RESONANCIA EN LAS REDES ELÉCTRICAS
1. Circuito RLC serie
Sea un circuito con componentes R, L y C como el de la figura:
Se dice que un circuito llega a la condición de resonancia cuando su impedancia y/o admitancia son reales puras (es decir que se comporta como un circuito resistivo).
La expresión de la impedancia compleja del circuito RLC serie:es:
Z = R + j ( XL - XC) (1)
Luego, de acuerdo con la definición del estado de resonancia, para que la impedancia sea real pura la parte imaginaria (reactiva) de su expresión deberá anularse:
XL - XC = 0
XL = XC
(2)
Dicho estado se podrá alcanzar variando cualquiera de los factores de la igualdad:
1.Por variación de la inductancia L: sintonizadores de inductancia con núcleo variable de los equipos de TV B&N
2.Por variación de la capacidad C: dial de capacidad variable utilizado en las pequeñas radios portátiles de AM-FM
3.Por variación de la pulsación w (es decir la frecuencia): Como en los circuitos presintonizados usados en telecomunicaciones.
Luego, de (2) se puede despejar la expresión de la pulsación para el estado de resonancia como:
Que es la expresión de la pulsación de resonancia para el circuito RLC serie
1.1. Expresión de las magnitudes características
La expresión de la corriente en el circuito RLC serie cuando este alcanza resonancia será:
(ya que Z = R)
Luego la caída de potencial en la resistencia será según Ohm:
UR = R . I = R .U / R = U
De donde se extrae que para el caso de resonancia la tensión en la resistencia es máxima e igual a la tensión de entrada del circuito.
Luego las respectivas tensiones en los elementos reactivos serán:
UL = j XL . I = j XL . U / R
UC = -j XC . I = -j XC . U / R
Luego. por condición de resonancia del circuito XL = XC y de las anteriores se extrae que:
UL = -UC (es decir iguales y opuestas en fase)
Vectorialmente:
Donde las componentes reactivas tienen el mismo módulo y están desfasadas 180º entre sí, cancelándose mutuamente.
1.2 Factor de mérito del circuito RLC serie
Se define como factor de mérito de un circuito RLC serie al cociente entre una de las componentes reactivas de su impedancia (reactancia capacitiva o inductiva) sobre el valor de la resistencia, en condición de resonancia.
Q = XL / R = XC / R
Q = wL / R = 1 /wRC
Dicho parámetro característico del circuito puede ser de suma utilidad, ya que dependiendo de los valores que adopten L y C cerca o en el estado de resonancia, puede reflejar la existencia de potenciales mucho mayores que la tensión de alimentación sobre los elementos reactivos, lo que se conoce como fenómeno de sobretensión.
Es por eso que también se lo conoce a este valor como Factor de sobretensión.
2 Circuito RLC paralelo
Sea un circuito como el de la figura siguiente:
cuya disposición es dual de la anterior.
Dicho circuito será excitado por una fuente ideal de corriente, representada por la corriente I.
La expresión de su admitancia compleja será:
Y = G + jB
Y = G - j (BL - BC)
Luego en la condición de resonancia del circuito, las componentes reactivas han de cancelarse, por lo tanto:
1/wL = wC
luego
(pulsación de resonancia)
Cabe destacar que el hecho de que se haya llegado a la misma expresión de la pulsación de resonancia que en el circuito serie, sólo se debe a la naturaleza dual entre ambos, ya que la expresión de la misma no es universal, sino que depende de la topología del circuito RLC considerado. A otras configuraciones, como veremos, les coresponden expresiones distintas de la frecuencia de resonancia.
