UNIVERSIDAD YACAMBU
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
Profesor:
Alumno: Aldo Méndez
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
CONCEPTOS BÁSICOS
Contenido
2. Distribución de Frecuencias. Conceptos. Formulas. Ejemplos.
3. Distribución de Frecuencias Agrupadas. Conceptos. Formulas. Ejemplos.
4. Medidas de Posición Central. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
5. Medidas de Posición no Central. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
6. Medidas de Dispersión. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
7. Medidas de Forma: grado de concentración. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
10. Distribuciones Bidimensionales. Conceptos. Representación de los Datos. Formulas. Ejemplos.
11. Distribuciones Marginales. Conceptos. Tipos. Formulas. Ejemplos.
12. Conclusiones.
13. Bibliografía
14. Infografía
1. Introducción a la estadística descriptiva. Conceptos. Tipos de variables. Clasificación de variables.
Estadística: es un conjunto de teorías y métodos que han sido desarrollados para tratar la recolección, el análisis y la descripción de datos muestrales con el fin de extraer conclusiones útiles. Su función primordial es apoyar al investigador al decidir sobre el parámetro de la población de que procede la muestra.
La estadística moderna abarca la estadística descriptiva y la inferencia estadística; a esta última se ha consagrado el mayor interés en los últimos decenios.
La estadística descriptiva: en sus primeros tiempos de su desarrollo, comprendía poco mas que la recopilación y la presentación de datos. Y todavía hoy la estadística comprende el tratamiento y el análisis de datos que tienen por objeto resumir y describir los hechos que han proporcionado la información acopiada. Por lo general toman la forma de tablas, gráficos, cuadros e índices. Y por cuanto el fin primordial de esta clase de tratamiento de los datos es describir las características principales de los datos, reunidos, se llama generalmente estadística descriptiva.
Tipos de variables
Variables discretas y continuas.
Una variable es un símbolo, tal como X, Y, H, x, B, que puede tomar un valor cualquiera de un conjunto determinado de ellos, llamado dominio de la variable. Si la variable puede tomar solamente un valor se llama variable continua, si no es así, se llama variable discreta.
Ejemplo 1: En una familia el número N de hijos puede tomar cualquiera de los valores 0, 1, 2, 3,..., pero no puede ser 2,5 o 3,842; es pues, una variable discreta.
Ejemplo 2: La altura H de un individuo puede ser 62 pulgadas, 63,8 pulgadas o 65,8341 pulgadas, dependiendo de la exactitud de medida; es una variable continua.
Clasificación de variables
De acuerdo a la característica que se desea estudiar, a los valores que toma la variable, se tiene la siguiente clasificación:
Categóricas: Ordinales y Nominales
Numéricas: Discretas y Continuas
Variables categóricas son aquellas cuyos valores son del tipo categórico, es decir, que indican categorías o son etiquetas alfanuméricas o "nombres". A su vez se clasifican en:
Ø Variables categóricas nominales: son las variables categóricas que, además de que sus posibles valores son mutuamente excluyentes entre sí, no tienen alguna forma "natural" de ordenación. Por ejemplo, cuando sus posibles valore son: "sí" y "no". A este tipo de variable le corresponde las escalas de medición nominal.
Ø Variables categóricas ordinales: son las variables categóricas que tienen algún orden. Por ejemplo, cuando sus posibles valores son: "nunca sucede", "la mitad de las veces" y "siempre sucede". A este tipo de variable le corresponde las escalas de medición ordinal.
Variables numéricas toman valores numéricas. A estas variables le corresponde las escalas de medición de intervalo, y a su vez se clasifican en:
Ø Variables numéricas discretas: son las variables que únicamente toman valores enteros o numéricamente fijos. Por ejemplo: las ocasiones en que ocurre un suceso, la cantidad de pesos que se gastan en una semana, los barriles de petróleo producidos por un determinado país, los puntos con que cierra diariamente una bolsa de valores, etcétera.
Ø Variables numéricas continuas: llamadas también variables de medición, son aquellas que toman cualquier valor numérico, ya sea entero, fraccionario o, incluso, irracional. Este tipo de variable se obtiene principalmente, como dice su nombre alterno, a través de mediciones y está sujeto a la precisión de los instrumentos de medición. Por ejemplo: el tiempo en que un corredor tarda en recorrer una cierta distancia (depende de la precisión del cronómetro usado), la estatura de los alumnos de una clase (depende de la precisión del instrumento para medir longitudes), la cantidad exacta que despacha una bomba de combustible (para efectos de regulación y fiscalización, y depende de la precisión del instrumento para medir volúmenes), etcétera.
2. Distribución de Frecuencias. Conceptos. Formulas. Ejemplos.
Distribución de frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia.
