidores, temos que alocar os 10 times aos respectivos computadores,
de 10! formas.
Observe que para a sala dos juizes, levei em consideracao que sao 22
computadores distintos. Uma vez escolhidos os 10 que ficam na sala dos
competidores, sobram 12 que serao dispostos circularmente na sala dos
juizes de (12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7)/6! formas, e uma vez dispostos
os computadores desta sala, os 6 juizes sentam de 6! formas.

Segundo temos que decidir que sala sera de quem, de 4! formas.

A resposta e': (C22,10 X 10!) X 10! X (12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7) X 
(C5,3 X C11,77) X 4!.
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