Transição no mundo da Álgebra

 

 

 

I – Introdução

 

A álgebra moderna inicia-se com Evariste Galois. Com Galois, a característica da álgebra muda radicalmente.

Antes de Galois, o esforço dos algebristas estava direcionado à solução de equações algébricas. Scipione Del Ferro, Tartáglia, e Cardano mostraram como resolver equações cúbicas, e Ferrari sucedeu na solução de equações de grau 4.

Gauss provou que a equação ciclotômica:

Xⁿ – 1 = 0

pode ser complemente resolvido por radicais, e que cada equação algébrica pode ser resolvida por números complexos a + bi. Galois, por outro lado, foi o primeiro investigar a estrutura de corpos e grupos, e ele mostrou que estas duas estruturas são fechadamente conectadas. Se desejarmos conhecer quando uma equação pode ser resolvida por radicais, temos que analisar a estrutura dos grupos de Galois.

            Depois de Galois, o esforço dos algebristas era principalmente direcionado a investigação da estrutura de anéis, corpos, álgebras, e coisas assim.

            Os mais importantes predecessores de Galois eram Lagrange, Gauss, e Abel.

 

II – Waring

 

            a) – Breve histórico.

 

Edward Waring (1734 - 1793): Professor de matemática sênior wrangler em Cambridge (1757) e nomeado Lucasian professor (1760), que se caracterizou por escrever e publicar obras importantes, mas de textos complicados e pouco populares. Um dos seus livros mais importantes foi Meditationes algebraicae (1770), onde publicou várias de suas descobertas e de alguns de seus amigos e discípulos, entre eles John Wilson e Christian Goldbach.

 

b) – A obra do precursor

 

Se uma equação de grau n,

 

Xⁿ – a₁x^n-1 + a₂x^n-2 - ... + ... = 0

 

tem n raízes, é bem conhecido desde Viète que os coeficientes da equação  são todos iguais a função elementares das raízes:

           

a₁ = X₁ + X₂ + ... + X_n

a₂ = X₁X  +  X₁X3 + ... + X_n-1Xn

 

            Neste tratado “Miscellanea analutica” (1762), Edward Waring tinha conhecido que todas funções racionais simetrias de raízes podem ser expressadas como funções racionais de coeficientes de equações. Ele primeiro deriva expressões para a soma de potencias:

S_m =  X₁^m + X ₂^m + ... + Xn^m 

 

e depois para polinômios simétricos arbitrários.

            No tratado “Meditationes algebricae” (1770) Waring deriva o método para expressões simétricas. Este método é o mesmo dos livros modernos.

            Waring também investiga a solução  de “equações ciclotômicas”:

 

Xⁿ – 1 = 0      

 

e discute o problema: achar equações que podem ser resolvidas pela soma da forma:

 

X = ^m√α₁  + ^m√α₂ + ... + ^m√α_n.

.

            Assim, Waring é certamente um dos grandes predecessores da teoria de Galois.

 

III – Vandermonde

 

a) – Breve biografia.

 

Alexandre Théophile Vandermonde nasceu no dia 28 de fevereiro de 1735 em Paris, França, e morreu no dia 1º de janeiro de 1796, também em Paris. Seu primeiro amor de foi a música, e ele se voltou para a Matemática somente quando tinha 35 anos de idade. Ele foi tão amigo de Gaspard Monge que ficou conhecido como femme de Monge.
Vandermonde estudou a teoria das equações e trabalhou com determinantes, apesar dos determinantes nomeados depois dele, por Lebesgue, não aparecem em seu trabalho publicado.

Ele também trabalhou na solução matemática de um problema denominado knight's tour problem. O total de contribuições dele para a Matemática foram 4 memórias escritas entre 1771 e 1772, que contém importantes resultados e métodos.

 

b) Obra e contribuições.

 

            O trabalho matemático de Alexandre Vandermonde tem sido discutido no interessante artigo de Lebegue: “L’ouvre mathématique de Vandermonde”.

            Em 1770, Vandermonde apresenta na Academia de Paris um trabalho intitulado “Sur la résolution des équations”. Iniciando com a bem conhecida solução de equações quadráticas e cúbicas, Vandermonde desenvolve princípios gerais sobre o qual soluções de equações podem ser baseadas.

            Ele escreve a solução da equação quadrática na forma:

 

            ½ [X₁ + X₂ + √( X₁ + X₂)²].

 

            Tomando para a raiz quadrada os dois sinais possíveis, obtemos duas raízes. Depois ele reescreve esta fórmula como:

 

            ½ [X₁ + X₂ + √( X₁ + X₂)² - 4X₁X₂].

.

 

assim introduzindo funções elementares simétricas de raízes.

            Vandermonde agora pergunta se a equação geral de grau n pode ser resolvida por uma expressão similar:

 

1/n[(X₁ + ... + X_n ) + ⁿ√(ρ₁X₁ + ... + ρ_n X_n)ⁿ  + ... + ⁿ√(ρ₁^n-1 X1 + ... + ρ_n^n-1 X_n)ⁿ].

 

 

em que r₁,..., r_n são n-ésimas raízes da unidade.

            Hoje, a expressão:

 

ρ₁X₁ + ... + ρ_n X_n

 

é chamada “resolvente de Lagrange”. Lagrange introduziu a mesma expressão num trabalho para a Academia de Berlim em 1771, como mostraremos.

            O trabalho de Vandermonde, no qual a mesma expressão era apresentada para a Academia de Paris em 1770, mas publicado somente em 1774.

            No caso de equações cúbicas, o método de Vandermonde e Lagrange ensina uma solução. Se i e j são as terceiras primitivas raízes de unidade, temos:

 

            (X₁ + iX₂ + jX₃ )³ = S + 3iX + 3jY com:

            S = X₁³ + X₂³ + X₃³ + 6X₁ X₂ X₃

                Y = X₁² X₂ + X₂² X₃ + X₃² X₁

 

            Uma vez que s, x +y e xy são funções simétricas das raízes, assim x e y são raízes da equação quadrática. Depois, a expressão x₁ + ix₂ + jx₃ pode ser obtida como raízes cúbicas, e x₁ + x₂ + x₃ podem ser achadas.

            Para grau maior que 4, este método não dá uma solução geral.

            Assim, Vandermonde sucede na solução de equações:

           

                        X¹¹ – 1 = 0

 

            Ele primeiro reduz para uma equação de grau 5, tendo as raízes:

           

            r + r^-1, r² + r^-2, r³ + r^-2, r⁴ + r^-4

 

onde r é uma primitiva da raiz 11^a da unidade.

            Depois ele resolve esta equação deste “resolvente de Lagrange”. Estes resolventes podem ser escritos como:

           

            L = X₁ + aX₂ + a²X₃ + a³X₄ + a⁴X₅

 

onde a é uma 5^a primitiva da raiz da unidade, quando x₁,..., x₅ são raízes da quíntica.

            Em ordem que L⁵ pode ser expressa racionalmente, as raízes x_i podem ser tomadas na definição de ordem. No caso especial da raiz 11^a da unidade, esta ordem pode ser achada por acerto e erro, mas para o caso geral uma prova é necessária.

            Como nós veremos no capitulo referente a Gauss, o requerimento essencial é, provar que cada número primo p é uma “raiz primitiva” g mod p existe tal que todos inteiros não divisíveis por p são congruentes a potencias de g. A expressão “raiz primitiva” é devido a Elder, e Gauss foi o primeiro que provar sua existência.

            Vandermonde reclama que a solução da equação:

 

            Xⁿ – 1 = 0

 

por este método será sempre fácil. Parece que ele não vê dificuldade de estabelecer uma ordem apropriada das raízes.

 

IV – Lagrange.

 

a)      Breve biografia.

 

Joseph Louis Lagrange nasceu em Turin, Itália.

Bem jovem tornou-se professor na Escola Real de Artilharia em Turin, fazendo sua primeira publicação em 1759 na "Miscelânea", revista da Academia.

Lagrange substituiu Euler na Academia de Berlim, por convite de Frederico, o Grande, aí passando vinte anos. Em Berlim publicou importantes obras sobre Mecânica, problema dos três corpos, primeiras idéias de funções e importantes trabalhos sobre teoria das equações. Após a morte de Frederico, foi para a França, convidado por Louis XVI, onde tomou parte no Comitê de Pesos e Medidas.

Foi o primeiro professor da Escola Politécnica onde ensinava Análise, escrevendo notas de curso em vários níveis mais tarde publicadas no clássico "Teoria das Funções Analíticas", marcante em seu rigor e tentando tornar o Cálculo mais lógico do que prático. Nesta obra impulsionou a teoria das funções de variável real que a partir daí ocuparia a atenção dos matemáticos, utilizando-se nela da notação para derivadas de várias ordens.

Na Escola Normal, Lagrange preparou e ministrou aulas, hoje equivalentes às do curso colegial ou pré-universitário, em Álgebra avançada.

Lagrange muito contribuiu para o estudo do Cálculo das Variações, um ramo novo da Matemática no século XVIII, resolvendo com esta teoria vários problemas de isometria, chegando a ser considerado superior mesmo por Euler.

Em Teoria dos Números fez importantes demonstrações, provando, por exemplo, que todo inteiro positivo é a soma de no máximo quatro quadrados perfeitos. Em 1788,, Lagrange publicou sua "Mecânica Analítica" considerada um poema científico pela perfeição e grandeza de sua estrutura, associando-se mais à Matemática Pura do que à Aplicada. Sua idéia fundamental influiria muito nas reformas educacionais da Revolução Francesa e, como dizia o próprio Lagrange: "parece-me que as soluções que vou apresentar serão de interesse para os geômetras tanto pelos métodos quanto pelos resultados. Essas soluções serão puramente analíticas e podem ser entendidas mesmo sem figuras", e realmente não há um único diagrama em seu trabalho.

Lagrange era uma pessoa muito melancólica, com poucas participações em política e movimentos revolucionários, sendo que para ele a Matemática era uma arte sublime, sua própria razão para existir.

A seguir uma imagem de Lagrange:

 

 

b)      Principal obra.

 

Em 1771, Lagrange apresentou um interessante trabalho na Academia de Berlin: “Réflections sur la résolution algébrique des équations”.

