LAPLACIANO EN COORDENADAS ESFÉRICAS - ECUACIÓNES DE EULER CAUCHY y  DE LEGENDRE

Se considera ahora un problema típico con valores en la frontera que incluye la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. Suponer que una esfera de radio Ro posee una distribución de potencial eléctrico V[Ro,θ,φ]=f[φ]  (1). El Laplaciano en coordenadas esféricas es:

y la ecuación de Laplace resulta:

Quiere encontrarse el potencial V en todos los puntos del espacio, el cual se supone libre de otras cargas.

En el infinito el potencial debe ser cero, es decir Limit[V[R,φ],R->Infinity]=0  (3)

Así debe resolverse el problema con valores en la frontera para (2) con la condición de contorno (1) y la condición en el infinito (3).

Separación de variables

Procedemos por separación de variables:V[R,φ]=G[R] H[φ].Al sustituir en (2) y dividiendo en tre la función G H se obtiene

y se tienen las variables separadas.

Ecuación de Euler - Cauchy

Los dos miembros de esta ecuación deben ser iguales a una constante k de tal modo que:

y

Evaluamos la ecuación efectuando previamente la sustitución

Resulta

Hallamos los ceros del resultado anterior, o sea los valores de α que permiten satisfacer la ecuación diferencial:

y finalmente:

Ecuación de Legendre

Transformamos la ecuación (4) con el cambio de variable cosφ=w  y  k=n (n+1), resultando la ecuación de Legendre:

Graficamos:

La ecuación (7)  llamada ecuación de Legendre es:

Probemos, como solución, los polinomios de Legendre de orden n (LegendreP[n,w]):

n=0

Reemplazando en (7)

Para determinar los valores de n que resuelven la ecuación diferencial, hacemos:

El polinomio de orden cero es solución

n=1

Reemplazando en (7)

El polinomio de orden 1 es solución

n=2

Reemplazando en (7)

El polinomio de orden 2  es solución

n=3

Reemplazando en (7)

El polinomio de orden 3  es solución. Y así sucesivamente. Puede comprobar que LegendreP[n,w]=LegendreP[-(n+1),w]

Solución usando una serie de Fourier - Legendre

Para el entero n=0, 1, 2,....se obtienen las dos sucesiones de soluciones V=G H de la ecuación de Laplace:

y

Solución del problema interior

Esto significa una solución dentro de la esfera. Para ello se considera la serie:

Para que (8) satisfaga a (1) debe tenerse

es decir (9) debe ser la serie de Fourier -  Legendre de f[φ] para la que

Solución del problema exterior

EJEMPLO. Capacitor esférico

Encontrar el potencial dentro y fuera de un capacitor esférico compuesto por dos semiesferas metálicas de radio unitario separadas por una pequeña hendedura por razones de aislamiento, si la semiesfera superior se mantiene a 220 V y la inferioe está conectada a tierra.

La condición de frontera es

Siendo Ro=1, por (10) se obtiene

Al ser Ro=1, es  Bn=An y se pueden construir las series  cuyas sumas parciales permiten calcular los valores aproximados del potencial.

y

A continuación podemos representar las equipotenciales en el plano {y,z}.