FRACTALES EN LA EDUCACIÓN

 

Por Carmen Constanza Uribe Sandoval

Julio 29 de 2005

 

ABSTRAC

Fractal figures are very beautiful, but what are the bases of them?

 

• Fractals have a fractional dimension
• A fractal is an attractor of a chaotic system
• The color of each point reflects its convergent velocity
• You can see a lot fractals in Nature
• You can generate different fractals from a simple formula, different seeds, and various iterations of a computer program

 

In the beginning people work with Euclidian geometry only for describing the form of different objects. With it, you can have a point with dimension equal to zero, a straight line with dimension of one, a plane with dimension of two, and a solid with dimension equal to tree. In addition, two parallel lines will never meet themselves, and the sum of all the angles in a triangle is always 180°. Later, no Euclidian geometries appeared, and the opposite happened, two parallel lines could meet when they prolong too much on the poles, and similarly, the tree angles in the triangle do not equate to 180° if you measure them on a globe. The fractal geometry is a non-Euclidian geometry, because here you can have fraction dimensions in opposition to the Euclidian geometry.

 

Scientists have also studied chaos theory on physical and chemical processes. They saw that these processes are not predicable by using their mathematical models. They studied dynamic systems and concluded that some of them converge to an attractor when the system has completed various iterations.

 

You are invited to read this document in order to learn some basic information about Fractals.

 

 

INTRODUCCIÓN

 

A diario se viven eventos en los que un detalle al parecer insignificante cambia el destino o el desenlace de algún evento: un problema familiar o el tráfico pesado, que no le permitieron estar en el lugar donde había de ocurrir un desastre; o el simple encuentro con un desconocido que finalmente llega a ser su cónyuge, son ejemplos que llevan a pensar, ¿Qué hubiese pasado si no hubiera ocurrido esto?

 

Como los sistemas sociales, también los sistemas biológicos y muchos otros como los fenómenos meteorológicos, la Bolsa de Valores y la mezcla de fluidos, se tornan en procesos “no controlables” o “caóticos”, ya que no es posible predecir lo que ocurrirá al transcurrir un determinado tiempo, aunque se conozcan desenlaces cuyas condiciones iniciales presentan similitud.

 

En torno a estos sistemas se viene trabajando, en busca de establecer los modelos matemáticos que los describan, se han probado ecuaciones lineales, se han probado también polinomios de mayor grado, ecuaciones exponenciales e incluso ecuaciones diferenciales, obteniendo cada vez mejores aproximaciones pero sin poder resolver las situaciones donde se presentan cambios inesperados. Es así como se están encontrando funciones dinámicas no lineales, cuyas gráficas muestran el comportamiento caótico de los sistemas y los puntos respectivos donde se suceden las extrañas variaciones; se trata de esos mismos sistemas dinámicos que se estudian desde la teoría general de sistemas, para los cuales el valor presente (x_i) depende de uno o más valores pasados (x_i-1, x_i-2,…); la no linealidad se refiere a que pueden aparecer variables multiplicadas por sí mismas o entre ellas, a diferencia de lo que ocurre en un modelo lineal.

 

De esta manera, la teoría del caos está siendo aplicada en diferentes procesos de ingeniería, siendo uno de los más interesante, la predicción de movimientos telúricos [Monroy 2002 pág 324-330], por los altísimos costos que se generan cuando ocurre este tipo de catástrofes; así mismo si se trata el corazón humano como un sistema dinámico [Subias 1992], puede predecirse algunas alteraciones del mismo, igualmente sucede con el cerebro [Subias 1992]; otro modelo que ha tenido gran éxito es el del crecimiento de una población [Gusmán 1993] [partiendo de un valor conocido y utilizando constantes que expresan las condiciones que están influyendo en dicho crecimiento. Observe la fórmula 1, que se está utilizando para este modelo, donde x es el porcentaje de crecimiento de la población y a es el valor de la constante.