2.1 Expresión de las magnitudes características
La expresión de la tensión en el circuito RLC paralelo al alcanzar resonancia será:
U = RI
ya que
Y = 1 / R
y
Z = R
De lo anterior se deduce que, en resonancia, toda la corriente inyectada por el generador pasará por la resistencia, mientras que L y C no demandan corriente de la fuente. Esto no significa que no exista circulación de corriente por los elementos reactivos:
IL = - j 1/wL . U = - j R/wL . I
IC = j wC . U = j wRC. I
De lo anterior y ya que 1/wL = wC en resonancia, se deduce que:
IL = -IC
Lo cual indica que existe una corriente de circulación en la malla LC que representa la transferencia de energía reactiva que alternativamente pasa de L a C y viceversa.
Vectorialmente:
Donde nuevamente las componentes reactivas son iguales en módulo y están en contrafase, cancelando sus efectos.
2.2 Factor de mérito del circuito RLC paralelo
Para el caso del circuito paralelo el cociente será entre partes reactivas y resistivas de la admitancia:
Q = BL / G = BC / G
R / wL = wRC
Esta relación, dependiendo de los valores de L y C refleja la posibilidad de generación de sobrecorrientes sobre dichos elementos.
2.3 Sintonía del circuito resonante paralelo
Partiendo de la expresión de la admitancia del circuito paralelo:
Y = 1/R - j ( 1/wL - wC)
De donde la impedancia será:
Z = 1 / (1/R - j ( 1/wL - wC))
Multiplicando numerador y denominador por R:
Z = R / (1 - j ( R /wL - wCR))
Luego, de la expresión del factor de mérito Qo , definido precedentemente, a la frecuencia de resonancia, y multiplicando cada miembro del denominador por wo/wo:
Z = R / (1 - j (Qowo/w - Qow/wo))
Z = R / (1 - j Qo(wo/w - w/wo))
Luego calculando el módulo de la impedancia del circuito:
De la cual podemos considerar tres posibles casos de valores de pulsación:
1) w = wo => Z = R (en resonancia el circuito es resistivo puro)
2) w -> 0 => Z = 0 (en c.c. L se comporta como cortocircuito)
3) w ->
=> Z = 0 (a frecuencia
C es un cortocircuito)
Representemos Z en función de la pulsación:
Luego, partiendo de la expresión de la tensión del circuito, excitado por una corriente ideal constante:
|U| = |Z|.|I|
Podemos graficar la tensión U en función de la pulsación, que es el mismo gráfico de la impedancia cambiando la escala:
La potencia P en la resistencia R (única del circuito) será:
P = R.IR2 = R (U/R)2 = U2/R
Su representación corresponde a las ordenadas del gráfico anterior, elevadas al cuadrado:
Se define como ancho de banda del circuito a la diferencia:
w1 - w2 = Dw
El ancho de banda se define como el intervalo de frecuencias (o pulsaciones) dentro del cual la potencia activa del circuito no disminuye más allá de la potencia mitad (PMAX/2), que también se conoce como rango de potencia útil.
2.4 Ancho de banda y factor de mérito del circuito resonante paralelo
Representando potencia en función de la pulsación para circuitos de distinto factor de mérito, resulta:
A medida que aumenta el factor de mérito, disminuirá el ancho de banda del circuito, por lo tanto el mismo se hace más selectivo. De la misma forma, con la disminución del factor de mérito, aumenta ancho de banda del circuito.
Se demuestra:
3 Circuito RLC real
Sea el circuito de la figura:
Que representa un circuito LC donde la rama inductiva refleja la situación real de las pérdidas de la bobina.
La expresión de la admitancia del circuito será:
Descomponiendo la fracción en sus términos y reagrupando partes real e imaginaria:
Luego la condición de resonancia se cumplirá cuando la admitancia (o impedancia) sea real pura, por lo tanto:
Finalmente tomando factor común 1/LC y extrayendo de la raíz:
De donde se desprende que el circuito no resuena para cualquier condición de funcionamiento, sino que, para que exista resonancia, se debe verificar que:
Finalmente de (1) se verifica que para R = 0 la frecuencia de resonancia es la misma que para un RLC serie o paralelo puros.