LAS MATEMÁTICAS Y LA NATURALEZA

Phi (1.618033988749895... ), pronunciado como fi, es un numero irracional como Pi ( 3.14159265358979... ), pero con muchas características matemáticas inusuales. Phi es la base de la Proporción Dorada. La razón o proporción determinada por Phi (1.618...) era conocida por los Griegos como la "Sección Dorada" y por los artistas del renacimiento como la "Proporción Divina". También se le conoce como la razón Dorada o la Proporción Áurea.

Phi, como Pi, es una razón definida por una construcción geométrica.
Pi es la relación de la circunferencia de un círculo respecto a su diámetro. Phi es la proporción de los segmentos de una línea que resultan cuando una línea es dividida de una forma única y especial.

Leonardo Fibonacci, por herencia del mundo árabe, descubrió la serie que nos lleva a phi. En el siglo XII, Leonardo Fibonacci descubrió una serie numérica simple que es la base de la increíble relación que encontramos detrás de phi. Empezando con 0 y 1, cada número de la serie es simplemente la suma de los dos anteriores. Así: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

La razón (proporción) de cada par sucesivo de números en la serie se aproxima a phi (1.618. . .). Así si dividimos 5 entre 3 es 1.666..., y 8 entre 5 es 1.60. En la medida en la que vamos mas lejos del 0 (punto de inicio de la secuencia) nos acercamos al valor de phi.

La tabla de abajo nos muestra como las proporciones de números sucesivos en la serie Fibonacci se aproxima a Phi.

Puedes computar cualquier número de la serie Fibonacci fácilmente. Usa phi para saber cualquier numero (n) de la serie Fibonacci (f)

fn = Fn / 5½

Phi puede derivarse matemáticamente resolviendo la ecuación:
n2 - n1 - n0 = 0 que es lo mismo que n2 - n - 1 = 0
Esta ecuación la rescribimos y nos queda así:
n2 = n + 1 y 1 / n = n - 1
La solución a la ecuación es la raíz cuadrada de 5 más 1 dividido entre 2
( 5½ + 1 ) / 2 = 1.6180339... = F

Esto resulta en dos propiedades únicas de phi:
Si elevas al cuadrado a phi, obtienes un numero exactamente 1 mayor que phi: 2.6180...
F2 = F + 1
Si divides a phi entre 1, obtienes un numero exactamente a 1 menos phi: 0.6180...:
1 / F = F - 1

Phi, curiosamente, puede ser expresado en cinco: 5 ^ .5 * .5 + .5 = F

Puedes usar phi para computar un número n en la serie Fibonacci (fn): fn = Fn / 5½

Como por ejemplo, el número 40 de la serie Fibonacci es 102, 334, 155, que puede expresarse
f40 = F40 / 5½ = 102,334,155

Este método en realidad nos provee un estimado que siempre esta cerca del número correcto Fibonacci.

El Cociente Dorado

El cociente dorado es un número irracional nombrado de esa manera por los griegos, y que tiene un valor de 1.61803 39887 49894 84820 , el cual puede ser calculado por medio de la fórmula:

Este número también puede ser aproximado por medio de los Números de Fibonacci, ya que al dividir un término de esta serie entre el anterior, el valor resultante se aproxima más al cociente dorado conforme los valores de la serie se van incrementando. Términos Aproximación

1/1 1

2/1 2

3/2 1.5

5/3 1.6667

8/5 1.6

13/8 1.625

21/13 1.615384615

34/21 1.619047619

55/34 1.617647059

89/55 1.618181818

144/89 1.617977528

233/144 1.618055556

377/233 1.618025751

610/377 1.618037135

987/610 1.618032787

1597/987 1.618034448

2584/1597 1.618033813

El cociente dorado es un número altamente reproducible en la naturaleza, ya que se puede encontrar por ejemplo en las flores y los conos de los pinos, en los cuales se describen espirales en sentidos opuestos; si contamos estas espirales hacia un lado obtenemos un número de la serie de Fibonacci y hacia el otro el número anterior que, como ya vimos, dividido uno sobre el otro aproximan el valor del cociente dorado.

También es posible encontrarlo en las espirales de las conchas de ciertos animales marinos, como es el caso del Nautilus, que se muestra en esta figura.

A esta espiral se le conoce como Espiral Logarítmica, y tiene la característica que cada 90°, el radio de la circunferencia se incrementa en una proporción igual al valor del cociente dorado.

Giza y su Gran Pirámide Dorada

Hace miles de años, la civilización egipcia construyó grandes pirámides para honrar a sus faraones y a sus dioses. En Giza sobreviven tres pirámides que, matemáticamente, tienen características muy peculiares:

La Gran Pirámide: Podríamos decir que esta pirámide tiene "Geometría Dorada", ya que el ángulo de inclinación de cada una de sus caras puede obtenerse a partir del cociente dorado, de la siguiente manera:

arcCos (1/f)=51.8°

además de encontrarlo en sus dimensiones, ya que si dividimos una de sus caras por la mitad, formamos dos triángulos rectángulos con altura igual a f veces la base.

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