 

Función 1. Sistema dinámico no lineal para crecimiento poblacional

 

x_i+1 = ax_i(1-x_i)

Fuente: Gusmán 1993 pág

El análisis de la gráfica (ver figura 1) correspondiente a este sistema dinámico no lineal, presenta características de autosemejanza cuando se compara alguna de sus partes con el todo, luego de haber calculado un número grande de valores de la población en el tiempo, cambiando gradualmente la constante del sistema. Es precisamente la gráfica que se genera de estas iteraciones la que se denomina “atractor” del sistema y se pude considerar como una figura fractal “…los puntos fijos, o puntos estables de un sistema dinámico dado; son los valores de la variable y son constantes en el tiempo. Algunos de estos puntos son atractivos…” []. El tema de sistemas dinámicos no lineales, puede ampliarlo en el link          http://www.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/sistdin/sddiscretos.html#atractores, tomado de Sistemas Dinámicos Discretos y Caos. Teoría, Ejemplos y Algoritmos, de A.Giraldo y M.A.Sastre, editado por la Fundación General de la Universidad Politécnica de Madrid (2002).

 

Figura 1. Comportamiento de un sistema dinámico no lineal que modela el crecimiento poblacional.

 Fuente: Luque y Agea. Fractales en la red. Capítulo 6.

 

Son diferentes las definiciones y clasificaciones que se encuentran en la literatura y en la Internet que definen el término fractal, pero coinciden en resaltar su característica de autosimilitud y el hecho de que posean una dimensión fraccionaria en lugar de una entera, como estamos acostumbrados a establecer desde los conocimientos de la geometría euclidiana que aprendimos en los colegios y que ha sido revalidada con la aparición de las geometrías no euclideanas, que al observar los cuerpos a la escala del globo terráqueo derribaron conceptos elementales como que dos rectas paralelas nunca se cortan o que la suma de los ángulos de un triángulo siempre es de 180° [Flores 1997].

 

Aparece entre ellas la geometría fractal, que se ocupa del estudio de formas geométricas sin importar la escala con que se midan y las relaciones entre un objeto y sus partes [Gusmán 1993]. Ella define la dimensión fractal de un objeto como su grado de irregularidad, visto como la eficacia que éste presenta para ocupar un espacio; así una costa que presenta más accidentes geográficos que otra, tendrá mayor dimensión fractal que la segunda y ambas a su vez tendrán mayor dimensión que una línea recta. La forma como se calcula esta dimensión será presentada más adelante, luego de establecer la diferencia entre los fractales lineales y los complejos.

 

TIPOS DE FRACTALES Y DIMENSIÓN FRACTAL

 

No sólo se encuentran dentro de la literatura fractal, estos dos tipos de fractales, lineales y complejos, en páginas electrónicas como Fractals, se habla de fractales de tiempo de escape, de funciones iteradas, de orbitales caóticos, de bifurcaciones, de Lyndenmayer y de los aleatorios, entre otros. Para quienes se inician en el estudio de este tema, se ofrecen fractales que se generan a partir de una línea o de una figura geométrica, luego de repetir varias veces un mismo proceso sobre ellas, se tiene como ejemplos: la polvareda de Cantor, la curva de Koch y  el triángulo de Sierpinski, entre otros, los cuales son exactos en todas sus escalas, que pueden ser infinitas. Veamos el gráfico de Cantor en la figura 2.

 

Figura 2. Conjunto de Cantor

 

 

Fuente: http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-04.shtm

 

También es relativamente sencillo encontrar la dimensión fractal de estas figuras si se tiene en cuenta la cantidad de segmentos que aparecen a medida que cambiamos la escala de medición. Así en una línea recta como la de la figura 3, si asumimos que su longitud es de una unidad, obtenemos un solo segmento a esta escala, ahora, si se tomara el tamaño de la mitad del segmento como unidad de medida, se observa que dicha línea medirá 2 unidades y así sucesivamente, si la unidad de medida es la tercera parte del segmento original, se obtiene una medida de 3 unidades para la misma línea.

 

Figura 3. Línea recta cortada en dos segmentos

 

 

 

Fuente: El autor

 

Si llamamos S a la cantidad de segmentos que se contaron en la medición y L a la escala que se usó en la respectiva medición, la dimensión es el exponente al cual se eleva la escala de medición para obtener como resultado la cantidad de segmentos [Fractals, 2000], aplicando logaritmos para despejar el exponente tenemos:

 

Función 2. Dimensión fractal, en función de la cantidad de segmentos y la escala.

