UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

ÁLGEBRA LINEAL

PLAN 1994

SEMESTRE 2007-1

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS BÁSICAS

Número de Créditos: 06

Carrera: ICI, ICo, IEe, IGf, IGl, IiN, IMe, IMm, IPe, ITg.

Duración del curso: Semanas: 16

Horas: 48 Semestre: 2
Teoría: 3.0 Obligatoria: X
Prácticas: 0.0

I. ESPACIOS VECTORIALES

ANTECEDENTES:

Álgebra
Geometría Analítica.
Cálculo I.

OBJETIVO:

El alumno identificará un espacio vectorial y analizará sus características fundamentales.

CONTENIDO:

1.1 Definición de espacio vectorial. Propiedades elementales de los espacios vectoriales.

1.2 Definición de subespacio. Condición necesaria y suficiente para que un subconjunto sea un subespacio.

1.3 Combinación lineal. Dependencia lineal. Conjunto generador de un espacio vectorial. Base y dimensión de un espacio vectorial.
Isomorfismo entre espacios vectoriales. Coordenadas de un vector respecto a una base ordenada. Matriz de transición.

1.4 Espacio renglón, espacio columna y rango de una matriz. El conjunto solución de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales como ejemplo de espacio vectorial. Estructura del conjunto solución de un sistema no homogéneo. Definición de variedad lineal y propiedades elementales.

1.5 El espacio vectorial de las funciones reales de variable real. Subespacios de dimensión finita. La dependencia lineal de funciones. Criterio del Wronskiano.

II. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO.

ANTECEDENTES:

Álgebra
Geometría Analítica.

OBJETIVO:

El alumno determinará si una función es un producto interno y analizará sus características fundamentales a fin de aplicarlo a la solución de problemas de espacios vectoriales.

CONTENIDO:

II.1 Definición de producto interno. Propiedades elementales, desigualdad de Cauchy-Schwarz.

II.2 Definición de norma de un vector, propiedades de la norma, vectores unitarios. Definición de distancia entre dos vectores y sus propiedades. Definición de ángulo entre dos vectores, vectores ortogonales, teorema de Pitágoras.

II.3 Conjuntos ortogonales y ortonormales. Independencia de un conjunto ortogonal de vectores no nulos. Coordenadas de un vector respecto a una base ortonormal. Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

II.4 Complementos ortogonales. Proyección de un vector sobre un subespacio. El teorema de proyección.

III. TRANSFORMACIONES LINEALES.

Álgebra.
Geometría Analítica.
Cálculo I.

OBJETIVO:

El alumno distinguirá las transformaciones lineales de las no lineales y formulará la matriz que describe el efecto de una transformación linea; analizará sus propiedades a fin de utilizarlas para resolver problemas que las involucren.

CONTENIDO:

III.1 Definición de transformación. Dominio, codominio, núcleo y recorrido de una transformación.

III.2 Definición de transformación lineal. El recorrido y el núcleo como subespacios vectoriales. Caso de dimensión finita: relación entre las dimensiones del dominio, el recorrido y el núcleo de una transformación lineal.

III.3 Matriz asociada a una transformación lineal con dominio y codominio de dimensión finita.

Álgebra de las transformaciones lineales: definición y propiedades de la adición, la multiplicación por un escalar, y la composición de transformaciones. La inversa de una transformación lineal.

III.4 Definición de operador lineal. Definición de valores y vectores característicos. Caso de dimensión finita: polinomio característico, obtención de valores y vectores característicos.

III.5 Diagonalización de un operador lineal: condición necesaria y suficiente para la existencia de una representación diagonal. Diagonalización de una matriz: matrices similares y sus propiedades, condición necesaria y suficiente para la existencia de una matriz diagonal similar.

III.6 Polinomios de matrices, teorema de Cayley-Hamilton.

ANTECEDENTES:

Asignatura: Álgebra.
Clave: 1100

CONSECUENTES:

Asignatura: Ecuaciones Diferenciales.
Clave: 1306

BIBLIOGRAFÍA

TEXTOS BÁSICOS