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Valor) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
X1 |
n1 |
n1 |
f1 = n1 / n |
f1 |
|
X2 |
n2 |
n1 + n2 |
f2 = n2 / n |
f1 + f2 |
|
... |
... |
... |
... |
... |
|
Xn-1 |
nn-1 |
n1 + n2 +..+ nn-1 |
fn-1 = nn-1 / n |
f1 + f2 +..+fn-1 |
|
Xn |
nn |
∑n
|
fn = nn / n |
∑ f |
|
|
|
|
|
|
|
Siendo X los distintos valores que puede tomar la variable. |
||||
|
Siendo n el número de veces que se repite cada valor. |
||||
|
Siendo f el porcentaje que la repetición de cada valor supone sobre el total |
||||
Ejemplo:
Medimos la altura de los niños de una clase y obtenemos los siguientes resultados (cm):
|
Alumno |
Estatura |
Alumno |
Estatura |
Alumno |
Estatura |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
Alumno 1 |
1,25 |
Alumno 11 |
1,23 |
Alumno 21 |
1,21 |
|
Alumno 2 |
1,28 |
Alumno 12 |
1,26 |
Alumno 22 |
1,29 |
|
Alumno 3 |
1,27 |
Alumno 13 |
1,30 |
Alumno 23 |
1,26 |
|
Alumno 4 |
1,21 |
Alumno 14 |
1,21 |
Alumno 24 |
1,22 |
|
Alumno 5 |
1,22 |
Alumno 15 |
1,28 |
Alumno 25 |
1,28 |
|
Alumno 6 |
1,29 |
Alumno 16 |
1,30 |
Alumno 26 |
1,27 |
|
Alumno 7 |
1,30 |
Alumno 17 |
1,22 |
Alumno 27 |
1,26 |
|
Alumno 8 |
1,24 |
Alumno 18 |
1,25 |
Alumno 28 |
1,23 |
|
Alumno 9 |
1,27 |
Alumno 19 |
1,20 |
Alumno 29 |
1,22 |
|
Alumno 10 |
1,29 |
Alumno 20 |
1,28 |
Alumno 30 |
1,21 |
Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente tabla de frecuencia
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Valor) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
1,20 |
1 |
1 |
3,3% |
3,3% |
|
1,21 |
4 |
5 |
13,3% |
16,6% |
|
1,22 |
4 |
9 |
13,3% |
30,0% |
|
1,23 |
2 |
11 |
6,6% |
36,6% |
|
1,24 |
1 |
12 |
3,3% |
40,0% |
|
1,25 |
2 |
14 |
6,6% |
46,6% |
|
1,26 |
3 |
17 |
10,0% |
56,6% |
|
1,27 |
3 |
20 |
10,0% |
66,6% |
|
1,28 |
4 |
24 |
13,3% |
80,0% |
|
1,29 |
3 |
27 |
10,0% |
90,0% |
|
1,30 |
3 |
30 |
10,0% |
100,0% |
3. Distribución de Frecuencias Agrupadas. Conceptos. Formulas. Ejemplos.
Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene agruparlos por intervalos, ya que de otra manera obtendríamos una tabla de frecuencia muy extensa que aportaría muy poco valor a efectos de síntesis.
Supongamos que medimos la estatura de los habitantes de una vivienda y obtenemos los siguientes resultados (cm):
|
Habitante |
Estatura |
Habitante |
Estatura |
Habitante |
Estatura |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
Habitante 1 |
1,15 |
Habitante 11 |
1,53 |
Habitante 21 |
1,21 |
|
Habitante 2 |
1,48 |
Habitante 12 |
1,16 |
Habitante 22 |
1,59 |
|
Habitante 3 |
1,57 |
Habitante 13 |
1,60 |
Habitante 23 |
1,86 |
|
Habitante 4 |
1,71 |
Habitante 14 |
1,81 |
Habitante 24 |
1,52 |
|
Habitante 5 |
1,92 |
Habitante 15 |
1,98 |
Habitante 25 |
1,48 |
|
Habitante 6 |
1,39 |
Habitante 16 |
1,20 |
Habitante 26 |
1,37 |
|
Habitante 7 |
1,40 |
Habitante 17 |
1,42 |
Habitante 27 |
1,16 |
|
Habitante 8 |
1,64 |
Habitante 18 |
1,45 |
Habitante 28 |
1,73 |
|
Habitante 9 |
1,77 |
Habitante 19 |
1,20 |
Habitante 29 |
1,62 |
|
Habitante 10 |
1,49 |
Habitante 20 |
1,98 |
Habitante 30 |
1,01 |
Si presentáramos esta información en una tabla de frecuencia obtendríamos una tabla de 30 líneas (una para cada valor), cada uno de ellos con una frecuencia absoluta de 1 y con una frecuencia relativa del 3,3%. Esta tabla nos aportaría escasa información
En lugar de ello, preferimos agrupar los datos por intervalos, con lo que la información queda más
resumida (se pierde, por tanto, algo de información), pero es más manejable e informativa:
|
Estatura |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
Cm |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
1,01 - 1,10 |
1 |
1 |
3,3% |
3,3% |
|
1,11 - 1,20 |
3 |
4 |
10,0% |
13,3% |
|
1,21 - 1,30 |
3 |
7 |
10,0% |
23,3% |
|
1,31 - 1,40 |
2 |
9 |
6,6% |
30,0% |
|
1,41 - 1,50 |
6 |
15 |
20,0% |
50,0% |
|
1,51 - 1,60 |
4 |
19 |
13,3% |
63,3% |
|
1,61 - 1,70 |
3 |
22 |
10,0% |
73,3% |
|
1,71 - 1,80 |
3 |
25 |
10,0% |
83,3% |
|
1,81 - 1,90 |
2 |
27 |
6,6% |
90,0% |
|
1,91 - 2,00 |
3 |
30 |
10,0% |
100,0% |
El número de tramos en los que se agrupa la información es una decisión que debe tomar el analista: la regla es que mientras más tramos se utilicen menos información se pierde, pero puede que menos representativa e informativa sea la tabla.
4. Medidas de Posición Central. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos.
Las medidas de posición son de dos tipos:
Medidas de posición central: informan sobre los valores medios de la serie de datos.
Medidas de posición no centrales: informan de como se distribuye el resto de los valores de la serie.
Medidas de posición central
Las principales medidas de posición central son las siguientes:
Media: es el valor medio ponderado de la serie de datos. Se pueden calcular diversos tipos de media, siendo las más utilizadas:
a) Media aritmética: se calcula multiplicando cada valor por el número de veces que se repite. La suma de todos estos productos se divide por el total de datos de la muestra:
|
Xm = |
(X1 * n1) + (X2 * n2) + (X3 * n3) + .....+ (Xn-1 * nn-1) + (Xn * nn) |
|
--------------------------------------------------------------------------------------- |
|
|
n |
b) Media geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).
X= (X1n1 * X2n2 * X3n3 *…* Xnnn ) (1/n)
Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica.
La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicativo sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada.
Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información.
Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.
Mediana: La mediana de un conjunto de números ordenados en magnitud es o el valor central o la media de los dos valores centrales. Es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra (un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores).
No presentan el problema de estar influido por los valores extremos, pero en cambio no utiliza en su cálculo toda la información de la serie de datos (no pondera cada valor por el número de veces que se ha repetido).
Moda: La moda de un conjunto de números es el valor que ocurre con mayor frecuencia; es decir, es el valor que más se repite en la muestra. La moda puede no existir, e incluso no ser única en caso de existir.
Ejemplo:
Vamos a utilizar la tabla de distribución de frecuencias con los datos de la estatura de los alumnos.
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Valor) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
1,20 |
1 |
1 |
3,3% |
3,3% |
|
1,21 |
4 |
5 |
13,3% |
16,6% |
|
1,22 |
4 |
9 |
13,3% |
30,0% |
|
1,23 |
2 |
11 |
6,6% |
36,6% |
|
1,24 |
1 |
12 |
3,3% |
40,0% |
|
1,25 |
2 |
14 |
6,6% |
46,6% |
|
1,26 |
3 |
17 |
10,0% |
56,6% |
|
1,27 |
3 |
20 |
10,0% |
66,6% |
|
1,28 |
4 |
24 |
13,3% |
80,0% |
|
1,29 |
3 |
27 |
10,0% |
90,0% |
|
1,30 |
3 |
30 |
10,0% |
100,0% |
Vamos a calcular los valores de las distintas posiciones centrales:
Media aritmética:
|
(1,20*1) + (1,21*4) + (1,22 * 4) + (1,23 * 2) + ......... + (1,29 * 3) + (1,30 * 3) |
|
|
Xm= |
-------------------------------------------------------------------------------------------------- |
|
|
30 |
Luego:
|
Xm = |
1,253 |
Por lo tanto, la estatura media de este grupo de alumnos es de 1,253 cm.
Media geométrica:
|
X = |
((1,20^ 1) * (1,21^4) * (1,22^ 4) * .....* (1,29^3)* (1,30^3)) ^ (1/30) |
Luego:
|
Xm = |
1,253 |
En este ejemplo la media aritmética y la media geométrica coinciden, pero no tiene siempre por qué ser así.
Mediana:
La mediana de esta muestra es 1,26 cm, ya que por debajo está el 50% de los valores y por arriba el otro 50%. Esto se puede ver al analizar la columna de frecuencias relativas acumuladas.
En este ejemplo, como el valor 1,26 se repite en 3 ocasiones, la media se situaría exactamente entre el primer y el segundo valor de este grupo, ya que entre estos dos valores se encuentra la división entre el 50% inferior y el 50% superior.
Moda:
Hay 3 valores que se repiten en 4 ocasiones: el 1,21, el 1,22 y el 1,28, por lo tanto esta seria cuenta con 3 modas.
5. Medidas de Posición no Central. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
Medidas de posición no centrales
Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:
Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.
Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados.
Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.
Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos. Los deciles y centiles se calculan de igual manera, aunque haría falta distribuciones con mayor número de datos.
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Valor) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
1,20 |
1 |
1 |
3,3% |
3,3% |
|
1,21 |
4 |
5 |
13,3% |
16,6% |
|
1,22 |
4 |
9 |
13,3% |
30,0% |
|
1,23 |
2 |
11 |
6,6% |
36,6% |
|
1,24 |
1 |
12 |
3,3% |
40,0% |
|
1,25 |
2 |
14 |
6,6% |
46,6% |
|
1,26 |
3 |
17 |
10,0% |
56,6% |
|
1,27 |
3 |
20 |
10,0% |
66,6% |
|
1,28 |
4 |
24 |
13,3% |
80,0% |
|
1,29 |
3 |
27 |
10,0% |
90,0% |
|
1,30 |
3 |
30 |
10,0% |
100,0% |
1º cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se situa el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa acumulada).
2º cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1º cuartil se situa otro 25% de la frecuencia.
3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. Además, por encima suya queda el restante 25% de la frecuencia.
Atención: cuando un cuartil recae en un valor que se ha repetido más de una vez (como ocurre en el ejemplo en los tres cuartiles) la medida de posición no central sería realmente una de las repeticiones.
6. Medidas de Dispersión. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
Las medidas de dispersión estudia la distribución de los valores en serie, se analizan los valores que se encuentran más o menos concentrados y los valores que se encuentran dispersos.
Las medidas de dispersión más utilizadas son:
Rango:
Mide la amplitud de los valores de la muestra y se calcula por diferencia entre el valor más elevado y el valor más bajo.
Varianza:
Mide la distancia existente entre los valores de la serie y la media. Se calcula como sumatoria de las diferencias al cuadrado entre cada valor y la media, multiplicadas por el número de veces que se ha repetido cada valor. El sumatoria obtenido se divide por el tamaño de la muestra.
La varianza siempre será mayor que cero. Mientras más se aproxima a cero, más concentrados están los valores de la serie alrededor de la media. Por el contrario, mientras mayor sea la varianza, más dispersos están.
Desviación típica:
Se calcula como raíz cuadrada de la varianza.
Coeficiente de variación de Pearson:
Se calcula como cociente entre la desviación típica y la media.
Ejemplo: vamos a utilizar la serie de datos de la estatura de los alumnos de una clase y vamos a calcular sus medidas de dispersión.
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Valor) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
1,20 |
1 |
1 |
3,3% |
3,3% |
|
1,21 |
4 |
5 |
13,3% |
16,6% |
|
1,22 |
4 |
9 |
13,3% |
30,0% |
|
1,23 |
2 |
11 |
6,6% |
36,6% |
|
1,24 |
1 |
12 |
3,3% |
40,0% |
|
1,25 |
2 |
14 |
6,6% |
46,6% |
|
1,26 |
3 |
17 |
10,0% |
56,6% |
|
1,27 |
3 |
20 |
10,0% |
66,6% |
|
1,28 |
4 |
24 |
13,3% |
80,0% |
|
1,29 |
3 |
27 |
10,0% |
90,0% |
|
1,30 |
3 |
30 |
10,0% |
100,0% |
Rango: Diferencia entre el mayor valor de la muestra (1,30) y el menor valor (1,20). Luego el rango de esta muestra es 10 cm.
Varianza: recordemos que la media de esta muestra es 1,253. Luego, aplicamos la fórmula:
Por lo tanto, la varianza es 0,0010
Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza.
Luego:
Coeficiente de variación de Pearson: se calcula como cociente entre la desviación típica y la media de la muestra.
|
Cv = 0,0320 / 1,253 |
Luego,
|
Cv = 0,0255 |
El interés del coeficiente de variación es que al ser un porcentaje permite comparar el nivel de dispersión de dos muestras. Esto no ocurre con la desviación típica, ya que viene expresada en las mismas unidas que los datos de la serie.
7. Medidas de Forma: grado de concentración. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Ejemplos.
Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la muestra. En concreto, podemos estudiar las siguientes características de la curva:
a) Concentración: mide si los valores de la variable están más o menos uniformemente repartidos a lo largo de la muestra.
b) Asimetría: mide si la curva tiene una forma simétrica, es decir, si respecto al centro de la misma (centro de simetría) los segmentos de curva que quedan a derecha e izquierda son similares.
c) Curtosis: mide si los valores de la distribución están más o menos concentrados alrededor de los valores medios de la muestra.
a) Concentración
Para medir el nivel de concentración de una distribución de frecuencia se pueden utilizar distintos indicadores, entre ellos el Índice de Gini.