 

d = Log S / Log L

 

Fuente: Fractals. http://www.fractals.8m.com/dimension.htm#go

 

Al aplicarla esta ecuación al ejemplo de la línea recta arrojaría una dimensión d = 1, ya que S y L son iguales para cualquier escala de medición.

 

Se invita al lector a realizar el mismo ejercicio con un cuadrado, utilizándolo inicialmente como una unidad cuadrada de medida y luego cambiando la escala utilizando cuadrados cuyo lado es la mitad del original y luego la tercera parte o la cuarta parte del lado; encontrará que para la primera escala de medición obtiene un solo cuadrado, para la segunda escala, cuando dividió en dos el lado, obtiene 4 cuadrados, cuando utilizó una escala de la tercera parte del lado, se cuentan 9 cuadrados, así la dimensión a la que se eleva la escala de medición para obtener la cantidad de cuadrados es 2.

 

Si se realizan operaciones similares en un cubo, se obtendrá la dimensión 3 que sigue siendo la dimensión entera que todos conocemos para cualquier volumen. Pero veamos cuál es la dimensión fractal de la polvareda de Cantor que se aprecia en la figura 1: cada iteración consiste en dividir en tres partes iguales la recta original y dejar únicamente dos segmentos, de ahí, remplazando en la fórmula S = 2 y L = 3, se obtiene como resultado una dimensión de Log2 / Log 3 que es aproximadamente 0,6309, la cual no es una cantidad entera y supera a la dimensión de una polvareda de puntos que en geometría euclidiana sería cero.

 

Análogamente si se observa la curva de Koch en la figura 4, cada iteración consiste igualmente en dividir la línea en tres partes iguales y remplazar una de ellas por 2 en ángulo, obteniendo así cuatro segmentos, si se remplaza en la fórmula S = 4 y L = 3, se calcula una dimensión de Log 4 / Log 3 que es aproximadamente 1,26185, la cual tampoco es entera y supera la dimensión de 1 que en geometría euclidiana se le asigna a cada línea recta.

 

Figura 4. Cinco iteraciones de la curva de Koch

 

Fuente: http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-09.shtm

 

Otra forma muy práctica de calcular la dimensión de un objeto del que tenemos un esquema en papel, como puede ser la costa Atlántica de Colombia, es mediante una cuadrícula, en forma similar al ejemplo del cuadrado expuesto anteriormente; se inicia con un cuadro cuyo lado es de una unidad y se observan cuántos cuadros están siendo utilizados por el objeto, en este caso el resultado obviamente será 1; luego cambiamos la escala produciendo una cuadrícula donde cada uno de los lados de los cuadrados tienen la mitad de la longitud que el original y contamos el número de cuadrados que en este caso fueron utilizados por la figura; en forma sucesiva seguimos colocando mayas con cuadrados cuyo lado es la mitad del anterior (es decir una cuarta parte del original, para el tercer caso y una octava parte del original para el cuarto caso) y volvemos a contar la cantidad de cuadrículas que ha ocupado el dibujo. Una vez se tenga una lista con varios valores de cuadros ocupados según la escala utilizada, se aplica nuevamente la función 2, que para el conjunto de puntos correspondería a la pendiente de la recta aproximada mediante una regresión lineal sobre los puntos formados por el logaritmo de la escala (2, 4, 8,…) contra el logaritmo de la cantidad de cuadros ocupados; vale la pena aclarar que el logaritmo que se utilice es irrelevante, bien puede ser logaritmo natural o logaritmo en base 10 o en cualquier otra base [Monroy 2002 pág. 133].

 

Los fractales complejos que más se conocen son el Conjunto de Mandelbrot y el Conjunto de Julia, cuya belleza y cantidad de información es sorprendente, son generados mediante la fórmula 3, donde z y c son cantidades complejas, es decir tienen una parte real y una imaginaria.

 

Función 3. Ecuación compleja para Conjuntos de Mandelbrot y de Julia

 

f(z) = z² + c

Fuente: Monroy 2002 pág 223

 

La razón por la cual se utilizan números complejos en lugar de reales positivos o negativos con magnitudes mayores o menores a la unidad, es que sólo este tipo de número permite que al iterar varias veces el valor de z, f(z) pueda quedar entre unos valores determinados y también porque los complejos se grafican como puntos sobre un plano, donde las abscisas son la cantidad real y las ordenadas representan la parte imaginaria [Monroy 2002 pág. 226].

 

Este tipo de fractal se cataloga como de “tiempo de escape”, pues su gama de colores obedece a la cantidad de iteraciones que gasta cada punto en llegar a su valor final o a su infinito. La mecánica que se sigue para la generación del Conjunto de Mandelbrot consiste en graficar todos los valores de c para los cuales el valor de la función no escapa al infinito luego de iterarlo varias veces a partir de un valor inicial en z = 0. Gracias a la existencia de los computadores, se puede realizar una gran número de iteraciones y analizar el comportamiento de la función en un determinado punto c, se dice que si al pasar unas 512 iteraciones, z no ha alcanzado un valor mayor a 2, no lo alcanzará en iteraciones posteriores, así que se contabiliza el número de iteraciones que fueron necesarias para que el valor se estabilizara y dependiendo de ese valor se asigna un color al punto c dentro de la gama del  blanco y del negro, dependiendo de si llegó a su valor final muy rápido o si nunca llegó a estabilizarse. Los colores son fáciles de asignar mediante un programa de computador, pues en este ambiente, cada uno de ellos tiene asignado un número [].

 

La fórmula generadora de este conjunto es bien simple:

Su simpleza es engañosa. Nos sirve para deducir si un punto del plano complejo pertenece o no al conjunto de Mandelbrot. La evoluciones ocurren en el plano complejo centrado en el origen 0 + 0i y limitado por el círculo de radio 2. El algoritmo de pertenencia o no al conjunto se resuelve al iterar la fórmula para cada punto del plano. Si tras un número razonable de iteraciones (con 100 nos bastan) comprobamos que la órbita no escapa del círculo de radio 2, podemos asignar el punto inicial al conjunto de Mandelbrot. ¿Como se calculan las órbitas?. Para cada punto del plano complejo, c = a + bi, limitado por los valores +2 y -2 realizamos las siguientes series.

series que van definiendo puntos del plano que agrupados, constituyen la órbita o evolución iterativa del punto inicial. [Pepo Juega TEORIA DEL CAOS,¿ES PREDECIBLE EL TIEMPO? (y II) Fractales]

 

El Conjunto de Julia que también pertenece a este mismo tipo de fractales, utiliza la misma ecuación para su generación, pero variando los valores de z y manteniendo constante el valor de c, luego todos las semillas z para las cuales su valor no escapa al infinito luego de iterarlo, será considerada y dibujada dentro del conjunto de Julia; de esta manera, cada punto del conjunto de Mandelbrot tiene asociado un conjunto de Julia que a su vez guarda semejanza con los Conjuntos de Julia de los demás puntos, así que la cantidad de información de estos conjuntos tiende al infinito, además se dice que no todos los puntos de un fractal de Mandelbrot han sido explorados por alguna persona [].

 

Como presenta Monroy en el capítulo 5 de su texto, los fractales que se agrupan dentro del tipo “Sistema de Funciones Iteradas (FSI)”, son generados por unas sencillas líneas de código que se repiten dentro de un ciclo la cantidad de veces que se desee, de la cual depende la apariencia de la figura formada. Como componente fundamental se tiene un conjunto de valores organizados en matrices, que indican la rotación o traslación que se quiere hacer a cada uno de los puntos de una figura en cada iteración. Gracias a la transformación que sufre la figura paso a paso se obtienen dibujos que se acercan mucho a las formas reales de la naturaleza, es el caso de plantas de helecho, hojas y árboles en general, así como el sistema circulatorio de los humanos y la ramificación bronquial del sistema respiratorio. Es en esta clase de fractales que generalmente se pretende crear objetos diferentes, a partir de una instrucción elemental en Logo y unos coeficientes que no son fáciles de seleccionar y que por lo mismo, despiertan el interés de investigadores y aficionados. Es fácil conocer el resultado final del corrimiento de uno de estos programas, al darle determinada semilla como segmento inicial, pero no lo es el proceso inverso: pretender encontrar una semilla y una función que arrojen como resultado un cuerpo predeterminado deseado; algunos investigadores han avanzado en esta área y están utilizando la simplicidad de código de los fractales para guardar imágenes con sólo una semilla y unos arreglos matriciales, en el evento de ser requerida la imagen, simplemente se correrá el software correspondiente; la compresión que se obtiene por este método no tiene comparación y aunque lograr la compresión puede tardar un tiempo considerable, el proceso inverso es muy rápido [Zona Fractal 1998]; es esta técnica la utilizada por la enciclopedia Encarta, que como los usuarios pueden observar, presenta gráficas con buena calidad, las cuales no tardan en aparecer en la pantalla.