A seguir a imagem de uma página do: “Réflections sur la résolution algébrique des équations”.

 

 

            Nós resumiremos o mais importante deste trabalho a seguir.

 

            Lagrange primeiro considera uma equação cúbica o qual pode ser escrito como:

            (1)                               X³ + nX + p = 0

 

            A solução é a bem conhecida do “Ars Magna”, de Cardano. Pode ser escrita da forma:

            (2)                               X = r + s

 

quando r³ e s³ são raízes da equação quadrática. Lagrange mostra que r e s podem ser expressas como funções de três raízes a, b, c da equação (1):

            (3)                   r = 1/3(a + ab + a²c)

            (4)                   s = 1/3(a + a²b + ac)

 

onde a é uma terceira raiz primitiva da unidade:

(5)                                       a² + a + 1 = 0

 

            O mesmo resultado pode também ser obtido por um método direto, diz Lagrange. Ele inicia com uma função linear arbitrária das raízes a, b, c:

(6)                   y = Aa + Bb + Cc.

 

Por permutação de raízes obtemos um conjunto de seis expressões, o qual são raízes de uma equação de grau 6. Se é requerido que a equação contenha potências de y³ pode ser mostrado que os coeficientes  A, B, C são necessariamente proporcionais a 1, a, a² ou 1, a², a. Assim, obtemos, uma vez mais, as expressões de (3) e (4).

Várias idéias fundamentais da teoria de Galois já são apresentadas nesta parte do tratado de Lagrange. Primeiro, a idéia que expressa quantidades intermediárias (r e s) como funções racionais das quantidades a, b, c.

Depois Lagrange mostra que é útil para estudar o comportamento de funções racionais (6) sob permutação de raízes. Finalmente: expressões do tipo (3) e (4), formado por meio de raízes da unidade e chamadas “resolventes de Lagrange”, são muito útil. Como temos visto, as mesmas expressões já tinham sido introduzidas por Vandermonde em 1770.

Depois Lagrange considera uma equação biquadrática, a qual pode ser escrita como:

(7)                   x⁴ + nX² + pX + q = 0

 

Lodovico Ferrari mostrou que a solução pode ser obtida por primeiro resolvendo-se a equação cúbica:

(8)                   y³ –1/2ny²- qy + 1/8(4nq – p²)

 

Lagrange mostra que as raízes desta equação podem ser expressas como funções das raízes a, b, c, d da equação original:

(9)                   u = ½ (ab + cd), v = ½ (ac + bd), w = ½ (ad + bc)

 

Se as raízes são permutadas, a função u dá somente três funções u, v, w. Isto explica como u é uma raiz cúbica da equação.

O ponto histórico mais importante é a Seção 100. Nesta seção Lagrange considera funções racionais f(x’, x”, ..., x⁽ⁿ⁾) de raízes de uma equação geral de grau n. As raízes são consideradas como variáveis independentes ou, como diz-se hoje, “indeterminadas”. Mesmo Lagrange usa a expressão “indéterminée”.

Duas funções t e y das raízes são chamadas similares se todas permutações de raízes que deixa t invariante, também y, e conservadamente.

Lagrange agora prova um teorema, o citado como “Teorema 100”, a saber:

“Se todas permutações o qual deixam t invariante também o deixa y , então y pode ser expressado como uma função racional de t e os coeficientes da equações dada”.

A idéia da prova é como segue.

Seja t’, t”,..., t⁽ⁿ⁾ valores de diferentes funções de t assumem quando as raízes são permutadas, e seja y’, y”, ..., y⁽ⁿ⁾ os valores correspondentes de y. O número p é um divisor de n!, e t satisfaz  uma equação q = 0 de grau p. Portanto alguma função T de t pode ser escrita como:

(10)                 T = N₀ + N₁t + N₂t² + ... + N_{p - 1}t^{p - 1}.

 

Seja T’, T”, ... valores correspondentes a valores t’, t”, ... de t. Lagrange forma a soma T’t’ + T”t” + ... e expressa como uma função linear de indeterminadas N₀, ..., N_p-1:

(11)                 T´y´ + T”y” + ... = M₀N₀ + M₁N₁ + ... + M_{p -1}N_{p - 1}

 

Agora em ordem para computar y’tem somente os coeficientes específicos N₀, ..., N_p-1 em tal caminho que T’, T”, ... todos tornam-se zeros.

Isto significa que o polinômio (10) é requerido ter raízes t”, t’”, ... . Se este polinômio é multiplicado por t – t’, tem de ser divisível pelo polinômio de q. Assim, obtemos:

(12)                 (t – t´)T = cq

 

com constante c. Esta condição dá origem a um conjunto de equações lineares para N₀, ..., N_p-1, o qual pode ser resolvido por cálculos elementares, provido o polinômio q não tem raízes duplas. Lagrange escolhe N₀ = 1, mas isto não é sempre essencial para esta prova.

Lagrange aplica este teorema para equações de graus 2, 3 e 4.

            Lagrange também considera equações especiais tais como a “equação ciclotômica”:

Xⁿ – 1 = 0

 

mas ele não vai muito longe. A solução completa dessas por meio de radicais são dados por Gauss em 1801no “Disquisitiones arithmeticae”.