Este índice se calcula aplicando la siguiente fórmula:
|
IG = |
S (pi - qi) |
|
---------------------------- |
|
|
S pi |
|
|
(i toma valores entre 1 y n-1) |
|
En donde pi mide el porcentaje de individuos de la muestra que presentan un valor igual o inferior al de xi.
|
pi = |
n1 + n2 + n3 + ... + ni |
|
|
------------------------------- |
x 100 |
|
|
n |
|
Mientras que qi se calcula aplicando la siguiente fórmula:
|
qi = |
(X1*n1) + (X2*n2) + ... + (Xi*ni) |
|
|
----------------------------------------------- |
x 100 |
|
|
(X1*n1) + (X2*n2) + ... + (Xn*nn) |
|
El Indice Gini (IG) puede tomar valores entre 0 y 1:
IG = 0 : concentración mínima. La muestra está uniformemente repartida a lo largo de todo su rango.
IG = 1 : concentración máxima. Un sólo valor de la muestra acumula el 100% de los resultados.
Ejemplo: vamos a calcular el Indice Gini de una serie de datos con los sueldos de los empleados de una empresa (millones pesetas).
|
Sueldos |
Empleados (Frecuencias absolutas) |
Frecuencias relativas |
||
|
(Millones) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5 |
10 |
10 |
25,0% |
25,0% |
|
4,5 |
12 |
22 |
30,0% |
55,0% |
|
6,0 |
8 |
30 |
20,0% |
75,0% |
|
8,0 |
5 |
35 |
12,5% |
87,5% |
|
10,0 |
3 |
38 |
7,5% |
95,0% |
|
15,0 |
1 |
39 |
2,5% |
97,5% |
|
20,0 |
1 |
40 |
2,5% |
100,0% |
Calculamos los valores que necesitamos para aplicar la fórmula del Indice de Gini:
|
Xi |
ni |
S ni |
pi |
Xi * ni |
S Xi * ni |
qi |
pi - qi |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5 |
10 |
10 |
25,0 |
35,0 |
35,0 |
13,6 |
10,83 |
|
4,5 |
12 |
22 |
55,0 |
54,0 |
89,0 |
34,6 |
18,97 |
|
6,0 |
8 |
30 |
75,0 |
48,0 |
147,0 |
57,2 |
19,53 |
|
8,0 |
5 |
35 |
87,5 |
40,0 |
187,0 |
72,8 |
15,84 |
|
10, 0 |
3 |
38 |
95,0 |
30,0 |
217,0 |
84,4 |
11,19 |
|
15,0 |
1 |
39 |
97,5 |
15,0 |
232,0 |
90,3 |
7,62 |
|
25,0 |
1 |
40 |
100,0 |
25,0 |
257,0 |
100,0 |
0 |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
S pi (entre 1 y n-1) = |
435,0 |
x |
S (pi - qi) (entre 1 y n-1 ) = |
83,99 |
|||
Por lo tanto:
|
IG = 83,99 / 435,0 = 0,19 |
Un Indice Gini de 0,19 indica que la muestra está bastante uniformemente repartida, es decir, su nivel de concentración no es excesivamente alto.
Ejemplo: Ahora vamos a analizar nuevamente la muestra anterior, pero considerando que hay más personal de la empresa que cobra el sueldo máximo, lo que conlleva mayor concentración de renta en unas pocas personas.
|
Sueldos |
Empleados (Frecuencias absolutas) |
Frecuencias relativas |
||
|
(Millones) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5 |
10 |
10 |
25,0% |
25,0% |
|
4,5 |
10 |
20 |
25,0% |
50,0% |
|
6,0 |
8 |
28 |
20,0% |
70,0% |
|
8,0 |
5 |
33 |
12,5% |
82,5% |
|
10,0 |
3 |
36 |
7,5% |
90,0% |
|
15,0 |
0 |
36 |
0,0% |
90,0% |
|
20,0 |
4 |
40 |
10,0% |
100,0% |
En este caso obtendríamos los siguientes datos:
|
Xi |
ni |
S ni |
pi |
Xi * ni |
S Xi * ni |
qi |
pi - qi |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
3,5 |
10 |
10 |
25,0 |
35 |
35 |
11,7 |
13,26 |
|
4,5 |
10 |
20 |
50,0 |
45 |
80 |
26,8 |
23,15 |
|
6,0 |
8 |
28 |
70,0 |
48 |
128 |
43,0 |
27,05 |
|
8,0 |
5 |
33 |
82,5 |
40 |
168 |
56,4 |
26,12 |
|
10,0 |
3 |
36 |
90,0 |
30 |
198 |
66,4 |
23,56 |
|
15,0 |
0 |
36 |
90,0 |
0 |
198 |
66,4 |
23,56 |
|
25,0 |
4 |
40 |
100,0 |
100 |
298 |
100,0 |
0,00 |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
S pi (entre 1 y n-1) = |
407,5 |
x |
S (pi - qi) (entre 1 y n-1 ) = |
136,69 |
|||
El Índice Gini sería:
|
IG = 136,69 / 407,5 = 0,34 |
El Índice Gini se ha elevado considerablemente, reflejando la mayor concentración de rentas que hemos comentado.
