UNIVERSIDAD YACAMBU

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Profesor: Sandy Quintero

Alumno: Aldo Méndez

Investigación en Internet

ESPERANZA MATEMÁTICA

1.- http://www.utdt.edu/~mrozada/mfin/pye2.pdf

ESPERANZA MATEMÁTICA, MEDIA Y VARIANZA.

La esperanza matemática de la variable aleatoria X es conocida como el primer momento de la distribución alrededor del origen.

Se denota por E (X) ó ?y es un promedio ponderado de X, con ponderaciones correspondientes a las probabilidades de ocurrencia. Por ejemplo, para una variable aleatoria discreta:

E (X)= ∑ x_iƒ(x_i)

i=1

Donde f(x) es la función de probabilidad.

En general se puede calcular la esperanza matemática de cualquier función de una variable aleatoria. Esto es:

E (g(X))= ∑ g (x_i)ƒ(x_i)

i=1

2.- http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_esperado

Valor esperado

En estadística el valor esperado o esperanza matemática (o simplemente esperanza) de una variable aleatoria es la suma de la probabilidad de cada suceso multiplicado por su valor. Por ejemplo en un juego de azar el valor esperado es el beneficio medio.

Si todos los sucesos son de igual probabilidad la esperanza es la media aritmética.

3.- http://w3.mor.itesm.mx/~cmendoza/ma835/ma83511.html

VALORES ESPERADOS.

Hay un par de cantidades importantes asociadas con cada variable aleatoria:

el valor esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza o media.
la varianza y su raiz cuadrada, la desviación estándar.

Ambas cantidades se definen en base a un operador que llamamos el operador esperanza. Matemáticamente la esperanza se define así, para una v.a. discreta

E(g(X)) = suma{g(i) f(i)}

donde g(i) es cualquier función y f(i) es la función de probabilidad de la v.a.; f(i) = P(X = i). Por ejemplo,

Si la función g es g(t)=52t,

E(52X) = suma{52i f(i)} = 52 suma{i f(i)} = 52 E(X)

Si la función g es g(t)= (t-4)², su esperanza es

E( [X - 4]² ) = suma{[i-4]²f(i)} =
suma{i²f(i)} - suma{8if(i)} + suma{16f(i)} =
E(X²) - 8E(X) + 16

Y si g es g(t)= t/ 28

E( X/ 28) = suma{i/ 28 f(i)} = 1/28 suma{i f(i)} =
= (1/ 28) E(X) = E(X)/ 28

Utilizando el operador esperanza, definimos para cualquier v.a. discreta X :

El valor esperado de X es E(X).
La varianza de X es var (X) = E( [X - E(X)]²).

4.- http://www.monografias.com/trabajos20/estadistica/estadistica.shtml

ESPERANZA MATEMÁTICA

También se le llama valor esperado de la distribución. Es el valor central sobre el que se concentra la distribución de probabilidad. Es semejante a la media de una distribución de frecuencias.

Dada una v.a. X, definimos su esperanza como:

å x _i · P( x _i) " i si la v.a. es discreta

E ( X ) =

x · f( x ) dx si la v.a. es continua

Sirve para saber las posibles ganancias o pérdidas en los juegos de azar. Se dice que un juego es justo cuando la esperanza es cero.

EJEMPLO.

Sea una v.a. discreta de valores , siendo su función de cuantía. Obtener su esperanza.

EJEMPLO

Sea una v.a. contínua X definida en el intervalo , cuya función de densidad es Hallar su media.

A partir de la esperanza de la v.a. X, se puede obtener su varianza:

Var( X ) = E( X ² ) - [ E( X ) ]²

EJEMPLO

Calcular la esperanza y la varianza de una v.a. continua con función de densidad :

_1_ si x Î (0, 1)

f( x ) =

0 si x Ï (0, 1)

Solución :

E ( X ) = x · f( x ) dx = _x_ dx = _1_

2 x 3

E ( X ²) = x² · f( x ) dx = _x²_ dx = _1_

2 x 5

Var ( X ) = E ( X ²) – [ E ( X ) ] ² = _1_ _ _1_² = _4_

5 3 45

5.- http://faea.uncoma.edu.ar/materias/estadistica_cont/documentos/4._Mod_Discretos.pdf

ESPERANZA MATEMÁTICA

Definición

El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X es un promedio ponderado de los valores que puede asumir X con probabilidades para los valores de X como pesos; es decir es un promedio ponderado; es representado por E(X).