 

 

V – Malfatti

 

            Lagrange apresenta esta “Réflections” para a Academia de Berlin em 1771. Um ano antes, em 1770 Gian Francesco Malfatti apresentou à Academia delle Scienze de Siena um tratado altamente interessante sobre equações quínticas intitulado: “De aequationibus quadratocubicis dissertatio analytica”. Foi publicado no Atti dela Accademia di Siena em 1771.

            A seguir uma imagem de Malfatti:

 

            O seguinte resumo é baseado sobre este.

            Malfatti primeiro considera uma equação cúbica:

(1)                   X³ + 3aX + b = 0

 

            Seguindo Euler, ele considera uma raiz x satisfazendo uma equação linear:

(2)                                       X + m³Öf² + n³Öf = 0.

 

            Para eliminar a terceira raiz, Malfatti usa o método de Manfredi. Recolocando ³√f por a(³√f) e por a²(³√f), quando a é uma terceira raiz da unidade, e multiplicando (2) por duas funções lineares de x assim obtidas, Malfatti obtêm uma equação de grau 3:

(3)                                       X³ + mnfX + m³f² + n³f = 0.

 

            Colocando f=1, obtemos:

(4)                                       X³ – 3mnfX + m³ + n³ = 0.

 

            Esta equação é equivalente a (1), provido:

(5)                                       mn = -a

m³ + n³ = b

 

            Deste par de equações podemos achar m³ e n³ e portanto m e n.

Agora Malfatti aplica o mesmo método para equações quínticas:

(6)                   X⁵ +5aX³ + 5bX² + 5cX + d = 0.

Ele deseja obter uma raiz x de (6) da equação:

(7)                   X + m⁵Öf⁴ + p⁵Öf³ + q⁵Öf² + n⁵Öf = 0

 

Recolocando a(³√f), a²(³√f), a³(³√f), a⁴(³√f), quando a é uma quinta raiz da unidade, e multiplicando (7) pela expressão linear assim obtida, Malfatti obtêm uma “equação canônica” de grau 5 de x. Colocando f=1 e igualando os coeficientes da equação canônica com estas de (5), Malfatti obtêm um conjunto de condições para m, p. q, n simplificar esta condição ele coloca:

                        Mn = y, pq = u  

                        25uy – 5a² + 5c/3 = z

 

Depois de tediosos cálculos Malfatti acaba com uma equação de grau 6 de z. NO caso geral esta equação não tem fator racional de graus 1 ou 2 ou 3, mas se têm, a equação dada (6) pode ser resolvida por radicais. Podemos primeiro determinar z e depois m, p, q, n e finalmente podemos obter a raiz:

(8)                                       X₀ = - (m + p + q + n)

X₁ = - (am + a²p + a³q + a⁴n)

X₂ = - (a²m + a⁴p + aq + a³n)

X₃ = - (a³m + ap + a⁴q + a²n)

X₄ = - (a⁴m + a³p + a²q + an)

 

É fácil resolver a equação linear (8) para m, p, q, n. Segue que m, p, q, n são funções lineares das raízes, e que z é uma função biquadrática das raízes.

Independente de Malfatti, Lagrange também construiu um “resolvente” z, o qual é uma função das raízes assumindo seis valores quando as raízes são permutadas. Esta função é “similar” ao z de Malfatti no sentido de Lagrange, para ambos são invariantes sob um grupo de 20 permutações de raízes x_k. Na notação moderna a permutação deste grupo pode ser definida pela fórmula:

(9)                   k´ º gk + h

 

com g = 1, 2, 3, ou 4, e h = 1, 2, 3, ou 4. Nós veremos que o mesmo grupo representa um papel importante na Teoria de Galois.

 

 

VI – Ruffini.

 

a)      Breve histórico.

 

Paolo Ruffini, médico e matemático, nasceu em Valentano, nos estados papais (agora Itália) em 22 de setembro de 1765, e morreu no dia 10 de maio de 1822 em Modena (agora Itália). No princípio ele pretendeu entrar em ordens Santas e foi tão longe como receber a Tonsura, mas mudando sua mente, ele começou o estudo de matemática e medicina na Universidade de Modena onde ele recebeu o grau de doutor. Aos vinte e três anos ele foi designado professor de análise depois de ter substituído durante um ano o seu professor Cassiani. Em 1791, a cadeira de matemática elementar foi confiada a ele. Enquanto isso, ele não negligenciou o estudo e prática de medicina. No tempo da invasão francesa da Itália (1796), ele foi inesperadamente designado um membro do Juniori no corpo legislativo de Milan. Não foi sem dificuldade que ele teve sucesso no retorno às suas conferências em Modena. Por ter recusado levar o juramento republicano sem a declaração condicional ditada pela sua consciência, ele foi despedido da sua posição como um conferencista público; mas com o retorno dos austríacos em 1799 ele foi restabelecido ao seu posto anterior e mantido lá pelos governos seguintes. Ruffini recusou uma chamada para a cadeira de matemática mais alta em Pávia, porque ele não desejou deixar a sua prática médica. O universitário tinha sido degradado ao grau de lyceum, ele aceitou (1806) a cadeira de matemática aplicada na escola militar recentemente estabelecida. Em 1814 Francesco IV restabeleceu a universidade e designou Ruffini reitor vitalício, e ao mesmo tempo professor de medicina prática e matemática aplicada. Pelas suas conferências com os pacientes da época, ele reavivou os estudos clínicos que tinham sido abandonado durante vários anos. Durante a epidemia de tifo de 1817 ele se sacrificou pelos seus concidadãos, e finalmente sucumbiu. Embora recuperado, ele nunca recuperou toda sua força. Ele foi enterrado na Igreja de Santa Maria di Pomposa, entre os túmulos de Sigonio e Muratori. 

O tratado médico exclusivo de Ruffini é uma "Memoria sul tifo contagioso". Como um matemático o nome dele é inseparavelmente associado com a prova da impossibilidade de resolver algebricamente a equação de grau 5, na qual ele escreveu vários tratados (" Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al 4° ", 2 volumes., Bolonha, 1798,; " Della soluzione delle equazioni alg. determinate particolari di grado sup. al 4° " em " Mem. Soc. Ital "., IX, 1802 que foi premiado pelo Instituto Nacional de Milan,; " Della insolubilità etc. qualunque metodo si adoperi, algebraico esso sia o trascendente " em " Mem. Inst. Naz. Ital "., eu, 1806). Ele também provou a impossibilidade do quadratura do círculo (" Riflessioni intorno alla rettificazione ed alla quadratura del circolo " em " Mem. Soc. Ital "., IX, 1802). Menos conhecido, porém, é o fato que Ruffini publicou o agora familiar "o método de Horner" de aproximação para as raízes de equações numéricas quinze anos antes do primeiro papel de Horner. Em 1802 a Italian Society of Forty ofereceu uma medalha de ouro para o melhor método de determinar a raiz de uma equação numérica de qualquer grau. Em 1804 a medalha foi premiada a Ruffini, e a dissertação foi publicada debaixo do título "Sopra la determinazione delle radice nelle equazioni numeriche di qualunque grado".

Em um papel lido antes da Seção Do sudoeste da Soc.Matemática americana (26 Nov., 1910), o professor Florian Cajori mostrou que a computação exigida por Ruffini é idêntica com aquela no "método de Horner", e que este método é elaborado por Ruffini com uma clareza e eficácia não ultrapassada na própria exposição de Horner em 1819. Devido a este fato, insiste o Professor Cajori, que o nome de Ruffini devesse ser associado com o de Horner na designação do método. Ruffini escreveu novamente sobre este assunto em 1807 (Álgebra elementar, cap. iv, v), e em 1813 (Memorie Soc. It., XVI, XVII). Ruffini foi durante sua vida inteira um católico zeloso. As suas convicções acham expressão nos seus trabalhos apologéticos: " Dell' immortalità dell' anima " (Modena, 1806), dedicado ao Papa Pio VII que lhe enviou uma medalha de ouro; " Riflessioni critiche sopra il saggio filosofico intorno alle probabilità del Sig. Conte de la Place " (Modena, 1821), no qual ele prova que é tão familiarizado com metafísica como com questões de religião. 

           

 

            A seguir uma imagem de Ruffini:

 

b) Contribuição histórica.

 

Paolo Ruffini, nascido em 1765, era um estudante e admirador de Lagrange. Ele publicou vários artigos reclamando a prova de que a equação geral de quinto grau ou de mais alto não pode ser resolvida por radicais. Seu primeiro tratado, publicado em 1898, em Bologna, intitulado: “Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la resoluzioni algebraica delle equazioni generale di grado superiore al quarto”.

Pouco depois Ruffini escreveu um pequeno tratado intitulado: “Rischiarimente e risposte alle obbliezioni”.

Finalmente, em 1813, Ruffini publicou um terceiro artigo.

Os métodos de Ruffini eram essencialmente aqueles de Lagrange. Ele considerava funções racionais de raízes de uma equação geral de grau n. Se p é o número de permutações que deixam funções inalteradas, p é um divisor de n!, e o número de valores diferentes a função assume se as raízes são permutadas é n!/p. Como Lagrange já tinha mostrado, tal que uma função é uma raiz de uma equação de grau n!/p. Ruffini estudou em grande detalhe o conjunto de permutações p, o qual deixa a função inalterada. Em particular, ele mostra que no caso de equação de grau n!/p pode ser 2, 5 ou 6, mas não 3 ou 4, o qual deixa que um resolvente no sentido de Lagrange satisfazendo uma equação de grau 3 ou 4 é impossível. SE n!/p não é 2, pode ser divisível por 5. Se n!/p é 5, resolventes de grau 5 existem, mas eles não podem ser reduzidos para a equação binomial:

                        Z⁵ – m = 0

 

Ruffini reclama ter provado que a equação quíntica não pode ser resolvida por radicais, mas esta prova não é conclusiva, porque é baseada sobre a hipótese que estes radicais pode ser expressado como funções racionais de raízes. Era Abel que primeiro completou a prova por mostrar que radicais necessitam para resolver uma equação que pode ser mudada como funções racionais de raízes de equações e de certas raízes da unidade.