8. Medidas de Forma: coeficiente de asimetría. Conceptos. Tipos. Formulas. Principales medidas. Curvas. Ejemplos.
Medidas de Forma
Además de identificar la ubicación y dispersión que tienen los datos, es importante determinar su forma, como un complemento de su descripción.
Coeficiente de Asimetría.
Para las distribuciones de probabilidad que representan un solo pico, µ3 < 0, se dice que la distribución es asimétrica negativamente; µ3 > 0, la distribución es asimétrica positivamente; y si µ3 = 0, la distribución recibe el nombre de simétrica.
|
|
|
|
Sin embargo, a menos que la distribución presente un solo pico, el conocimiento de µ3 no es suficiente para tener una idea de la forma de la distribución. Aun así, el tercer momento central pude dar resultados erróneos, dado que depende de las unidades en las que se mide la variable aleatoria X.
Además de la posición y la dispersión de un conjunto de datos, es común usar medidas de forma en la descripción. Una de estas medidas es una estadística que busca expresar la simetría ( o falta de ella ) que manifiestan los datos.
Esta estadística se llama coeficente de asimetría y está definido por la expresión:
Se puede ver que la diferencia de una observación respecto del promedio de los datos, se encuentra elevada al cubo. Esto tiene como resultado que, observaciones alejadas del promedio, aporten un gran valor a la suma; ya sea positivo o negativo. En consecuencia, si los grandes valores de la diferencia están producidos por datos mayores que el promedio, el coeficiente tenderá a ser positivo. Si, por el contrario, predominan observaciones muy menores que el promedio, el coeficiente será negativo. Si, finalmente, las observaciones presentan un alto grado
de simetría respecto al promedio, el coeficiente asumirá valores cercanos a cero.
Coeficiente de Asimetría para datos sin agrupar
El coeficiente de asimetría se define como
Coeficiente de Asimetría
para datos agrupados
Cálculo usando las frecuencias absolutas
Cálculo usando las frecuencias relativas
Ejemplo: Vamos a calcular el Coefiente de Asimetría de Fisher de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos.
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Valor) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
x |
x |
x |
x |
x |
|
1,20 |
1 |
1 |
3,3% |
3,3% |
|
1,21 |
4 |
5 |
13,3% |
16,6% |
|
1,22 |
4 |
9 |
13,3% |
30,0% |
|
1,23 |
2 |
11 |
6,6% |
36,6% |
|
1,24 |
1 |
12 |
3,3% |
40,0% |
|
1,25 |
2 |
14 |
6,6% |
46,6% |
|
1,26 |
3 |
17 |
10,0% |
56,6% |
|
1,27 |
3 |
20 |
10,0% |
66,6% |
|
1,28 |
4 |
24 |
13,3% |
80,0% |
|
1,29 |
3 |
27 |
10,0% |
90,0% |
|
1,30 |
3 |
30 |
10,0% |
100,0% |
Recordemos que la media de esta muestra es 1,253
|
S ((xi - x)^3)*ni |
S ((xi - x)^2)*ni |
|
x |
x |
|
0,000110 |
0,030467 |
Luego:
|
|
||
|
|
(1/30) * 0,000110 |
|
|
g1 = |
------------------------------------------------- |
= -0,1586 |
|
|
(1/30) * (0,030467)^(3/2) |
|
Por lo tanto el Coeficiente de Fisher de Simetría de esta muestra es -0,1586, lo que quiere decir que presenta una distribución asimétrica negativa (se concentran más valores a la izquierda de la media que a su derecha).
9. Medidas de Forma: Coeficiente de Curtosis. Conceptos. Tipos de distribuciones. Formulas. Curvas. Ejemplos.
Coeficiente de Curtosis
mide cuan 'puntiaguda' es una distribución respecto de un estándar. Este estándar es una forma acampanada denominada 'normal', y corresponde a una curva de gran importancia en estadística.
El coeficiente de curtosis está definido por:
De acuerdo a su valor, la 'puntudez' de los datos puede clasificarse en tres grupos:
Leptocúrticos, con valores grandes para el coeficiente.
Mesocúrticos, con valores medianos para el coeficiente.
Platicúrticos, con valores pequeños para el coeficiente.
Leptocurtica Mesocurtica Platicurtica
Una curva Mesocúrtica tiene un Coeficiente de Curtosis cercano a cero. Una Leptocúrtica, un valor notoriamente mayor que cero y una Platicúrtica valores menores que cero.
Tipos de Distribución
Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:
Distribución mesocúrtica: presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).