 

El fractal “de orbital caótico” más famoso es el Atractor de Lorenz (ver figura 5), cuyo sistema de ecuaciones diferenciales que lo generan es:

X’ = - sX  + sY

Y’ = X Z + jX - Y

Z’ = - X Y – b Z

 

Fuente: [].

donde, s y b tienen valores típicos predeterminados y j es un parámetro de control. Este fractal describe la cantidad de puntos a los que tiende un sistema caótico que a veces se acerca a un punto y luego a otro, y refleja el movimiento orbital del planeta tierra que inicialmente se creía que era una elipse perfecta. La explicación del manejo de estas ecuaciones puede ampliarla en Fractales en la red, capítulo 6.

 

Figura 5. Atractor de Lorenz

 

Fuente: Fractales. http://www.oni.escuelas.edu.ar/2002/buenos_aires/infinito/fractal.htm

 

También existen fractales que se generan en forma similar a un modelo de crecimiento biológico que se va reproduciendo en cada iteración, es el caso de los L-System, publicados por Lindenmayer en 1968 en el libro "Mathematical Models for Cellular Interaction in Development ", que en su apariencia puede confundirse con un FSI en la generación de plantas (ver figura 6). Aquí se parte de un alfabeto, unos axiomas y unas reglas gramaticales, que se aplican en cada iteración para indicar cómo debe reproducirse cada uno de los símbolos del alfabeto; un símbolo puede equivaler a una hoja y otro a una rama, por ejemplo y la gramática puede indicar que de una rama salga una hoja, una rama y otra hoja, por ejemplo; vale la pena indicar que el alfabeto contiene los símbolos “[“y ”]” cuyo significado es similar al de una subrutina en programación de computadores, así que luego de ejecutar las instrucciones que aparece dentro de los paréntesis rectangulares, volverá al punto de donde había partido. Puede ampliar esta información en  http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/index.htm Capítulo 2.

 

Figura 6. Planta generada como un L-System

Fuente: Frames. http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/index.htm Capítulo 2.

 

Estructuras como el plasma o las imágenes de difusión dependen en cierta medida del azar, por lo cual son únicas e irrepetibles, estas figuras se cuentan dentro de los fractales de tipo aleatorio (Ver figura 7), de los cuales se puede observar una amplia gama creada por los paquetes de software que se ofrecen para este fin. Uno de ellos es FRACTINT que desde hace muchos años hace parte del software libre al cual se accede en Internet.

 

Figura 7. Fractal aleatorio

 

Fuente: Fractals. http://www.fractals.8m.com/index.htm#go. Tipos de Fractales

 

APLICACIONES

 

En la Internet se encuentran diversas páginas que reseñan la aplicabilidad de los fractales y de la teoría del caos, pero son más escasas las que describen los resultados de las investigaciones y mucho menos la forma en que se desarrollaron.

 

En Fractals, el autor relaciona que los fractales se vienen aplicando en diversas áreas del saber como se muestra en la tabla 1.

 

Tabla 1. APLICACIONES DE LOS FRACTALES

 

 

Fuente: Fractals. http://www.fractals.8m.com/aplicaciones.htm#go

 

Adicionalmente, Rodrigo Pérez Plaza en sus páginas adiciona otras áreas como Fracturación y fragmentación, Meteorología, Análisis del clima, Oceanografía, Ecología, Fisiología, Geografía, Planificación urbana, Medicina, Minería, Astronomía, Finanzas, Genética, Física, Química, Metalurgia, Mecánica de fluidos, Pintura, Industria Textil y Arquitectura.

 

En otros sitios como Zona Fractal, Descubriendo los fractales y Fractales: Matemática de belleza infinita, se da énfasis a las aplicaciones artísticas del tema, en parte porque se pueden generar dibujos de la naturaleza como nubes y montañas, a partir de un Sistema de Funciones Iteradas (como se describió anteriormente), porque además se obtiene un número ilimitado de figuras con diferente colorido y forma que cautivan la atención del observador, porque permiten comprimir imágenes facilitando su almacenamiento y su manejo en la filmación de películas y porque se puede obtener música fractal, dando a cada uno de lo pixeles de un plano el valor de una nota musical y luego tocándolos en forma iterativa a medida que se va formando un fractal.

 

En la página Descubriendo los fractales, también se referencias aplicaciones en visualización de fenómenos biológicos, ecuaciones de población y modelamiento de caos, entre otros. Se encuentran muchísimos artículos en la intenet, donde se calcula por ejemplo la dimensión fractal de la piel o del interior de nuestro cuerpo, otros donde se estudia el flujo de paquetes en una red de datos,

 

Por último relaciono una investigación sobre "Mecanismo de intercambio de energía fractal relacionado con determinados fenómenos OVNI", donde se analizan cinco características del los OVNIs como son:

“1.- Haces sólidos de luz que aparentemente son emitidos desde algunos ovnis;

2.- Protuberancias y/o fuentes de luz aleatoriamente espaciadas que aparecen ubicadas en la superficie de algunos ovnis;

3.- La capacidad de algunos ovnis para cambiar de tamaño;

4.- Las formas rígidas o de asimetría cambiante de algunos ovnis;

5.- Los cambios de colores asociados con la velocidad y aceleración de los ovnis.” [Haines, 2000]

A partir de ellas se trata de encontrar una relación entre los fenómenos y el comportamiento de los fractales. El artículo fue publicado en la página de la Escuela Aeronaútica de Chile www.escuelaaeronautica.cl/confcefaa.htm, adaptado de la conferencia pronunciada por el Dr. Richard F. Haines en el Seminario OVNI de Fidae 2000 y fue consultado el 30 de Septiembre de 2004.

 

La inquietud que queda latente es que estos conceptos básicos de la geometría fractal y el caos, se deberían integrar en los currículos de matemáticas de las universidades de nuestro medio, para dar la oportunidad al estudiante de enfrentarse con una realidad que rompe los esquemas convencionales de cómo se observa el mundo y para motivarlo a modelar diferentes elementos o eventos que se presentan en la naturaleza y en la vida diaria. O bien, los docentes de áreas como álgebra lineal, teoría general de sistemas, ecuaciones diferenciales, inteligencia artificial, cálculo y matemática básica, entre otras, podrían promover en los estudiantes consultas de cómo se aplican algunos conceptos o temas de sus áreas en la geometría fractal. Así también los estudiantes de diversos programas académicos, pueden averiguar la aplicabilidad que han presentado los fractales en sus áreas de interés y promover trabajos de investigación o de aplicación que modelen situaciones reales mediante la geometría fractal, conducentes a ahondar en el estudio de las mismas.

BIBLIOGRAFÍA

 

[FER1990]           Fernández-Rañanda, Antonio. Orden y caos. Serie Libros de investigación y ciencia. Barcelona (España). Primera edición. 1990.

 

[GUE2004]          Guevara Eslava, Álvaro. Termodinámica para no iniciados. Fundación Universitaria de Boyacá. 2004. (artículo para publicación)

 

[GIZ1993]            Guzmán, Miguel de, et all. Estructuras fractales y sus aplicaciones. Editorial Labor S.A.  Barcelona (España) Primera Edición 1993.

 

[LEA1999]          Lea, Susa M., Burke Jhon Robert. Física: La naturaleza de las cosas. Internacional Thomson editores. México 1999.

 

[MON2002]        Monroy Olivares, César. Curvas Fractales. Serie Tecnologías Emergentes de Cómputo. Editorial Alfaomega. México. 2002.

 

Enciclopedia Libre Universal en Español

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J. L. Subias.

Area de Expresion Grafica en la Ingenieria

Universidad de Zaragoza, España.

2 de Noviembre de 1992.

 

http://www.meteored.com/ram/numero8/caos2.asp La RAM (Revista del Aficionado a la Meteorología) vuelve a ser gratuita en su totalidad. TEORIA DEL CAOS,
¿ES PREDECIBLE EL TIEMPO? (y II)
Fractales

Pepo Juega
Técnico de Sistemas, INM
[email protected]

 

 

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Universidad Nacional de Ingeniería
Lima - Perú

 

NATURALEZA FRACTAL DEL TRAFICO INTERNET

Ricardo Lent, Peter Yamakawa

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica, Sección de Post-Grado.

http://www.fractals.8m.com/index.htm#go Fractals. Última actualización 2000.

http://www.escuelaaeronautica.cl/confcefaa.htm DR. RICHARD F. HAINES "MECANISMO DE INTERCAMBIO DE ENERGÍA FRACTAL RELACIONADO CON DETERMINADOS FENOMENOS OVNI"

Adaptación de la conferencia pronunciada por el Dr. Richard F. Haines en el Seminario OVNI de Fidae 2000

http://www.arrakis.es/~sysifus/index.html

 

http://www.oni.escuelas.edu.ar/2002/buenos_aires/infinito/fractal.htmEstudiamos en el Colegio Newlands, de Adrogué, Buenos Aires, Argentina.

 

http://www.fractovia.org/es/what_es1.shtml Juan Luis Martínez. Naturaleza de los fractales. Última actualización 2002

http://forosmexico.com/cgi-bin/foros/ultimatebb.cgi?ubb=get_topic;f=24;t=000114;p=0 enviado 20 Septiembre, 2004 por Vainillo Cotorro a la sección “El mundo de los niños”

 http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/index.htm LUQUE Bartolo y AGEA Aida, Fractales en la red.

 

http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/ciencia/volumen1/ciencia2/41/htm/sec_20.html Jorge Flores Valdés, La gran ilusión III. Las ondas gravitacionales. 1997. México. Fondo de Cultura Económica.

 

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http://coco.ccu.uniovi.es/geofractal/capitulos/01/01-09.shtm Fractales: Matemática de belleza infinita. Rodrigo Pérez Plaza. 1998 ültima acutalización 2000

http://www.geocities.com/capecanaveral/cockpit/5889/index.html Fractales: Matemática de belleza infinita. Rodrigo Pérez Plaza & FRACTALIUS INGENIERÍA ültima acutalización 2000

http://www.dcc.uchile.cl/~rmeza/proyectos/Nubes_Fractales/Nube1/#a Informe Número 1
Descubriendo los fractales...
Proyecto de Computación Gráfica - CC52B
Francisca Muñoz - Rhodrigo Meza
Dpto. de Cs. de la Computación
FCFM - U. de Chile

 

http://www.biologia.edu.ar/basicos/notas/fractales.htm  Bacterias, rinocerontes y fractales

Por Ileana Lotersztain HIPERTEXTOS DEL ÁREA DE LA BIOLOGÍA Universidad Nacional del Nordeste Fac. de Agroindustrias, Saenz Peña, Chaco Fac. Ciencias Agrarias, Corrientes República Argentina ©1998-2005

 

 
BIOGRAFÍA

Carmen Constanza Uribe Sandoval, nacida en Tunja (Colombia), es Ingeniera de Sistemas egresada de la Universidad Industrial de Santander - UIS en 1992, año desde el cual labora en la Universidad de Boyacá – UniBoyacá, donde hoy se desempeña como Docente de Tiempo Completo de la Facultad de Ciencias e Ingeniería.

 

PALABRAS CLAVE

modelos matemáticos

sistema dinámico no lineal

sistemas caóticos

geometrías no euclideanas

fractal

dimensión fractal

tipos de fractales

aplicaciones de los fractales