A prova de Ruffini não foi bem aceita recebida por seus contemporâneos e sucessores. Malfatti criticou esta e concluiu que ainda restava duvida quanto a solução geral da equação de grau 5 é impossível.

Carnot e Legendre expressaram duvidas similares.

Cauchy parece ter expressado que a prova de Ruffini como conclusiva, mas Abel expressou dúvidas.

 

 

 

 

 

 

VII – Cauchy.

 

a)      Breve histórico.

 

Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris logo após a queda da Bastilha. Cursou a Escola Politécnica, onde mais tarde foi professor, pois gostava muito de ensinar, e aceitou a cadeira de Monge na Academia quando este foi demitido. Ainda como estudante contou com o apoio de Laplace e Lagrange que se interessaram por seu trabalho.

Cauchy chegou a ser um dos engenheiros militares de Napoleão. Católico devoto e reacionário convicto, defendia vigorosamente a Ordem dos Jesuítas e quando Carlos X, seu rei, foi exilado, também deixou Paris, recebendo mais tarde o título de barão como recompensa por sua fidelidade.

Produziu grande quantidade de livros e memórias, a maioria dedicada à Matemática Pura e sempre dando ênfase às demonstrações rigorosas.

Uma de suas características marcantes era que, obtendo um novo resultado , logo tratava de publicá-lo, ao contrário do que fazia Gauss. Assim, contribuiu amplamente com suas memórias para o "Journal" da Escola Politécnica e para os "Comptes Rendus" (Notícias) da Academia, onde se aplicou, a partir de 1814, em teoria das funções de variáveis complexas, da qual é um dos criadores.

Data de 1812 seu primeiro trabalho sobre determinantes, com 84 páginas, passando a aplicá-los nas mais diversas situações como, por exemplo, na propagação de ondas.

Entre 1821 e 1829, publicou três obras que deram ao Cálculo elementar o caráter que tem hoje, definindo precisamente limite, derivada e integral; os conceitos de funções e de limites de funções eram fundamentais. Estas obras de Cauchy foram desenvolvidas quase ao mesmo tempo e com idéias semelhantes por Bolzano, um padre tcheco.

Cauchy está ligado a muitos teoremas sobre séries infinitas, essenciais à teoria das funções, e em Geometria conseguiu generalizar a fórmula poliedral de Descartes-Euler.

Em Teoria dos Números, provou o teorema de Fermat, um dos mais difíceis e produto de pesquisas iniciadas pelos pitagóricos cerca de 2300 anos antes.

Juntamente com Navier, cauchy foi fundador da teoria matemática da Elasticidade e também auxiliou o desenvolvimento da Mecânica celeste.

Cauchy, tanto quanto seu contemporâneo Gauss, contribuiu para quase todas as partes da Matemática e sua grande quantidade de obras publicadas só é superada por Euler.

            Abaixo uma imagem de Cauchy:

 

b)      Contribuição histórica.

 

Ruffini tinha provado que o numero de diferentes valores com uma função racional não simétrica não pode atingir mais que 5, a não menos que 2.

Cauchy generalizou este resultado de Ruffini para funções de n variáveis. Este artigo de 1818 contendo esta generalização é intitulado: “Sur la nombre de valeurs qu’une fonction peut acquerir, lorsqu’on y permute de tours lês manières possible lês quantités que’elle renferme”.

Seja n o número de variáreis independentes, e p o maior número primo contido em n. Cauchy provou: o número de valores diferentes de funções racionais não simétrica de n variáveis não pode ser menor que p, a não menos que 2.

Cauchy introduz uma distinção entre permutações e substituições. Se as n variáveis em alguma ordem, tem uma permutação. Uma substituição é a passagem de uma permutação para outra. A passagem da permutação 1.2.4.3 para 2.4.3.1 é denotada por:

                        (1 . 2 . 3 . 4)

                        (2.  4 . 3 . 1)

Galois usou a mesma terminologia, embora não consistentemente. Ele definiu a noção “grupo de substituição”. Em tempos depois, a “substituição” de Cauchy e Galois era chamada “permutação”, em acordo com o significado do verbo latino original permutare.

Cauchy também definiu produtos de substituições. O produto ST é obtido por representando S e depois T. A mesma convenção era usada por Galois.

Durante os anos de 1844-1846 Cauchy publicou uma seqüência de artigos sobre substituições. Ele chamou duas substituições “similares”, se elas se dividiram em ciclos no mesmo caminho.

Ele prova que P e Q são similares se e somente se é igual a R^-1PR. Ele também prova que a ordem de algum grupo de substituições é divisível pela ordem de alguma substituição no grupo, e que a ordem de algum grupo de substituições de n variáveis é um divisor de n!. O teorema final já tinha sido provado por Lagrange. A prova de Cauchy é a mesma como que a de Lagrange: o grupo de todas as substituições é posicionada na classe lateral do subgrupo. O mesmo método foi usado depois por Jordan, onde ela prova que a ordem de algum subgrupo de um grupo divide a ordem do grupo. Jordan generosamente atribuiu este teorema a Lagrange e Cauchy.

 

 

VIII – Niels Henrik Abel.

 

a)      Breve histórico

 

Niels Henrik Abel de família numerosa e pobre, era filho do pastor da pequena aldeia de Fíndo, na Noruega.

