EL OBJETO POLINOMIO
Concepto y Generalidades
En la
álgebra simbólica, Queen va un poco mas
allá que el simple manejo de polinomio, es posible también operar con
expresiones algebraicas tales como (a+c-d)*(2*b-a), o cualquier conjunto de monomios con coeficientes y
exponentes reales.
En las
operaciones de calculo, es posible derivar o integrar con relación a una
variable. Por lo que puedes obtener derivadas parciales e integraciones
parciales.
Los
polinomio son expresiones algebraicas con las cuales se realizan un conjunto de
operaciones con el objeto de manejar cantidades de una forma genera.
Queen
incluye algunas de estas operación. Y también otras características de calculo
tales como la integración y derivación.
Un
polinomio es una expresión del siguiente tipo:
Donde los n es un entero y a es real.
Operaciones algebraicas implementadas con los polinomios en x:
1.
Suma de
polinomios
2.
Resta de
polinomios
3.
Multiplicación
de polinomios
4.
División
de polinomios
5.
Potenciación
de un polinomio
6.
Obtención
de las raíces racionales reales o Factorizacion.
7.
Suma de un
escalar y un polinomio
8.
Resta de
un escalar por un polinomio
9.
División
de un polinomio por un escalar
10.
Multiplicación
de un escalar y un polinomio
Operaciones de calculo implementadas (las operaciones de integración y
derivación se hacen con relación a una
variable:
1.
Derivación
simple
2.
Derivación
múltiple (Derivada de orden superior)
3.
Integración
Simple
4.
Integración
Múltiple
El Polinomio.
En Queen un polinomio es representado por
un conjunto de datos y procedimientos en memoria, todo esto forma una entidad
denominada objeto (generalmente hablando), y específicamente un objeto tipo
polinomio.
Una vez se crea un polinomio, este permanece en
memoria hasta que es eliminado. Mientras exista, le puedes aplicar un conjunto
de operaciones o ser parte de una operación con otro polinomio.
Un polinomio tiene un conjunto de características que
puedes manipular, y un conjunto de datos que puedes extraer o cambiar.
Características y datos de un polinomio.
1.
Visibilidad:
Cuando se crea un polinomio, automáticamente se hace visible en el plano, las
coordenadas de inicio por defecto son –5 4. Vale decir que cuando se crea el
primer polinomio se ubica en esta coordenadas, con forme se van creando otros
polinomios, se van presentando una posición de y mas abajo, esto es, si se crea
el segundo polinomio, su coordenada seria –5 3. Y así, se sigue bajando hasta
que cambies la coordenada de x (5) (que es como decir nueva columna), al
cambiar la coordenada de x por defecto, automáticamente se cambia y=4. Puedes
cambiar las coordenadas de un polinomio que ya este presente. Pero dejemos el
detalle para cuando se vean las opciones. Por hoy basta con decir que se puede
también hacer invisible.
2.
El color y
tamaño del texto: Es posible cambiar el color de la texto, cada polinomio tiene
su propio color, pero todos comparten el mismo tamaño del texto.
3.
Texto:
Puedes extraer la representación textual de un polinomio, en un formato valido
para ser evaluado matemáticamente.
4.
Grado:
puedes extraer el grado de un polinomio con respecto a una variable.
5.
Coeficientes:
También extraer cualquiera de los
coeficientes de los monomios que lo componen.
6.
Cuando se
desarrolla una división de polinomios puedes extraer el proceso de la división.
7.
Extraer un
monomio: La representación textual de un monomio de los que integran el
polinomio.
8.
Averiguar
si el polinomio es cero.
Trabajando con polinomios
Operaciones algebraicas:
Conceptos:
Monomio: Es una
expresión algebraica que consta de un coeficiente real y un conjunto de
variables (que son factores entre si) con exponentes reales y enteros. En un
monomio solo interviene la operación multiplicación entre sus variables.
Ejemplo:
-
-4
Polinomio: Es una
expresión algebraica compuesta por cero o mas monomio.
Ejemplo:
+0
Son polinomios.
Para la creación de polinomios debes de escribir el
polinomio tal y como se escriben las expresiones que el JEP[1]
evalúa. Para hacer un recordatorio, se escriben algunas expresiones algebraicas
y su equivalente en el JEP.
-=.5*a*b*c*d^3
=a+a^2*b^3-4*d^2*e
=-4+x^2+y^3
Las observaciones y restricciones en la sintaxis de
una expresión algebraica para el comando polinomio son:
·
No es
posible usar fracciones o variables en el
coeficiente de un monomio, pero si puedes usar un numero decimal.
·
Puedes
usar exponentes fraccionarios y/o negativos excepto para efectuar divisiones,
factorizacion, derivar o integrar.
·
La
restricción para dividir polinomios es que sus exponentes deben ser enteros
positivos y que la variable del polinomio sea x.
·
Si vas a efectuar factorizacion (obtención de
raíces enteras ), los exponentes deben ser enteros positivos, los coeficientes
de los monomio enteros y que la variable del polinomio sea x.
·
Las
restricciones para la derivación son: exponentes enteros positivos.
·
Las
restricciones para la integración son: exponentes enteros positivos
·
Estas
restricciones son impuestas por los teoremas del álgebra o del calculo.
Comandos y Opciones de los polinomios.
Hay dos tipos de comandos
1.
Generales:
estos comandos van antecedidos por la palabra polynomial, ejecutan acciones sobre todos los polinomios y crean o eliminan
polinomios.
2.
Específicos:
Actúan en las operaciones sobre un polinomio especifico, es posible crear otro
polinomio con el resultado de una operación.
El comando general polynomial tiene las siguientes opciones:
·
create: Esta opción se utiliza para crear
un polinomio nuevo.
El siguiente comando crea el
polinomio p1=x-2 y el polinomio p2=x+3
polynomial create p1 x-2
polynomial create p2 x+3
·
Opción list: Presenta una ventana con la lista
de todos los polinomios que están en memoria.
Ejemplo:
polynomial list
·
Opción size: Establece el tamaño del texto de
los polinomios.
Ejemplo:
polynomial size 15
·
Opción x:
Establece el valor por defecto de la coordenada en x de los nuevos polinomios que se vallan creando.
·
Opción y: Establece el valor por defecto de
la coordenada en y de los nuevos polinomios que se vallan creando.
Ejemplo:
polynomial x 2
polynomial y 4
La forma de funcionar de las
posiciones por defecto es la siguiente:
La posición por defecto de son x=-5, y=4, esto significa que cuando se crea un polinomio tomas las
coordenadas (x,y) que están en ese momento por
defecto o sea (-5,4), luego disminuye en 1 el valor de y. Así que el siguiente polinomio que se cree, tomara las coordenadas (x,y)=(-5,3) así sucesiva e indefinidamente.
Ahora bien, como y va disminuyendo, llegara un
momento que no serán visibles los nuevos polinomios, entonces actualiza
únicamente la posición de x, esto cambiara automáticamente a y=4.
Si ajustas la posición de y, x permanece invariable.
Si deseas ajustar el espacio
vertical entre los polinomios, solamente amplia o reduce la escala del plano.
·
Opción delete: Elimina un polinomio de la memoria.
Ejemplo: Este ejemplo elimina el
polinomio p1 de la memoria.
polynomial delete p1
·
Opción cls: Elimina todos los polinomios de la
memoria.
Ejemplo:
polynomial cls
El comandos específicos:
Un comando especifico se usa
después de un nombre de polinomio valido (que exista en memoria y que sea de
tipo polinomio).
Cuando se ejecuta un comando
especifico, el primer operando toma el resultado (se modifica), a memos que se
especifique otra variable que tomara el resultado, en este caso los operándos
permanecen intactos, y se crea un nuevo polinomio con el resultado.
A continuación se presentan todas
las operaciones especificas de los polinomios.
Para estos ejemplos, creamos
primero los siguientes polinomios
·
p1=a+b-c
·
p2=3*a+2*b-c^2
·
p3=x^2-5*x+2
·
p4=x-1
·
p5=0
Creando los polinomios:
polynomial
create p1 a+b-c
polynomial create p2 3*a+2*b-c^2
polynomial create p3 x^2-5*x+2
polynomial create p4 x-1
polynomial create p5 0
Con este set de polinomios vamos a trabajar,
comenzaremos por las mas fáciles.
Primero que nada, si digitas el solo nombre de un
polinomio valido y ejecutas el comando, se muestra la representación textual
del polinomio en la barra de estado.
Ejemplo:
p1
·
Opción color: Establece el color del texto del polinomio
Ejemplo:
p1 color red
p2 color blue
p3 color green
·
Opción off: Hace invisible el polinomio, no se muestra en el plano.
Ejemplo:
p1 off
·
Opción on: Hace visible en el plano a el polinomio.
Ejemplo:
p1 on
·
Opción coor: Establece las coordenadas de localización del polinomio en
el plano. Estas siempre deben de estar en rectangular sin importar el modo del
plano (rectangular o polar).
Ejemplo:
p1 coor –3 3.5
p2 coor –3 2.5
p3 coor –3 1.5
p4 coor –3 0.5
·
Opción size: Establece el tamaño de los caracteres del texto que se
muestra en el plano, este tamaño afecta a todos los polinomios.
Ejemplo:
p1 size 30
·
Opción string: Almacena en una variable string la representación textual
del polinomio..
Ejemplo: si la variable no existe
la crea, Nota que cuando el nombre de una variable string se ejecuta sola, su
contenido se muestra en la barra de estado.
p1 string s
s
·
Opción iszero: Almacena en una variable numérica 1 (verdadero) si el
polinomio es cero y 0 (falso) si el polinomio no es cero. Un polinomio cero es
aquel que no tiene monomios (vació)
Ejemplo: si la variable no existe la crea.
p1 iszero val1
p5 iszero val2
strln Para p1(val1=~val1~) , Para p5(val2=~val2~)
Recuerda que cierto es representado
por un numero diferente de cero. Esta opción es útil en programación.
·
Opción grade: Retorna el grado del polinomio con respecto a una
variable. Si la variable no existe retorna cero. El valor del grado es
almacenado en la variable numérica que
se le pasa como parámetro. Si se especifica, se presenta en la barra de estado
el resultado.
Ejemplo: Este ejemplo obtiene el
grado del polinomio p2 con respecto a la variable c.
p2 grade c
·
Opción count : Retorna la cantidad de términos (monomios) en el polinomio
Ejemplo: Este ejemplo obtiene el
numero de términos de p2.
p2 count
·
Opción term: Retorna la un polinomio conteniendo solo el monomio que se
le indica con un índice (1 para el primer monomio). Si se no especifica el
nombre del nuevo polinomio, el monomio se muestra en la barra de estado.
Ejemplo: En este ejemplo se crea un
nuevo polinomio p6 con el primer termino del
polinomio p1
p2 term 1 p6
·
Opción name: Un polinomio tiene una nombre (lógico) con el cual se
presenta en el plano, por defecto es el mismo nombre de la variable cuando se crea. Este comando cambia el nombre lógico que se presenta en el plano. Esta operación no afecta el nombre de la
variable con la que referencias el objeto.
Esta opción te permite poner al
polinomio un nombre mas significativo,
manteniendo el nombre de la variable simple y estático.
Ejemplo: Este ejemplo crea el
polinomio p2 y luego le
cambia el nombre logico.
polynomial create p2 x^2+3*x-2
p2 name Ecuación Polinomio
// puedes seguir usando la variable para referirte al
objeto
p2 color green
Cuando un polinomio es listado, su
presentación es parecida a la siguiente:
Polinomio: p2=(Ecuación Polinomio)->x^2+3*x-2.El nombre de la variable es el
primero y el nombre lógico siempre que aparece entre paréntesis después del
nombre de la variable.
·
Opción count: Retorna el numero de términos del polinomio, si se le
especifica un variable, el valor se almacena en ella, de lo contrario se
presenta el mensaje en la barra de estado.
Ejemplo: En este ejemplo imprime en
la barra de estado el numero de monomios de p1.
p1 count
·
Opción coeficient: Retorna el coeficiente de un termino del polinomio.
El termino se especifica con un índice donde 1 es el primer termino. Si se le
especifica un variable, el valor se almacena en ella, de lo contrario se
presenta el mensaje en la barra de estado mostrando el valor del coeficiente.
Ejemplo: En este ejemplo imprime en
la barra de estado el coeficiente del primer termino de p1.
p1 coeficient 1
Operaciones con escalares
Un escalar es cualquier numero
real, puedes especificar variables y expresiones matemáticas.
Todas las operaciones desde aquí en
adelante, el resultado se coloca en el primer operando. Si se especifica una
tercera variable después del segundo operando, el resultado se asigna a la
tercera variable y los dos primeros operándoos quedan intactos.
·
Opción kpluss: Suma un escalar al polinomio.
Ejemplo:
p1 kpluss 10
·
Opción kless: Resta un escalar al polinomio.
Ejemplo:
p1 kless 5
·
Opción kmul: Multiplica por un escalar al polinomio.
Ejemplo:
p1 kmul 2
·
Opción kdiv: Divide por un escalar al polinomio.
Ejemplo:
p1 kdiv 2
·
Opción pow: Eleva a una potencia el al polinomio. La potencia debe ser entera, si
no lo es solo se toma la parte entera.
Ejemplo: Este ejemplo eleva al cubo a p4
p4 pow 3
·
Opción pow: Eleva a una potencia el al polinomio. La potencia debe ser entera, si
no lo es solo se toma la parte entera.
Ejemplo: Este ejemplo eleva al cubo a p4
p4 pow 3
Operaciones entre polinomios
Para que desarrolles estos ejemplos
vuelve a ejecutar la creación del set de polinomios. Cuando se te deformen (que
se vean raros de tantas operaciones) ejecuta otra vez la creación.
·
Opción pluss: Suma un segundo polinomio al primer polinomio.
Ejemplo:
p3 pluss p4
·
Opción less: Resta un
segundo polinomio al primer polinomio.
Ejemplo:
p4 less p4
·
Opción mul: Multiplica un segundo polinomio al primer polinomio.
Ejemplo: Si se multiplica un polinomio cero (vació) por otro el
resultado es cero(otro polinomio vació). En este ejemplo p1 se eleva al
cuadrado.
p1 mul p1
·
Opción quotient: Obtiene el polinomio cociente de una división de dos
polinomios.
Ejemplo: Este ejemplo divide p3 entre p4 y el cociente es asignado
a p6 que se crea automáticamente.
p3 quotient p4 p6
·
Opción reminder: Obtiene el polinomio residuo de una división de dos
polinomios.
Ejemplo: Este ejemplo divide p3 entre p4 y el residuo es asignado
a p6 que se crea automáticamente.
p3 reminder p4
p6
·
Opción process: Obtiene el proceso de una división de dos polinomios. Si
se le especifica una variable, el proceso textual se almacena en ella, si no se
especifica, el proceso se despliega en el área de salida.
Ejemplo: Este ejemplo divide p3 entre p4 y el proceso de la
división se almacena en la variable s, luego se imprime en el área de salida.
p3 process p4 s
strln ‘s’
Aquí se muestra el proceso y se hace una explicación. Se asume que p3 y p4 están como cuando se crearon.
El proceso es:
======= DIVITION PROCESS ==================
Operation (x^2-5x+2) / (x-1)
======================================
-x^2+x
x
-4x+2
======================================
4x-4
x-4
-2
======================================
======================================
(x-4)*(x-1)+(-2)
Aquí se separa la salida en líneas
para poder referirse a ellas
|
No |
Línea |
|
1 |
======= DIVITION PROCESS
================== |
|
2 |
Operation (x^2-5x+2) / (x-1) |
|
3 |
====================================== |
|
4 |
-x^2+x x |
|
5 |
-4x+2 |
|
6 |
====================================== |
|
7 |
4x-4 x-4 |
|
8 |
-2 |
|
9 |
====================================== |
|
10 |
====================================== |
|
11 |
(x-4)*(x-1)+(-2) |
Explicación;
1.
En la
línea 1 solo es el titulo del proceso
2.
En la
línea 2 se muestra la operación que se va a llevar a cabo. Que es la división
de (x^2-5x+2) / (x-1) donde el dividendo es (x^2-5x+2) y el divisor
es (x-1).
3.
Una raya
4.
En la
línea 4 se muestra: -x^2+x x, donde el x es el
cociente de dividir el primer termino de p3 entre el
primer termino de p4, y -x^2+x es el producto de x (el cociente) y p4
5.
En la
línea 5 se muestra -4x+2 que es la resta de p1 y -x^2+x.
6.
Una Raya
7.
Cuando se
obtiene la resta anterior, se vuelve a dividir el primer termino de esta entre
el primer termino de p1
y se obtienen el segundo cociente, en la línea 7 se muestran el primero
y el segundo que es x-4 , luego se multiplica el segundo cociente por p1 y resulta 4x-4, que es la
parte izquierda de la línea 7.
8.
En otras
palabras es una división normal de polinomios la que se hace. Hasta que se
alcanza un residuo que no es divisible por el divisor.
Si sientes que esta un poco
confuso, realiza la división a mano, y compara los datos.
En la línea 11 se muestra el
resultado en formato de factores y residuo.
(x-4)*(x-1)+(-2)
·
Opción roots: Obtiene las raíces racionales reales del polinomio. Si le
especificas una variable al final, el resultado es asignado a esa variable como
string, si no, se presentan las raíces (si las hay) en la barra de estado.
Ejemplo: Ten presente que para poder ejecutar esta opción aplican
las restricciones listadas al inicio de esta sección.
Para pode ver como funciona vamos a
crear un polinomio especial.
Ejecuta los siguientes comandos:
polynomial create A x-3
polynomial create B x+4
polynomial create C x-1
A mul B D
D mul C
//hasta aqui D tiene A*B*C, sus raices deben ser x=3,
x=-4 y x=1
// por lo tanto vemos esto en la barra de estado
D roots
Operaciones de calculo
Estas operaciones son la derivación
y la integración. Para ejecutarlas, aplican las restricciones al respecto
mostradas al inicio de esta sección.
Derivación: En la derivación se considera el polinomio como integrado
por múltiples variables, así que cuando se deriva se debe especificar la
variable en base a la cual se esta derivando, Esto te permite encontrar
derivadas parciales. Puedes realizar en un solo paso una derivación de nivel n.
Opciones de la Derivación.
·
Opción derive: Deriva al polinomio con respecto a una variable.
Ejemplo: Este comando deriva a p3 con respecto a x
p3 derive x
Ejemplo: Este
comando deriva a p2 con respecto a c
p2 derive cx
·
Opción nderive: Derivada de orden superior al polinomio, con respecto a
una variable..
Ejemplo: Este encuentra la segunda derivada
de A
polynomial create A 2*x^3-3*x^2+5*x-2
A nderive x 2
B
Opciones de Integración.
·
Opción integrate: Integra el polinomio con respecto a una variable .
Ejemplo: Este comando integra p3 con
respecto a x, cuando se
integra, se agrega una constante indefinida en cada integración, estas
constantes son representadas con letras mayúsculas que inician en A.
p3 integrate x
Ejemplo: Este
comando integra a p2 con respecto a c
p2 integrate c
·
Opción nintegrate:: Integra un numero de veces sucesivas al polinomio
con respecto a una variable.
·
Ejemplo: Este ejemplo
integra 3 veces a A y le asigna el resultado a B
polynomial create A 2*x-3
A nintegrate x
3 B
Por el momento eso es todo con
respecto a la álgebra simbólica, ya veremos que nos depara la siguiente versión
de Queen Magic.