T�cnica basada en la Medida de los Retardos Temporales

En principio podr�amos pensar que calculando los retardos temporales entre 3 sat�lites y el usuario ya tendr�amos la posici�n deseada (X_i,Y_i,Z_i), puesto que tres esferoides que se cortan definen un punto. �Por qu� son necesarios entonces 4 sat�lites si parece que basta con 3 para obtener la posici�n?.

La respuesta a esta pregunta es que, efectivamente, bastar�a con s�lo 3 sat�lites para determinar la posici�n. Pero esto exige una precisi�n muy buena y una gran estabilidad de los relojes, tanto del sat�lite como del receptor. Si bien los sat�lites cumplen estas dos condiciones, pues incorporan un reloj at�mico (que son muy precisos y muy estables), este no es el caso de los receptores puesto que su precio ser�a desorbitado.

La soluci�n a este problema es introducir una nueva inc�gnita en el sistema (adem�s de las tres coordenadas espaciales del receptor) debido a la deriva que existe entre el reloj del sat�lite y el reloj del usuario. Y es por esto por lo que necesitamos 4 sat�lites como m�nimo, y no 3 como parec�a en un principio.

Como acabo de decir, se emplean 4 sat�lites respecto a los cuales el receptor calcula las distancias respectivas. En realidad no se miden distancias, sino pseudodistancias. Veamos que significa este concepto:

Se Define:

[0]
entonces

[1] -------------- distancia real (sin derivaa)

[2] -------------- pseudodistancia
donde el tiempo medido es:

[3]

[4]
Este es el error producido como consecuencia de la deriva existente entre el reloj del sat�lite y el reloj del receptor.

As� pues, la distancia real (que es la que realmente nos interesa) ser�:

[5]
Las coordenadas de cada sat�lite son conocidas, tenemos 4 ecuaciones de la forma:

[6] para i = 1,..,4
(x_i,y_i,z_i) ------------ coordenadas del sat�lite
4 ecuaciones ~ 4 inc�gnitas --- soluci�n �nica

Para linealizar [6] y facilitar as� su resoluci�n se pide al usuario que introduzca una posici�n aproximada:

[7]

Desarrollamos en serie de Taylor en torno a este punto

[8]

[9]
Que puede ponerse como:

[10]
Y as� hemos llegado a un sistema con 4 ecuaciones y 4 inc�gnitas que se van a calcular conociendo las distancias a 4 sat�lites.

Si hay m�s de 4 sat�lites visibles se calculan las pseudodistancias respecto a todos los sat�lites visibles, obteniendo as� un sistema con m�s ecuaciones que inc�gnitas, lo que simplifica el c�lculo de la posici�n.
El sistema est� dise�ado para que sobre cualquier punto de la superficie terrestre haya al menos 4 sat�lites visibles.
El sistema GPS adem�s de la posici�n nos ofrece una referencia temporal muy exacta, esto permite:

• Sincronizar los relojes locales (esto tiene muchas aplicaciones, p.ej. sincronizaci�n en transmisiones...).

• Posibilidad de medir la velocidad a la que se desplaza el usuario a trav�s del desplazamiento Doppler.
  [11] ---- relaci�n f_Doppler ~ desplazamiento Doppler

Algunos detalles del sistema GPS

• Error instrumental del c�lculo de pseudodistancias como consecuencia de un error en la medida del retardo temporal de la se�al.
  [12] ---- relaci�n f_Doppler ~ desplazamiento Doppler
  El sistema GPS requiere sistemas de medidas de retardo muy precisos.

• El reloj del sat�lite tambi�n puede sufrir alguna deriva (al cabo de varios a�os). El GPS env�a al receptor una serie de modelos para corregir estas derivas.

• Puede suceder que el receptor s�lo sea capaz de recibir las se�ales de 3 sat�lites. En este caso se pide al usuario que introduzca la altura y se emplea el GPS en 2D.

• La se�al tarda unas cent�simas de segundo en llegar al receptor, la posici�n del sat�lite que hay que considerar para calcular la posici�n del usuario es la que ten�a el sat�lite en el momento de transmitir la se�al.