EX caso discreto xpxii)in().(==.1

Propiedades de la esperanza matemática:

1.- E( k )= k , siendo k una constante

2.- E(X + k ) = E( X) + k

3.- E( k. X ) = k E(X)

4.- E(XｱY ) = E(X) ｱ E(Y)

5.- E(X . Y ) = E(X) . E(Y) . X e Y son variables independientes.

6.- http://www.aeatonline.com/racionalidad/hbiba11.html

Esperanza Matemática

La única condición indispensable para validar un método de inversión es que la esperanza matemática de su resultado (neto de gastos y penalizaciones por liquidez) sea positiva : (Resultado> 0).

Resultado = S p_i * r_i

Resultado = esperanza matemática del resultado
p_i = probabilidad del suceso i (operación)
r_i = resultado esperado del suceso i
Ejemplo:

Si:
Resultado medio esperado por operación positiva 3 % y su Probabilidad = 40%
Resultado medio esperado por operación negativa -1.5% y su Probabilidad = 60%

entonces:

Resultado = 0.4 * .03 + 0.6 * (-0.015) = 0.003 > 0

En este caso, aun siendo menos probables las operaciones positivas que las negativas (40%<60%) el resultado esperado es positivo.

Todos los sistemas de trading de Techrules.com basan sus resultados en en la obtención, tras un número suficiente de operaciones, de una Esperanza Matemática de beneficio positiva.

EJEMPLOS DE ESPERANZA MATEMÁTICA

7.- http://ftp.medprev.uma.es/libro/node61.htm

Valor esperado o esperanza matemática

Sea X una v.a. discreta. Se denomina esperanza matemática de X o valor esperado, y se denota bien ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }$ o bien $\mu$ , a la cantidad que se expresa como:

$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle { {{\bf E} \left[ X \right]} } = \sum_{i \in I\!\!I} x_i f(x_i) $ } } } \end{displaymath}$

donde $I\!\!I$ es el conjunto numerable de índices de los valores que puede tomar la variable (por ejemplo $I\!\!I= \{1,2,\dots,k\}$ para un número finito de valores de la v.a. o bien $I\!\!I= I\!\!N$ para una cantidad infinita numerable de los mismos.

Si X es una v.a. continua, se define su esperanza a partir de la función de densidad como sigue:

$\begin{displaymath}{ \mbox{\fbox{$\displaystyle { {{\bf E} \left[ X \right]} } = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \, dx $ } } } \end{displaymath}$

Recordamos que si

$\begin{displaymath}\left. \begin{array}{c} X:E \longrightarrow I\!\!R \\ \\ h:... ... E \longrightarrow I\!\!R \qquad \mbox{es variable aleatoria} \end{displaymath}$

y por tanto tiene sentido calcular su esperanza matemática:

$\begin{displaymath}{ {{\bf E} \left[ h(X) \right]} } = \int_{-\infty}^{+\infty} h(x) \cdot f(x) \, dx \end{displaymath}$

Por las analogías existente entre la definición de media aritmética y esperanza matemática, las propiedades de linealidad de la primera se trasladan a la segunda, como es inmediato comprobar:

$\begin{displaymath}{ {{\bf E} \left[ a+b\cdot X \right]} } = a + b\cdot{ {{\bf E} \left[ X \right]} } \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}{ {{\bf E} \left[ X-{ {{\bf E} \left[ X \right]} } \right]} }... ... {{\bf E} \left[ X \right]} }-{ {{\bf E} \left[ X \right]} }=0 \end{displaymath}$

8.- http://www.itchihuahuaii.edu.mx/academico/CB/MEG/documentos/1.2.htm

ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO

Sea F(x) una variable aleatoria discreta con función de probabilidad P(X=Xi). Entonces al valor esperado o esperanza matemática de F(x) está definida por:

E {F(X)} =  F(X) P(X=Xi)

Calcule la media y la varianza con la esperanza matemática de los puntos mostrados cuando se lanza un dado.