Distribución leptocúrtica : presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.
Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.
|
|
|
|
Definido por la fórmula del coeficiente de Curtosis:
Los resultados pueden ser los siguientes:
g 2 = 0 (distribución mesocúrtica) .
g2 > 0(distribución leptocúrtica ).
g2 < 0 (distribución platicúrtica) .
Ejemplo: Vamos a calcular el Coefiente de Curtosis de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos, cuya tabla puede ver en esta miama página, algo más arriba, en el apartado anterior. Recordemos que la media de esta muestra es 1,253
|
S ((xi - xm)^4)*ni |
S ((xi - xm)^2)*ni |
|
x |
x |
|
0,00004967 |
0,03046667 |
Luego:
|
|
|||
|
|
(1/30) * 0,00004967 |
|
|
|
g2 = |
------------------------------------------- |
- 3 |
= -1,39 |
|
|
((1/30) * (0,03046667))^2 |
|
|
Por lo tanto, el Coeficiente de Curtosis de esta muestra es -1,39, lo que quiere decir que se trata de una distribución platicúrtica, es decir, con una reducida concentración alrededor de los valores centrales de la distribución, aunque tampoco en este caso esta deviación de la simetria está suficientemente alejada del 0 para ser considerada significativa (se encuentra entre -2 y 2).
10. Distribuciones Bidimensionales. Conceptos. Representación de los Datos. Formulas. Ejemplos.
Distribuciones bidimensionales:
Son aquellas en las que se estudian al mismo tiempo dos variables de cada elemento de la población: por ejemplo: peso y altura de un grupo de estudiantes; superficie y precio de las viviendas de una ciudad; potencia y velocidad de una gama de coches deportivos.
Para representar los datos obtenidos se utiliza una tabla de correlación:
|
X / Y |
y 1 |
y 2 |
..... |
y m-1 |
y m |
|
x 1 |
n1,1 |
n1,2 |
x |
n1,m-1 |
n1,m |
|
x 2 |
n2,1 |
n2,2 |
x |
n2,m-1 |
n2,m |
|
..... |
x |
x |
x |
x |
x |
|
x n-1 |
nn-1,1 |
nn-1,2 |
x |
nn-1,m-1 |
nn-1,m |
|
x n |
nn,1 |
nn,2 |
x |
nn,m-1 |
nn,m |
Las "x" representan una de las variables y las "y" la otra variable. En cada intersección de una valor de "x" y un valor de "y" se recoge el número de veces que dicho par de valores se ha presentado conjuntamente.
Ejemplo: Medimos el peso y la estatura de los alumnos de una clase y obtenemos los siguientes resultados:
|
Alumno |
Estatura |
Peso |
Alumno |
Estatura |
Peso |
Alumno |
Estatura |
Peso |
|
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
x |
|
1 |
1,25 |
32 |
11 |
1,25 |
31 |
21 |
1,25 |
33 |
|
2 |
1,28 |
33 |
12 |
1,28 |
35 |
22 |
1,28 |
32 |
|
3 |
1,27 |
31 |
13 |
1,27 |
34 |
23 |
1,27 |
34 |
|
4 |
1,21 |
34 |
14 |
1,21 |
33 |
24 |
1,21 |
34 |
|
5 |
1,22 |
32 |
15 |
1,22 |
33 |
25 |
1,22 |
35 |
|
6 |
1,29 |
31 |
16 |
1,29 |
31 |
26 |
1,29 |
31 |
|
7 |
1,30 |
34 |
17 |
1,30 |
35 |
27 |
1,30 |
34 |
|
8 |
1,24 |
32 |
18 |
1,24 |
32 |
28 |
1,24 |
33 |
|
9 |
1,27 |
32 |
19 |
1,27 |
31 |
29 |
1,27 |
35 |
|
10 |
1,29 |
35 |
20 |
1,29 |
33 |
30 |
1,29 |
34 |
Esta información se puede representar de un modo más organizado en la siguiente tabla de correlación:
|
Estatura / Peso |
31 kg |
32 kg |
33 kg |
34 kg |
35 kg |
|
1,21 cm |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
|
1,22 cm |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1,23 cm |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,24 cm |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
1,25 cm |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1,26 cm |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,27 cm |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
1,28 cm |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1,29 cm |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1,30 cm |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
Tal como se puede ver, en cada casilla se recoge el número de veces que se presenta conjuntamente cada par de valores (x,y).
11. Distribuciones Marginales. Conceptos. Tipos. Formulas. Ejemplos.
Distribuciones marginales
Al analizar una distribución bidimensional, uno puede centrar su estudio en el comportamiento de una de las variables, con independencia de como se comporta la otra. Estaríamos así en el análisis de una distribución marginal.
De cada distribución bidimensional se pueden deducir dos distribuciones marginales: una correspondiente a la variable x, y otra correspondiente a la variable y.
Distribución marginal de X
|
X |
n i. |
|
x |
x |
|
x1 |
n1. |
|
x2 |
n2. |
|
..... |
... |
|
xn-1 |
nn-1. |
|
xn |
nn. |
Distribución marginal de Y
|
Y |
n .j |
|
x |
x |
|
y1 |
n.1 |
|
y2 |
n.2 |
|
..... |
... |
|
ym-1 |
n.m-1 |
|
ym |
n.m |
Ejemplo: a partir del ejemplo que vimos en la lección anterior (serie con los pesos y medidas de los alumnos de una clase) vamos a estudiar sus distribuciones marginales.
|
Estatura / Peso |
31 kg |
32 kg |
33 kg |
34 kg |
35 kg |
|
1,21 cm |
0 |
0 |
1 |
2 |
0 |
|
1,22 cm |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1,23 cm |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,24 cm |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
1,25 cm |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
1,26 cm |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1,27 cm |
2 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
1,28 cm |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1,29 cm |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1,30 cm |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
Las variables marginales se comportan como variables unidimensionales, por lo que pueden ser representadas en tablas de frecuencias.
a) Distribución marginal de la variable X (estatura) obtenemos la siguiente tabla de frecuencia
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Estatura) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
xx |
xx |
xx |
xx |
xx |
|
1,21 |
3 |
3 |
10,0% |
10,0% |
|
1,22 |
3 |
6 |
10,0% |
20,0% |
|
1,23 |
0 |
6 |
0,0% |
20,0% |
|
1,24 |
3 |
9 |
10,0% |
30,0% |
|
1,25 |
3 |
12 |
10,0% |
40,0% |
|
1,26 |
0 |
12 |
0,0% |
40,0% |
|
1,27 |
6 |
18 |
20,0% |
60,0% |
|
1,28 |
3 |
21 |
10,0% |
70,0% |
|
1,29 |
6 |
27 |
20,0% |
90,0% |
|
1,30 |
3 |
30 |
10,0% |
100,0% |
b) Distribución marginal de la variable Y (peso) Obtenemos la siguiente tabla de frecuencia:
|
Variable |
Frecuencias absolutas |
Frecuencias relativas |
||
|
(Peso) |
Simple |
Acumulada |
Simple |
Acumulada |
|
xx |
xx |
xx |
xx |
xx |
|
31 |
6 |
6 |
20,0% |
20,0% |
|
32 |
6 |
12 |
20,0% |
40,0% |
|
33 |
6 |
18 |
20,0% |
60,0% |
|
34 |
7 |
25 |
23,3% |
83,3% |
|
35 |
5 |
30 |
16,6% |
100,0% |
De las frecuencias absolutas marginales se obtienen las frecuencias relativas marginales. Y de igual forma podemos obtener las medias, varianzas y desviaciones típicas marginales.
La suma de las frecuencias relativas es igual a la unidad.
Ø La estadística definitivamente se considera la herramienta básica que permite mostrar cuantitativamente la recolección de datos para su posterior análisis.
Ø El valor de una variable es continuo por ser un número fijo, en caso contrario es una variable discreta.
Ø Las variables categóricas las clasificamos en nominales (sin orden) y las ordinales (con orden) y las variables numéricas en discretas (toman números enteros) y continuas (son las medibles).
Ø A través de la distribución de frecuencia podemos presentar de forma estructurada, en forma de tabla, la información que se ha recogido sobre la variable objeto de estudio.
Ø Las medidas de posición nos facilitan información sobre la serie de datos que estamos analizando. Estas medidas permiten conocer diversas características de esta serie de datos y existen dos tipos las medidas de posición central las cuales informan sobre los valores medios de la serie de datos y las medidas de posición no centrales que informan de cómo se distribuyen el resto de los valores de la serie.
Ø Las principales medidas de posición central son la Media que es el valor medio ponderado de la serie de datos; la Mediana que es el valor de la serie de datos que se sitúa justamente en el centro de la muestra y la Moda que es el valor que más se repite en la muestra.
Ø Las medidas de posición no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales entre los cuales tenemos Cuarteles, Deciles y Percentiles.
Ø Las medidas de dispersión es la que estudia la distribución de los valores en serie, se analizan los valores que se encuentran más o menos concentrados y los valores que se encuentran dispersos.
Ø Las medidas de forma permiten conocer que forma tiene la curva que representa la serie de datos de la muestra.
Ø En las distribuciones bidimensionales se estudian al mismo tiempo dos variables y de cada una de ellas se pueden deducir dos distribuciones marginales: una correspondiente a la variable x, y otra correspondiente a la variable y.
Haber, Audrey. "Estadística General" Bogota: ed. Fondo Educativo Interamericano, 1982. 371 p.
Spiegel, Murray. "Estadistica" 2a.ed. México: ed. Mcgraw-Hill, 1991. 556 p.
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