Aos 17 anos, seu professor insistiu para que lesse as grandes obras matemáticas, inclusive as "Disquísítiones" (Pesquisas) de Gauss. Nesta época, Abel conseguiu generalizar o teorema binomial que Euler só havia provado para potências racionais.

Aos 18 anos perdeu o pai e suas responsabilidades ficaram maiores quanto à família, mas mesmo assim continuou pesquisando e, em 1824, publicou num artigo a prova de que se o grau de uma equação é maior que quatro, não existe uma fórmula geral em função de seus coeficientes para achar suas raízes. Esta era uma dúvida que preocupava os matemáticos há muito tempo e que agora estava resolvida. Uma prova neste aspecto foi dada por Ruffini, anteriormente, mas passou desapercebida e por isso hoje conhecemos este resultado como o "Teorema de Abel-Ruffini", um dos mais importantes da Matemática.

Seu nome também está ligado a grupos abelianos, ou comutativos, e alguns de seus resultados foram publicados no Jornal de Crelle.

Em 1826, Abel visitou Legendre e Cauchy em Paris, numa tentativa de mostrar suas descobertas mas não obteve êxito e numa de suas cartas a um amigo escreveu "Todo principiante tem muita dificuldade em se fazer notar aqui. Acabei um extenso tratado sobre certas classes de funções transcendentes mas M. Cauchy não se dignou a olhá-lo".

Abel esperava obter um posto de professor em alguma Universidade e por isso deixou suas memórias com Cauchy para que fossem examinadas mas este logo as perdeu e ficaram esquecidas.

Devido á falta de recursos morreu aos 26 anos, de tuberculose, deixando profundos e importantes resultados em Álgebra e Teoria dos Números.

Dois dias após sua morte chegou finalmente a carta informando que havia sido nomeado professor na Universidade de Berlim.

Em 1830, Cauchy achou os manuscritos de Abel que foram publicados em 1841 pelo I instituto Francês e que Legendre classificou como "um monumento mais durável que o bronze", contendo importantes generalizações sobre funções elípticas.

Abaixo uma imagem de Abel:

 

 

 

 

b)      Contribuição histórica

 

Ainda nesta década, o extremamente dotado matemático Niels Henrik Abel (nascido em 1802) pensa que pode resolver a equação de grau 5, mas ele logo descobriu o erro. Na primavera de 1824 ele sucede em prover que a solução por radicais é impossível. De gasto pessoal, ele publicou um panfleto em francês intitulado: “Mémoire sur lês équations algébrique”, no qual ele apresentou uma prova completamente clara desta impossibilidade. Uma versão mais elaborada foi publicada em 1826.

Abel fez uso de resultados obtidos por Lagrange e Cauchy, concernindo o número de valores de uma função de n variáveis pode obter as variáveis são permutáveis. Portanto, o ponto essencial nesta prova é o primeiro passo, o qual é um tanto novo.

Abel inicia com uma equação:

(1)                   Y⁵ – aY⁴ + bY³ – cY² + dY – e = 0

 

no qual os coeficientes são “gerais”, que são justas letras ou variáveis independentes. Supondo que podemos expressar y como uma função de coeficientes por meio de radicais,
Abel inicia escrevendo y como:

            (2)                   Y = p + p₁R^1/m + p₂R^2/m + ... +p_m-1R^(m-1)/m

 

onde m é um número primo. As quantidades R, p, p₁,..., p_m-1 são supostas para ser expressa da mesma forma como y, envolvendo outros radicais, e assim até chegar nas funções racionais de coeficientes da equação original. Na terminologia de Galois, inicia-se com o corpo de funções racionais de a, b, c, d, e com coeficientes constantes, e um “adjacente” a um só radical com expoente primo depois do outro. Entre os coeficientes constantes Abel sempre incluindo a m-ésima raiz da unidade, quando m é algum expoente primo usado na solução.

            Podemos supor, disse, Abel, que R^1/m não pode ser expressa como uma função racional de a, b,..., p, p₁, p₂,... de outro  modo a adjunção dos radicais serão supérfluos. Podemos também supor que em (2) nem todos os coeficientes p₁, p₂,... são nulos.

            Neste artigo supõe Abel que p₁ ¹ 0 (no segundo artigo ele mostra que a restrição não é essencial). Agora substituindo R por R/ p^m₁, podemos fazer p₁ = 1. Colocando R^1/m = z, temos:

            (3)                   Y = p + z + p₂z³ + ... + p_m-1z^m-1 .

 

            Substituindo este valor em (1), obtemos um resultado da forma:

(4)                   q + zq₁z + q₂z² + ... + q_m-1z^m-1 = 0

 

no qual q, q₁, q₂, ... são  polinômios em a, b,..., p, p₁, p₂,... e R.

            Agora vem o passo crucial. Abel afirma: para (4) valido, é necessário que:

                                   q = 0, q₁ = 0, ..., q_m-1 = 0

 

            A prova é muito ingênua. As duas equações (4)  e

            (5)                   z^m – R = 0

 

tem uma raiz z em comum. Se q, q₁, q₂, ... são não nulos, o número de raízes que eles tem em comum é no máximo m-1. Seja k este número. Então, por cálculos o maior divisor comum dos polinômios sobre o lado esquerdo de (4) e (5), podemos achar uma equação de grau k:

            (6)                   r + r₁z +r₂z² + ... + r_kz^k = 0

 

            Para a continuação da prova seguiremos a exposição simplificada do segundo artigo de Abel. Se o polinômio sobre o lado esquerdo de (6) é fatorado, um dos fatores pode ser zero. Assim, obtemos uma equação irredutível para z:

            (7)                   t₀ + t₁Z ... + t_m-1Z^m-1 + Z^m = 0.

 

            Podemos supor, disse Abel, que é impossível achar uma equação da mesma forma de maior grau. Esta equação tem m raízes em comum com a equação (5).

            Agora todas as raízes desta ultima equação são da forma az. O grau m é maior do que 2, de outro modo z será uma função racional de em a, b,..., p, p₁, p₂,... Segue que a equação (7) tem pelo menos duas raízes z e az:

(8)                                       t₀ + t₁Z ... + t_m-1Z^{m -1} + Z^m = 0

t₀ + at₁Z ... + a^{m -1}t_m-1Z^{m -1} + a^mZ^m = 0

 

            Multiplicando a primeira equação por a^m e subtraindo da segunda, obtemos uma equação de grau menor que m, o qual é impossível. Portanto em (4), todos os coeficientes, q, q₁,..., q_m-1 tem que ser zero.

            A equação (4) obtida por substituição de (3) em (1) e usando (5). Agora (5) é satisfeita não somente por z, mas também por:

                                   az, az², ..., a^m-1z

 

            Portanto, substituindo R^1/m em (2) por a R^1/m,..., sempre obtêm raízes da equação (1). Estas raízes são diferentes, portanto m não pode ser maior que 5, e as raízes assim obtidas são chamadas y₁,..., y_m temos:

                                   Y₁ = p + z + p₂z²  + ... +p_m-1 z^{m -1}

                                   Y₂ = p + az + a² p₂ z² + ... +a^{m -1}p_m-1 z^{m - 1}

                                               ...

Y_m = p + a^{m -1}z + a^{m -2}p₂ z² + ... +ap_m-1 z^{m - 1}

 

            Estas equações podem facilmente ser resolvidas por pz, p₂z²,..., p_m-1z^m-1. Segue que p, p₂,..., p_m-1 e z = R^1/m são funções racionais de raízes y₁,..., y₅ da equação (1). Segue que, R = z^m é também uma função racional das raízes.

            A quantidade R pode ser dada como uma função racional de um radical anterior v^1/n.

            Esta função pode ser escrita como:

            (9)                   R = S + v^1/n + S₂v^2/n + ... + S_n-1v^(n-1)/n

 

            Se esta quantidade é tratada no mesmo caminho com a equação de (2) de y, vemos que qualquer adjunção de v^1/n é desnecessário, ou as quantidades v^1/n, S, S₂,... pode ser expressa como funções racionais da raízes y₁,..., y₅. Por repetição, a mesma razão concluímos que todas as quantidades irracionais ocorrendo na expressão das raízes y são funções racionais destas raízes.

            Esta é justamente a hipótese do qual Ruffini inicia a prova da insolubilidade da equação de grau 5. Esta hipótese é agora completamente justificada.

            Deste ponto prossegue, Abel era capaz de usar os métodos e resultados de Lagrange, Ruffini e Cauchy. Em particular, ele usou o resultado de Cauchy o qual diz que o número de valores de uma função racional pode não ser 3 ou 4, o qual implica que o número m pode somente ser 2 ou 5. Abel discute os dois casos m = 5 ou m = 2 separadamente, ele conclui que em ambos os casos a solução da equação de grau 5 geral por radicais é impossível.

            Dois meses depois de sua morte, em 1829, Abel teve publicado outro artigo, intitulado: “Mémoire sur une classe particulière d’équations résoluble algébriquement”.

            Este trabalho com uma classe particular de equações de todos os graus o qual são resolvidos por radicais. Para esta classe pertencer à equação ciclotômica Xⁿ – 1 = 0, ele provou o resultado mais geral: “Se as raízes de uma equação são que todas raízes pode ser expressadas como funções racionais de uma delas, diz x, e se as duas raízes, diz xq e q₁x (quando q e q₁ são funções racionais) são conectadas em tal caminho que:

            (10)                             qq₁ = q₁qx,

então a equação pode ser resolvida por radicais. Hoje, grupos no qual multiplicação é comutativa são chamados Abelianos, e equações que têm a propriedade (10) são chamados, desde Kronecker (1853), equações Abelianas.

            O teorema de Abel inicia com um caso especial de um teorema da teoria de Galois, o qual diz: uma equação é resolúvel por radicais se, e somente se o grupo G é resolúvel, que é, se G possui uma composição em série:

                                   G É H₁ É H₁ É ... É H_m = E.

 

no qual todos os índices são números primos.

É fácil ver que cada grupo finito Abeliano é resolúvel. Galois apresenta a prova deste teorema principal para a Academia de Paris em maio de 1829, no ano no qual o artigo de Abel era publicado.

Abaixo uma imagem da página do artigo de Abel.