X	P(X = X_I)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

F(X) = X

= E { X } =

= E { X } = 1 ( 1/6) + 2 ( 1/6) + 3 (1/6) + 4 ( 1/6) + 5 (1/6) + 6 (1/6 ) = 3.5

( 1 - 3.5 )² (1/6) + (2 - 3.5 )² (1/6) + (3 - 3.5 )² (1/6) + (4 - 3.5 )² (1/6) + (5 - 3.5 )² (1/6) +

(6 - 3.5 )² (1/6) = 2.91

Sea F(X) una variable aleatoria continua con función de probabilidad ƒ(X) Entonces el valor esperado o esperanza matemática de F(X) está definida por:

En donde la ƒ(X) corresponde a la curva de función de probabilidad

Determine el valor esperado de X en una distribución uniforme o rectangular si los límites son

F(X) = X

f (x)

A = 1

q₁ q₂

El área bajo la curva es 1

1 = A = b x h

b = q₂ - q₁

h = f (x)

1 = q₂ - q₁ f(x)

f(x) =

E{X} = E

La esperanza matemática se puede considerar como sinónimo de promedio de esta manera:

E{X} =  El valor esperado de X es su media poblacional.

9.- http://www.tecnun.es/Asignaturas/Estad_it/Resumen%20Tema%202.pdf

Esperanza Matemática

Se llama esperanza matemática de una variable aleatoria X, E(X), al valor real que representa el

promedio de X dado por:

. ?= k k p x X E ) ( si X es discreta

. ?= dx x f x X E ) ( ) ( si X es continua

donde ) ( k k x X P p = = y ) (x f son las funciones de probabilidad y de densidad,

respectivamente. La sumatoria y la integral se extienden a todos los valores de la v.a. X.

Si X es una variable aleatoria, entonces g(X) será también otra variable aleatoria y se define la

esperanza de g(X) como:

[ ] . ?= k k p x g X g E ) ( ) ( si X es discreta

[ ] . ?= dx x f x g X g E ) ( ) ( ) ( si X es continua

10.- http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node98.htm

Estimador de la esperanza matemática

Consideremos las muestras de tamaño n, $X_1,X_2,\dots,X_n$ , de un carácter sobre una población que viene expresado a través de una v.a. Xque posee momentos de primer y segundo orden, es decir, existen ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }$ y ${ {{\bf Var } \left[ X \right]} }$ :

$\begin{displaymath}X_1,X_2,\dots,X_n, \qquad \left\{ \begin{array}{l} { {{\bf E}... ...{{\bf Var } \left[ X_i \right]} }= \sigma^2 \end{array}\right. \end{displaymath}$

El estimador media muestral que denotaremos normalmente como $\overline {X}$ (en lugar de $\hat{\mu}$ es

$\begin{displaymath}\overline{X} = \frac{1}{n} (X_1+X_2+\cdots+X_n) \end{displaymath}$

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Valor esperado

VALORES ESPERADOS.

ESPERANZA MATEMÁTICA

Definición

Propiedades de la esperanza matemática:

Valor esperado o esperanza matemática

Sea X una v.a. discreta. Se denomina esperanza matemática de X o valor esperado, y se denota bien o bien , a la cantidad que se expresa como:

Estimador de la esperanza matemática

Estimador de la esperanza matemática

Sea X una v.a. discreta. Se denomina esperanza matemática de X o valor esperado, y se denota bien ${ {{\bf E} \left[ X \right]} }$ o bien $\mu$ , a la cantidad que se expresa como: