Álgebra na Itália
(i)
Introdução
Os métodos al-jabr e al-muqabala ficaram conhecidos na Europa pelas traduções latinas de al-Khwarizmi por Gerald de Cremona, e depois por Leonardo de Pisa (Fibonacci). Através da discussão de trabalhos destes autores surgiu a necessidade de livros didáticos sobre as condições econômicas do comercio italiano.
No início da Idade Média o comércio era principalmente baseado em permutas, sendo pouca a circulação monetária. A atividade comercial ficava nas mãos de viajantes que transitavam por portos do norte da África e Oriente Próximo.
No século treze a característica desta economia mudou radicalmente, pois com a melhoria da navegação os perigos diminuíram e aumentou a circulação de moedas, que fez a economia crescer e se tornar preponderantemente monetária. Aos poucos surgiu o comércio bancário e finanças internacionais.
O controle desta grande quantidade de representantes comerciais era mantido pela troca de cartas e notas de crédito.
A vida de um comerciante era muito diferente da que dos viajantes predecessores. No início do comércio medieval eram pequenos lojistas. Eles faziam as contas necessárias em ábacos. Por outro lado, os comerciante e banqueiros escreviam e recebiam cartas de crédito, notas de cambio e assim por diante. Eles tinham que calcular preços, computar pagamentos, aferir lucros e prejuízos. Para todas estas operações, eles precisavam de um sistema eficiente de escrever números e executar cálculos escritos. Os números romanos eram também incômodos: os numerais indo-arábicos eram muito mais eficientes. O crédito para o desenvolvimento deste sistema e adaptação para a prática comercial pertence em particular a um grupo de homens, os chamados “abacistas”.
(ii)
Vida e obra de Fibonacci
A vida de Leonardo de Pisa é bem conhecida através da introdução de seu mais famoso trabalho “Líber abaci” (1202).
Leonardo nasceu em 1175 em Pisa, e morreu em 1250, presumivelmente em Pisa. Daí o nome ser Leonardo de Pisano (Leonardo de Pisa), mas é mais conhecido como Fibonacci, um nome que provavelmente veio do latim “filio Bonacci” (filho de Bonaccio). Não há evidencia clara quanto a isto. O nome pode ter sido dado quando ele estava na escola. Leonardo era referido com “Bigollo”, que no dialeto toscano significa viajante.
O pai de Fibonacci, Guilielmo Bonacci, era um marechal de Pisa, que por volta de 1192 tinha o posto de diplomata no norte da África. Guilielmo estava em Bugia (agora Argélia). Bugia colocou-o perto da foz do Wadi Soummam, perto do Monte Gouraua e do Cape Carbon. Guilielmo devia ser o principal representante mercantil da república de Pisa.
Fibonacci viajou largamente na Barbaria com seu pai, e depois foi enviado a uma viagem de negócios ao Egito, Síria, Grécia, Bizâncio, Sicília , sudeste da França e Provença. Ele parece ter aprendido muita desta matemática na Barbaria. Em particular, ele observou o mercado árabe usando um notável sistema para escrita de números e fazendo aritmética. Depois que terminou sua viagem e retornou a Pisa em 1200, ele escreveu (em latim) um número de livros matemáticos, somente alguns dos quais sobreviveu até estes dias.
Durante os próximos 25 anos ele escreve estes livros, dos quais cinco foram preservados:
1 – “Líber abacci” (1202, revisada em 1228).
2 – “Practica geometriae” (1220).
3 – Um livro chamado “Flos” (1225).
4 – Uma carta do filósofo Theodorus, que viveu na Sicília.
5 – “Líber quadratorum” (1225).
Um tratado sobre o livro X dos “Elementos” de Euclides, contém um tratamento numérico dos irracionais, o qual Euclides fez geometricamente, foi perdido.
Em um artigo da revista The American Mathematical Monthly, é citado que seu último trabalho teria sido “Di Minor Guisa”, um livro sobre aritmética comercial.
(iii) Fibonacci na corte de Frederico II.
Outro fato importante refere-se ao reconhecimento que Leonardo tinha na corte de Frederico II.
Quando em 1225, Frederico II se apoderou da corte de Pisa, o astrônomo Dominicus apresentou Leonardo ao Imperador. Nesta ocasião, Giovanni de Palermo propôs vários problemas, os quais Leonardo resolveu prontamente.
O primeiro era, dado um número X tal que X + 5 e X - 5 são números quadrados. Uma solução seria:
X = 3.5/12, X² + 5 = (4.1/12)², X² – 5 = (2.7/12)²
Estes problemas eram apresentados com provas no livro “Flos”, o qual Leonardo enviou a Frederico II.
No “Líber quadratorum” a solução era deduzida por um método que será explanado no item referente mais à frente.
O segundo problema proposto a Leonardo era resolver a equação cúbica:
X³ + 2X² + 10X = 20 (1).
No livro “Flos”, ele provou que a solução não é um inteiro, nem uma fração, e nem um dos números irracionais definidos no livro X dos Elementos de Euclides. Ele apresentou uma solução aproximada na forma sexagesimal como:
1;22, 7;42;33, 4;40.
Esta exatidão de Leonardo é admirável, pois se ele tinha aplicado o “método da falsa posição dupla” explanada no Líber abacci, que é o método linear de interpolação entre um valor menor X1 e um maior X2, ele teria obtido uma pequena aproximação. É possível que ele tenha usado o chamado método de Horner. Este método, adaptado ao sistema sexagesimal, consiste em colocar X = 1 + Y1 e obtemos uma equação para Y2, e assim segue.
Este método era conhecido em princípio por autores chineses no tratado: “Nove capítulos da arte matemática” (Chiu Chang Suan Shu), que viveu no período Han, isto é, entre 150 a.C. e 150 d.C. O método era também conhecido pelo matemático árabe Jamshid al-Kashi. Este método foi descoberto por Paolo Ruffini (1804) e por W. G. Horner (1819).
Em 1240, a república de Pisa premiou o “grandioso e erudito Mestre Leonardo Bigolli” com um salário anual de 20 libras de prata “além da mesada anual, em reconhecimento deste proveito da cidade e dos cidadãos através deste professor e devotados serviços”.
Abaixo será discutido um pouco das obras de Fibonacci.
(iv)
Líber abacci
O titulo “líber abacci” é algumas vezes traduzido como “o livro do ábaco”, mas é mais chamado de “livro do cálculo”, já que não diz nada sobre o uso de um ábaco, descrevendo o método que elimina a necessidade para tal.
“Líber abacci”, o livro que deu os números ao mundo ocidental tem mais de 800 anos de idade, mas não foi o primeiro livro na Europa a descrever o novo sistema numeral. Por exemplo, no nono século, o matemático árabe al-Khwarizmi escreveu sobre tal exposição, que depois de 1140, várias escolas traduziram para o latim e outras línguas da Europa ocidental.
Foi durante o período de traduções do século doze e treze que ocorreu a confusão quanto ao nome de al-Khwarizmi que levou à palavra “algoritmo”.
No século treze, autores de várias classes sociais ajudaram a popularizar o “algorismo”, dentre eles estava John Halifax (1200-1256), também conhecido como Sacrobosco, e Leonardo de Pisa.
Primeiro vamos apresentar um pouco de Halifax. e o contraste com Leonardo de Pisa. O Algorismos Vulgaris de Sacrobosco era uma exposição prática de computação, o qual apresenta no capítulo onze tópicos tais como adição, subtração, multiplicação, divisão, raízes quadradas e raízes cúbicas. O “líber abacci”, contudo, tornou-se mais influente. Outras traduções escritas e lidas sobre o sistema de números não viram aplicações comerciais, enquanto que o líber abacci foi escrito somente para o mercado. Fibonacci esforçou-se muito para explicar os conceitos de modo altamente práticos, apresentando muitos exemplos da vida diária.
A exposição escrita por Fibonacci fez dele algo como uma celebridade, e chegando hoje a ser reconhecido como um grande teorista dos números durante o século treze, sendo o maior entre Diofante no século quatro e Fermat no século dezessete.
Passemos agora de fato à exposição do “Líber abacci”, que depois de sua edição primeira lançada em 1202, teve uma segunda em 1228. Nesta “novo material tem sido acrescentado e removido supérfluos”.
A seguir uma breve descrição dos capítulos do Líber abacci:
· Os capítulos 1 a 7 os numerais “indu-arábicos” são introduzidos, e métodos de calculo com inteiros e frações ensinados.
· Os capítulos 8 a 11 contem problemas que concerne ao comércio.
· Os capítulos 12 e 13 contem vários tipos de problemas recreativos.
· O capítulo 14 é desenvolvido para cálculos de raízes quadradas e raízes cúbicas.
· No capitulo 15 ele resolve algumas equações de segundo grau.
Abaixo serão detalhados alguns capítulos do “líber abacci”.
No capítulo 8 é mostrado o notável problema dos trinta pássaros. Ele compra 30 pássaros: patridge, pardais e pombos. Um patridge custa 3 moedas de prata, um pombo 2, e um pardal ½. Ele pagou com 30 moedas. Quanto custou cada pássaro?
O problema é resolvido pelo par de equações:
X + Y + Z = 30
3X + 2Y + ½ Z = 30
onde X, Y, Z são inteiros positivos. A solução é somente X=3, Y=5, Z=22.
Este problema é uma variante do “problema dos 100 pássaros”, de origem chinesa, indiana e árabe.
Nos capítulos 12 e 13 são mostrados vários problemas recreativos, alguns ensinando equações lineares, com uma, duas ou três equações, as quais podem ter uma, duas ou três incógnitas. Assim, nas pagina 228 – 243 encontrada uma seqüência de problemas relativo ao “comprando cavalos”. Leonardo inicia com um simples caso de duas pessoas. Uma disse à outra: “Se você me der um terço de seu dinheiro, eu compro um cavalo”. O outro replica: “Se você me der um quarto de seu dinheiro, eu posso comprar um cavalo”. Se S é o preço do cavalo, nos temos duas equações lineares com X e Y desconhecidos:
X + 1/3Y = S
Y + ¼ X = S
O problema é indeterminado, pois S não é dado. A solução em inteiros é dada como:
X=(3 – 1)x4=8
Y=(4 – 1)x3=9
S=3x4 – 1x1=11.
A seguir ele mostra outro problema similar, foi retirado da Aritmética de Diofante (I, 24).
Alguns destes problemas de “comprando cavalos” ocorreram num livro de al-Karaji e em outros de origem árabe bizantina.
Uma invenção original de Leonardo é “série de Fibonacci”:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
em que cada termo é a soma de dois termos precedentes. Leonardo obteve a solução do problema: “Quantos pares de coelhos podem ser produzidos de um simples par em um ano se cada par produz um novo par a cada mês, o qual do segundo mês tornam-se produtivos, e se sua morte não ocorre?”.
No capitulo 14 Leonardo inicia por apresentar alguns teoremas do livro II de Euclides de forma numérica, omitindo suas provas, “porque eles são todos de Euclides”. Para raízes quadradas ele tem bem conhecida uma aproximação:
_____
√ a² + r ~ a + r/2a
Para raízes cúbicas, Leonardo apresenta uma primeira aproximação:
_____
³√ a² + r ~ a + r/[(a + 1)³ - a³] (4)
e uma segunda aproximação:
a2 = a1 + r1/[3a1(a + 1)] (5)
A primeira aproximação era bem conhecida de al-Nasawi. De fato, é uma simples aplicação da regra da “dupla posição falsa”. Para a segunda aproximação, Leonardo diz: “Eu tive que inventar esse modo para achar raízes”.
Exemplos para estas operações com radicais são:
________ _________
√4 + √ 7 + - √4 - √ 7 = √14 (6)
e
___ ___________________
4 + ²·²√10 = √16 + √10 + 8√10 . (7)
O capitulo 15 é divido em três seções. Na primeira ele resolve o par de equações:
6:X=Y:9 (8)
e
X + Y
= 21 (9)
como
segue. De (8), segue:
XY=54
e
a seguir, usando Euclides II, 5:
[(X
- Y)/2]² = [(X + Y)/2]² - XY = (21/2)² - 554 = 225/4,
Desde de que X – Y
= 15, X = 18, Y = 3.
Na segunda seção Leonardo apresenta aplicações do Teorema de Pitágoras.
A terceira seção é a mais extensa (pg. 406 – 459). Contém um tratado sistemático de equações lineares e quadráticas. Citando “Maumeth”, isto é, Muhammad bem Musa al-Khwarismi, Leonardo resolve as seis formas normais:
aX² = bx
aX² = c
bX = c
aX² + bX = c
aX² + c = bX (duas soluções)
aX² = bX + c.
A incógnita X é chamada radix, quadrado ou census, e o termo constante C numerus. Os métodos de soluções são ilustrados por vários exemplos.
O primeiro exemplo de equação quadrática mista é de algumas como na álgebra de al-Khwarismi, a saber:
“census et decem radicis equantur 39”, ou,
X² + 10X = 39.
A solução é ilustrada por:
(Fig. 10).
Leonardo também inclui equações que podem ser reduzidas por equações quadráticas. Assim, o conjunto de equações:
Y = 10/X (10)
Z =
Y²/X
(11)
Z² = X²+ Y² (12)
conduz
à equação de X⁴:
X⁴·² + 100X⁴ = 10000 (13)
(v)
“Practica
geometriae”
Este trabalho de Leonardo existe ainda em nove manuscritos.
Este livro apresenta problemas de medidas para leigos, e segundo a edição de Boncompagni, este trabalho é de interesse cientifico e resolve problemas de acordo com o método da prova.
Leonardo tinha estudado o “Líber embadorum” de Plato de Tivoli (1145) e especialmente feito grande seção de problema com valores numéricos. Este trabalho era uma compilação da geometria de Savasorda (Abraham bar Hiyya), escrito em hebraico, no qual eram reproduzidos conhecimentos árabes. Entretanto era em sua maior parte baseado numa versão árabe da Divisão de Figuras de Euclides (hoje perdida) e nas obras de Heron sobre mensuração.
O livro contém, por exemplo, uma prova de que as medianas de um triângulo se dividem na razão de 2 para 1, e um análogo tridimensional do teorema de Pitágoras. Continuando uma tendência babilônica e árabe, ele usava álgebra para resolver problemas geométricos.
O “Practica geometriae” é dividido em oito capítulos, o qual eram precedidos por uma introdução. No final os conceitos básicos são explanados, como eram os postulados e axiomas de Euclides, e também medidas de superfícies medidas em Pisa.
No primeiro capítulo a duplicação do cubo por Archytas, Bizâncio e Platô é demonstrada sem referência de origem. As soluções de Platô e Archytas, Leonardo fez do Verba filiorum do Banu Musa, um trabalho de tradução de Gerard de Cremona. Aqui Leonardo teve em especial uma fonte: “De triangulis” (de Philo).
O terceiro capítulo fornece um tratado (com demonstrações exatas) de cálculos de segmentos e superfícies de figuras planas: o triângulo, o quadrado, o retângulo, losango, trapézio¸ polígono e círculos. Para o círculo é aplicado o polígono de Arquimedes de noventa e seis lados, π é determinado como 864:275 ~ 3.141818... .
O quarto capítulo é devotado à divisão de superfícies, onde este é baseado no “Líber embadorum”, que derivou de Euclides (Livro Sobre Divisões de Figura).O final deste capítulo foi feito pela reconstrução dos textos de Plato Tivoli.
No sexto capítulo Leonardo discute volumes, incluindo poliedros regulares, em conexão com as proposições do livro XIV de Euclides.
O sétimo capítulo contém o cálculo da altura de objetos, e onde são dadas as regras de similaridade de triângulos; nestes casos os ângulos são obtidos por meio de um quadrante.
No oitavo capítulo Leonardo apresenta o termo “geometria fina”. Aqui ele calcula os lados do pentágono e o decágono, e o diâmetro dos círculos inscritos e circunscritos.
(vi)
O livro “Flos”.
Este livro contém uma variedade de resoluções dos problemas propostos por Giovanni Palermo e em acréscimo a estas soluções, o livro contém alguns exemplos de problemas indeterminados. Em alguns casos soluções negativas são tratadas com débitos.
(vii)
A carta a Theodorus
O principal objetivo desta carta (Scritti di Leonardo Pisano II, páginas 247 - 252) é o “Problema dos 100 pássaros”, uma variante já discutida no “Líber abaci”. Na carta, Leonardo desenvolve um método geral para a solução indeterminada de problemas.
Segue um problema geométrico: Um pentágono regular é inscrito num circulo eqüilátero. A solução é tomada através do ponto onde uma equação quadrática é estendida, e então uma aproximação sexagesimal é apresentada.
(viii)
O “Liber
quadratorum”
O principal objetivo deste livro é a solução do par de equações Diofantinas:
X² + 5 = Y²
X² - 5 = Z².
Como estamos vendo, era um problema que Giovanni Palermo tinha proposto a Leonardo. Ele primeiro generalizou o problema para:
X² + C = Y² (14)
X² - >C = Z².
Se X² e C formam uma solução deste problema, Leonardo chama o numero C congruum e o X² quadratus conguentus.
O par de equações (14) é resolvido como segue.
Somando, obtemos:
2X² = Y² + Z². (15)
Por substituição Y = u + v e Z = u – v, esta equação pode ser reduzida para:
X = a² + b² , u = 2ab, v = a² - b².
Se a e b são ambos independentes, esta solução pode ser dividida em duas:
X = (a² + b²)/2, u = ab, v =( b² - a²)/2.
Assim, Leonardo obtém o teorema:
“Se a e b são primos inteiros, e b > a, temos:
(i) Se a e b são ambos ímpares, então C = ab(b - a)(b + a) é um côngruo, e é congruente o quadrado:
X² = [(a² + b²)/2]².
(ii) Se a é impar e b é par ou vice-versa, então C = 4ab(b - a)(b + a) é côngruo, e é congruente o quadrado:
X² = (a² + b²).
Para a = 1 e b = 9, Leonardo acha:
C = 720 = 5 x 12²
e
X
= 41, Y = 49, Z = 31.
Dividindo X, Y, Z por 12, Leonardo obtém uma solução para outros valores de C. Estes sucessores calcularam soluções para ainda mais valores de C.
O método de Leonardo difere do método de Abu Ga’far Muhammad ibn
al _hussain, que também tinha alguns problemas.
O tratado de Abu Ga’far “Sobre a construção de triângulos retângulos com lados racionais”, em que esta solução está contida.
(ix)
Seqüência de
Fibonacci (Propriedades).
a)
Números de
fibonacci.
Em 1202, Leonardo de Pisa
(Fibonacci) matemático e comerciante, escreveu um livro denominado Liber Abacci, livro este que chegou a
nós, graças à sua segunda edição datada de 1228. Este livro contém uma
quantidade grande de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época
e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos
séculos seguintes, pois foi através deste livro que os europeus vieram a
conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos.
A teoria contida no livro Liber Abacci é ilustrada com muitos
problemas que representam uma grande parte do livro. Um dos problemas que pode
ser encontrado nas páginas 123-124 deste livro é o problema dos pares de
coelhos (paria coniculorum).
|
Problema |
Quantos pares de coelhos podem
ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em
um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos
podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês
ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando
completa dois meses de vida. |
Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no
início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos
e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par
adulto + 1 par recém nascido.
No início do terceiro mês o par adulto haverá produzido
novamente mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e
ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão
três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par
recém nascido.
No início do quarto mês, existirão dois pares adultos sendo
que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo
teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.
No início do quinto mês, existirão três pares adultos sendo
que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de
vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém
nascidos.
No início do sexto mês, existirão cinco pares adultos sendo
que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês,
assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 pares com 1 mês + 5 pares recém
nascidos.
Tal processo continua através dos diversos meses até
completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também
pode-se perceber que a seqüência numérica, conhecida como a seqüência de Fibonacci, indica o número
de pares ao final de cada mês:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
Esta seqüência de números tem uma característica muito
especial denominada recursividade:
somando o primeiro com o segundo
obtemos o terceiro
somando o segundo com o terceiro obtemos o quarto
somando o terceiro com o quarto obtemos o quinto
e assim por diante.
Se denotarmos a seqüência u=(un) com un representando o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:
u1 + u2 = u3
u2 + u3 = u4
u3 + u4 = u5
u4 + u5 = u6
... ... ...
que é uma propriedade recursiva,
isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No
final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.
Abaixo uma ilustração referente ao problema dos coelhos:
b) Conexão
com número de ouro.
De que forma ocorre esta
conexão com a razão de ouro Phi? Na verdade a seqüência de Fibonacci é dada
por:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...
e os termos desta seqüência
são denominados números de Fibonacci. Pode-se tomar a definição desta seqüência
para todo n natural, como:
u1=1 , u2=1
un+1 = un-1 + un
Pelo que se observa, esta
seqüência não é limitada superiormente, mas existe um fato excepcional: se
tomarmos as razões de cada termo pelo seu antecessor, obteremos uma outra
seqüência numérica cujo termo geral é dado por:
fn = un+1 / un
que
é limitada. Quando
n tende a infinito o limite é exatamente Phi, o número de ouro.
Consideremos a seqüência de
Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..) e a divisão de cada número pelo seu
antecessor, para obter a seqüência:
1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3=1,666..., 8/5=1,6, 13/8=1,625, ...
É fácil perceber o que
ocorre quando colocamos estas razões em um gráfico em função dos números de
Fibonacci:
As razões vão se aproximando
de um valor particular, conhecido como Número de Ouro, também chamado Número
Áureo, é freqüentemente representado pela letra grega Phi:
Phi = 
=
1.618033988749895
Existem muitas seqüências
que têm as mesmas propriedades que a seqüência de Fibonacci. Por exemplo:
5, 9, 14, 23, 37, 60, 97, ...
-8, -4, -12, -16, -28, -44, ...
A seqüência de Lucas é dada por:
1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ...
Podemos mesmo considerar uma
seqüência de Fibonacci generalizada, onde z1=a, z2=b e
tomar para todo n natural:
zn+1 = zn-1 + zn
Teremos então:
a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b, ...
Fica fácil observar que
zn = a un-2 + b un-1
onde un é a seqüência normal de Fibonacci.
As diferenças entre elas
estão relacionadas com a questão da convergência das razões de seus termos
gerais pelos respectivos antecedentes, mas o valor Phi é exatamente o mesmo em
qualquer caso.
c) Algumas
propriedades dos números de Fibonacci.
- Soma dos n primeiros números de
Fibonacci
u1
+ u2 + u3 + ... + un-1 + un = un+2
- 1
Como:
u1 = u3 - u2
u2 = u4 - u3
u3 = u5 - u4
u4 = u6 - u5
... ... ...
un-1 = un+1 - un
un = un+2 - un+1
Somando membro a membro todas as igualdades
acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo
membro, observando que u2=1.
- Somas dos números de Fibonacci de
ordem ímpar
u1
+ u3 + u5 + ... + u2n-1 = u2n
Como
u1 = u2
u3 = u4 - u2
u5 = u6 - u4
u7 = u8 - u6
... ... ...
u2n-1 = u2n - u2n-2
Somando membro a membro todas as igualdades
acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo
membro.
- Somas dos números de Fibonacci de
ordem par
u2
+ u4 + u6 + ... + u2n
= u2n+1 - 1
Como a soma de todos os
números de Fibonacci até a ordem 2n é:
u1 + u2 + u3
+ ... + u2n-1 + u2n = u2n+2
-1
e a soma dos números de Fibonacci de ordem ímpar até 2n-1
é:
u1 + u3 + u5
+ ... + u2n-1 = u2n
então, subtraindo membro a membro as duas igualdades,
restará somente a soma dos números de Fibonacci de ordem par no primeiro membro
e u2n+1 - 1 no segundo membro.
- Soma alternada dos números de
Fibonacci
u1-u2+u3-u4+u5-...+
(-1)n+1 un = (-1)n+1 un-1 + 1
- Soma dos quadrados dos números de
Fibonacci
u12
+ u22 + u32 + u42
+ ... + un2 = un un+1
Primeiro observamos que para todo k natural, temos que:
uk uk+1 - uk
uk-1 = uk (uk+1 - uk-1) = uk
uk = uk2
Assim:
u12 = u1
u2
u22 = u2 u3 - u2 u1
u32 = u3 u4 - u3 u2
u42 = u4 u5 - u4 u3
u52 = u5 u6 - u5 u4
...
un2 = un un+1 - un un-1
Somando membro a membro todas as igualdades
acima, obtemos o resultado desejado após o cancelamento que aparece no segundo
membro.
- Número de Fibonacci de ordem n+m.
Usando o Princípio de
Indução Matemática sobre m natural, é possível mostrar que:
un+m
= un-1um +unum+1
7. Fórmulas
do deslocamento de Fibonacci.
Quando se estuda as fórmulas
do deslocamento de Fibonacci:
un = 2 un-2 + 1 un-3
un = 5 un-4 + 3 un-5
podemos observar o aparecimento de constantes como 1, 2, 3
e 5 (nas fórmulas acima) que são exatamente os primeiros números de Fibonacci.
Chega-se a:
un = uk+1
un-k + uk un-k-1
d) Números
de Fibonacci e o triângulo de Pascal.
Denotaremos por Cm,n
a combinação de m elementos tomados n a n, como:
|
|
|
m! |
|
Cm,n |
= |
---------- |
|
|
|
n! (m-n)! |
onde n! é o fatorial de n.
O triângulo de Pascal pode
ser obtido numericamente, somando-se dois números consecutivos da mesma linha com
o resultado colocado sob o segundo somando
ou através das combinações que aparecem na tabela da direita, logo abaixo:
|
|
A altura de uma
combinação Cm,n é a soma dos índices que aparecem na combinação,
isto é:
altura(Cm,n) = m+n
Por exemplo, as alturas das
combinações C6,0, C5,1, C4,2, C3,3 são
todas iguais a 6 e observamos que o 7o. termo da seqüência de Fibonacci é dado
por:
u7 = C6,0
+ C5,1 + C4,2 + C3,3
Esta é uma propriedade que
relaciona o triângulo de Pascal com os números de Fibonacci, mostrando que a
soma de todas as combinações Cm,n que aparecem no triângulo de
Pascal, com uma mesma altura p de tal modo que p=m+n e m>n,
corresponde ao termo de ordem p+1 da seqüência de Fibonacci, isto é:
up+1 = Cp,0 + Cp-1,1 + Cp-2,2 + Cp-3,3 + ... + Cp-n,n
sendo que p deve ser maior ou igual que 2n.
e) Propriedades
lineares das seqüências de Fibonacci .
Consideremos a equação
recursiva de Fibonacci:
un+1 =
un-1 + un
válida para todo inteiro n>1.
- Soma de seqüências de Fibonacci.
Sejam {vn} e {wn} duas seqüências que satisfazem
à equação recursiva de Fibonacci e zn=vn+wn,
então:
zn+1 = zn-1 + zn
o que significa dizer que a soma de seqüências de Fibonacci
é uma outra seqüência de Fibonacci.
- Multiplicação de uma seqüência de
Fibonacci por escalar.
Seja {vn} uma seqüência que satisfaz
à equação recursiva de Fibonacci e k é um escalar real, então a seqüência k(vn)=kvn
satisfaz:
kvn+1 = kvn-1 + kvn
o que significa que o produto de uma seqüência de Fibonacci
por um escalar é ainda uma outra seqüência de Fibonacci.
Mostraremos agora que uma
combinação linear de seqüências de Fibonacci é ainda uma seqüência de
Fibonacci.
- Combinação linear de seqüências de
Fibonacci.
Se {vn} e {wn} são seqüências de Fibonacci
não proporcionais, então qualquer
seqüência un de Fibonacci pode ser escrita como combinação linear de
{vn}
e {wn}.
Demonstração: Sabemos que se a/b=c/d,
então a/b=(a+c)/(b+d). Usaremos este fato para mostrar inicialmente que:
v1 / w1 é diferente de v2 / w2
usando a demonstração por absurdo. Negando a tese, vamos
assumir que:
v1/w1 = v2/w2
Pela propriedade das
proporções:
v1/w1 = (v1+v2)/(w1+w2)
= v3/w3
De forma análoga, mostramos
que:
v3/w3 = v4/w4 = v5/w5 = v6/w6 = ... = vn/wn = ...
o que mostra que estas seqüências vn e wn
são proporcionais, o que é um absurdo, logo é correto afirmar que:
v1/w1 é diferente de v2/w2
e esta última relação equivale a afirmar que:
v1 w2 - v2 w1 é diferente de zero
Este cálculo será usado mais
à frente na regra de Cramer.
Consideremos agora uma
seqüência de Fibonacci tal que:
u1 = a v1 + b w1
u2 = a v2 + b w2
A partir de u1 e
u2 podemos construir uma seqüência de Fibonacci que é combinação
linear de vn e wn. Resolvendo o sistema com duas equações
e duas incógnitas a e b:
u1 = a v1 + b w1
u2 = a v2 + b w2
teremos, pela Regra de Cramer, que:
a = (u1w2 - u2w1)/(v1w2
- v2w1)
b = (v1u2 - v2u1)/(v1w2
- v2 w1)
e dessa forma podemos garantir que para todo n natural,
existem escalares a e b tal que:
un = a vn + b wn
f)
Fórmula de Binet.
Esta última propriedade
obtida nos garante que para obter todas as soluções da equação recursiva de
Fibonacci:
un+1 = un-1 + un
válida para todo inteiro n>1, basta obter
quaisquer duas soluções não proporcionais, assim pela propriedade linear da multiplicação
por escalar, podemos escolher uma seqüência de Fibonacci cujo primeiro termo
seja igual a 1.
Vamos considerar então a
seqüência de Fibonacci wn que seja uma progressão geométrica com w1=1
e a razão não nula q, isto é:
wn = qn-1
Para que esta seqüência seja
de Fibonacci, devemos ter que:
wn-1 + wn
= wn+1
ou seja
qn-2 + qn-1 = qn
que se reduz a:
1 + q = q2
Resolvendo esta equação do
segundo grau obtemos as duas raízes:
q1 =
e q2 = 
observamos que:
q1 + q2
= 1
q1 q2 = -1
Para cada raiz, obtemos uma
seqüência de Fibonacci, logo podemos construir {vn} e {wn} através de:
vn = q1n-1
wn = q2n-1
e {un} pode ser escrita como
combinação linear de {vn} e {wn}, isto é:
un = a vn + b wn
que pode ser escrito como
u(n) = a ()n-1 + b ()n-1
e esta é a forma mais geral possível para uma seqüência de
Fibonacci, logo se tomarmos em particular:
a + b = 1
a q1 + b q2 = 1
teremos que:
, 
e substituindo na expressão
de un, obtemos a Fórmula de
Binet:
que fornece o termo geral da
seqüência de Fibonacci com o uso do número Phi.
Para valores muito grandes
de n, o segundo termo da Fórmula de Binet pode ser desprezado pois a base desta
potência é um número real menor do que 1, logo é possível mostrar que quando n
tende a infinito, a expressão matemática para un é da ordem de (Phi)n,
logo o quociente un+1/un é da ordem de Phi, assim o
limite do quociente entre um número de Fibonacci e o seu antecedente converge
para o número de ouro Phi, isto é:
Lim un+1 / un = Phi.
g)
Função Geratriz dos
números de Fibonacci.
Um modo para obter uma
seqüência de números inteiros é construir uma função geratriz B=B(x) definida
como uma série formal de potências:
B(x) = bo +
b1 x + b2 x2 + b3 x3 + b4
x4 + b5 x5 + ...
cujos coeficientes bi sejam os valores da
seqüência que desejamos. O principal neste contexto é a construção de B(x)
através de uma fórmula analítica onde os bi aparecem naturalmente.
Podemos também ter expressões
em formas fechadas, que é o caso de algumas séries de potências convergirem
para uma função que não inclui somas infinitas. Por exemplo, a seqüência f(n)=2n-1
para n inteiro (n>1). O conjunto imagem desta função é:
f(N)={1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...}
pode ser representada pela
função geratriz:
B(x) = 1 + 2x + 4x2
+ 8x3 + 16x4 + 32x5 + ...
que pode ser escrita na
forma:
B(x) = 1/(1-2x)
mas para que isso faça sentido, deve ocorrer a convergência
da série, o que depende do fato que |2x|<1. Por isto dissemos no início que
esta é uma série formal. No final
desta página, apresentaremos a divisão longa, que justifica a divisão 1/(1-2x)
para obter a série formal apresentada.
Tendo em vista o que
apresentamos acima, vamos assumir que exista uma função geratriz dos números da
seqüência de Fibonacci e vamos tentar encontrar uma relação que tenha algo a
ver com o comportamento dos coeficientes desta função.
Tomemos uma função não nula
B=B(x) tal que:
B(x) = Fo +
F1 x + F2 x2 + F3 x3 + F4
x4 + F5 x5 + ...
Esta soma formal também pode ser escrita como um somatório sobre todos
os números inteiros k>0, que denotaremos por:
Se F0=F1=1 e Fk=Fk-1+Fk-2 para todo k>1, segue que
que pode ser expandido como
Pondo x em evidência na primeira soma e x² na segunda soma, obteremos
Realizando agora uma mudança nos índices, poderemos escrever
que pode ser simplificada para
Extraindo o valor de B=B(x), segue que:
|
que é a função geradora (geratriz) dos números de Fibonacci.
A divisão longa de 1/(1-x-x²), nos dá a série formal de potências cujos coeficientes são os números da sequência de Fibonacci.
h) Divisão de
polinômios.
Para dividir o polinômio
p(x)=x3-3x2+2x-1 por q(x)=x-1, montamos uma tabela
semelhante à divisão de dois números inteiros. Os coeficientes dos termos de mais
alto grau são muito importantes. Neste tipo de divisão, as potências são
indicadas por ordem decrescente, tanto no dividendo como no divisor.
1. Dividimos x3 por x para obter x2. Multiplicamos x2 por x-1, trocamos o sinal do resultado = -x3+x2 e colocamos o resultado em baixo de x3-3x2+2x-1;
|
x3
- 3 x2 + 2 x - 1 |
x
- 1 |
|
- x3 + x2 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Realizamos a adição das expressões polinomiais à esquerda para obter: -2x2+3x-1;
|
x3 - 3 x2
+ 2 x - 1 |
x - 1 |
|
- x3 + x2 |
x2 |
|
-2 x2
+ 3x -1 |
|
|
|
|
|
.nbsp; |
|
3. Dividimos agora -2x2 por x para obter -2x. A expressão -2x é colocada na frente do termo x2. Multiplicamos -2x por x-1, trocamos o sinal e colocamos o resultado= 2x2-2x sob a expressão -2x2+3x-1;
|
x3 - 3 x2
+ 2 x - 1 |
x
- 1 |
|
- x3 + x2 |
x2 - 2x |
|
-2x2
+ 3x -1 |
|
|
2x2 - 2x |
|
|
|
|
4. A soma das duas últimas expressões da esquerda nos dá x-1;
|
x3 - 3 x2
+ 2 x - 1 |
x - 1 |
|
- x3 + x2 |
x2 - 2x |
|
-2x2 + 3x -1 |
|
|
2x2 - 2x |
|
|
x-1 |
|
5. Dividimos x-1 por x-1 para obter 1. Multiplicando 1 por x-1, trocando o sinal e adicionando este resultado à expressão da esquerda, obteremos zero (0). Concluímos assim que a divisão de p=p(x) por q=q(x) é x2-2x+1.
|
x3 - 3 x2
+ 2 x - 1 |
x
- 1 |
|
- x3 + x2 |
x2 - 2x + 1 |
|
-2x2 + 3x -1 |
|
|
2x2 - 2x |
|
|
x-1 |
|
|
-x+1 |
|
|
0 |
|
·
A divisão longa.
A divisão longa é um pouco
diferente, embora utilizemos vários dos procedimentos anteriores. Os termos têm
as potências colocadas em ordem crescente, tanto no dividendo como no divisor.
Vamos construir a divisão longa da função f(x)=1 pela função polinomial
g(x)=1-x-x2. Indicamos o dividendo à esquerda com 1 e o divisor com
1-x-x2.
1.
Na divisão longa, as constantes do dividendo e do
divisor são importantes. Na divisão polinomial os termos importantes eram os
termos dominantes do dividendo e do divisor.
|
1 |
1-x-x² |
|
|
1 |
2. Dividimos 1 do dividendo pelo 1 do divisor e obtemos 1 no quociente. Multiplicamos este quociente=1 pelo divisor, trocamos o sinal para por o produto=-1+x+x² sob o dividendo do momento. Após isto, realizamos a adição do resultado com o dividendo, para obter x+x² que será o novo dividendo no passo seguinte.
|
1 |
1-x-x² |
|
-1+x+x² |
1 |
|
x+x² |
|
3. Agora o termo x do dividendo do momento x+x² e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos x (dividendo) por 1 (divisor) para obter x. Multiplicamos este x por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-x+x²+x³. Pomos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 2x²+x³:
|
1 |
1-x-x² |
|
-1+x+x² |
1+1x |
|
x+x² |
|
|
-x+x²+x³ |
|
|
2x²+x³ |
|
4. Agora o termo 2x² do dividendo do momento 2x²+x³ e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 2x² (dividendo) por 1 (divisor) para obter 2x². Multiplicamos este 2x² por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-2x²+2x³+2x4. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 3x³+2x4:
|
1 |
1-x-x² |
|
-1+x+x² |
1+1x+2x² |
|
x+x² |
|
|
-x+x²+x³ |
|
|
2x²+x³ |
|
|
-2x²+2x³+2x4 |
|
|
3x³+2x4 |
|
5. Agora o termo 3x³ do dividendo do momento 3x³+2x4 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 3x³ (dividendo) por 1 (divisor) para obter 3x³. Multiplicamos este 3x³ por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-3x³+3x4+3x5. Colocamos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 5x4+3x5:
|
1 |
1-x-x² |
|
-1+x+x² |
1+1x+2x²+3x³ |
|
x+x² |
|
|
-x+x²+x³ |
|
|
2x²+x³ |
|
|
-2x²+2x³+2x4 |
|
|
3x³+2x4 |
|
|
-3x³+3x4+3x5 |
|
|
5x4+3x5 |
|
6. Agora o termo 5x4 do dividendo do momento 5x4+3x5 e o termo 1 do divisor são os termos importantes. Dividimos 5x4 (dividendo) por 1 (divisor) para obter 5x4. Multiplicamos este 5x4 por todo o divisor, trocamos o sinal, para obter o resultado=-5x4+5x5+5x6. Pomos este resultado de baixo do dividendo do momento. Realizamos a soma para obter 8x5+5x6:
|
1 |
1-x-x² |
|
-1+x+x² |
1+1x+2x²+3x³+5x4 |
|
x+x² |
|
|
-x+x²+x³ |
|
|
2x²+x³ |
|
|
-2x²+2x³+2x4 |
|
|
3x³+2x4 |
|
|
-3x³+3x4+3x5 |
|
|
5x4+3x5 |
|
|
-5x4+5x5+5x6 |
|
|
8x5+5x6 |
|
7. Para os outros coeficientes desta série formal, devemos continuar o processo de divisão. A sequência de Fibonacci está no quociente da divisão de 1 por 1-x-x².
|
1 |
1-x-x² |
|
resto |
1+1x+2x²+3x³+5x4+... |
(x)
Aplicações da
seqüência de Fibonacci.
Temos a
seqüência de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,
21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...
Poderíamos perguntar: Será
que esta seqüência numérica aparece em outras situações da vida?
A resposta é positiva e é espantosa
pela grande quantidade de situações onde ela ocorre.
Abaixo vamos ver diversas aplicações da seqüência dos números de Fibonacci:
a)
Retângulo Áureo e o
Nautilus.
Juntando dois quadrados unitários
(Lado=1), teremos um retângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma
dos lados dos quadrados anteriores). De novo anexamos outro quadrado com L=2 (o
maior dos lados do retângulo anterior) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos
a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos
obtidos antes. A seqüência dos lados dos próximos quadrados é: 3, 5, 8, 13, ...
que a seqüência de Fibonacci. Com um compasso, trace um quarto de
circunferência no quadrado de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado. De
acordo com o desenho ao lado, trace quartos de circunferências nos quadrados de
lado L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1.
Considere as concordâncias
dessas curvas, você obterá uma espiral como a que aparece no Nautilus marinho.
Abaixo temos as
ilustrações do retângulo áureo e no Nautilus Matinho:
b)
O triangulo de
Pascal.
Fibonacci quando examinava o Triângulo Chinês (que é o nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, observou que esta seqüência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.
Abaixo a figura como ilustração:
c)
Segmento Áureo.
Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos
determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão.
|
Isto significa que é possível obter um ponto D e permite obter um
segmento áureo neste segmento AB. O objetivo é encontrar um ponto D entre A e B
tal que a razão entre o segmento AB e o segmento AD seja =(1,61803...).
Isto significa que o maior segmento AD é 1,61803... vezes a medida do menor segmento
DB.
|
Determinaremos o ponto médio do segmento AB. Coloque a
ponta seca do compasso em um extremo, abra-o até o outro extremo e trace um
arco para cima e para baixo do segmento de reta AB. Repita este procedimento
com o outro extremo da reta, sem alterar a abertura do compasso. Os pontos
onde os arcos se cruzam devem ser unidos por um segmento de reta (em
vermelho) e o ponto onde este segmento cruza o primeiro segmento AB, é o
ponto médio de AB; |
|
|
Agora traçaremos uma reta perpendicular a AB passando
por B com a metade do comprimento de AB; |
|
|
Primeiro trace a reta perpendicular a AB usando um jogo
de esquadros; |
|
|
Com a ponta seca do compasso em B, abra-o até o ponto
médio M e trace um arco até que este cruze a reta perpendicular a AB; |
|
|
Temos agora uma nova reta BC perpendicular a AB com
exatamente a metade do comprimento de AB; |
|
|
Una este ponto que acabou de encontrar com o ponto A da
primeira reta para formar um triângulo ABC; |
|
|
Coloque a ponta seca do compasso no vértice C do
triângulo e abra-o até o ponto B. Use este raio para marcar o ponto E na
hipotenusa do triângulo; |
|
|
Finalmente, com a ponta seca do compasso no vértice A,
abra-o até o novo ponto E marcado na hipotenusa, e use este raio para marcar
o ponto D na primeira reta AB. Este ponto é o ponto que divide o segmento AB
em duas partes, onde o maior segmento é 1,6183....vezes o menor. |
|
Obtivemos
assim o ponto D que estávamos procurando. Como podemos justificar este
procedimento do ponto de vista matemático? Se o lado AB do triângulo mede 1
unidade de comprimento, então o lado BC mede a metade e obtemos a medida da
hipotenusa com o teorema de Pitágoras.
AC2=AB2+BC2=1+1/4=5/4
o que implica que
AC=½
O ponto E na hipotenusa é marcado de forma que CE tenha o mesmo comprimento que o lado CB, isto é 1/2, então;
AE=(-1)/2
O ponto D é marcado a mesma distância de A, assim
AD = AE = ½(-1)
Temos então a proporção:
|
d)
Reflexão de luz em uma
fibra de vidro dupla.
Consideremos dois vidros transparentes colados um sobre o outro e vamos
admitir que incida um raio de luz sobre os vidros formando um ângulo oblíquo. O
desenho nos mostra a seção transversal dos vidros.
|
(a) representa um raio de luz genérico; (b) representa
um raio de luz que refletiu na superfície interna de contato entre as duas
lâminas de vidro e (c) é o caso em que houve reflexão na superfície inferior
das lâminas coladas de vidro. |
|
|
Se a luz é refletida duas vezes, temos uma situação como |
|
|
Se a luz é refletida três vezes, a situação se parece
com |
|
e)
Filotaxia.
Os números de Fibonacci também
são encontrados em arranjos de folhas (Filotaxia).
Consideremos que exista um padrão helicoidal (para a esquerda ou para a
direita) para as folhas em torno do caule. Cada conjunto de 3 folhas
consecutivas (1,2,3) nascem formando um mesmo ângulo entre 1 e 2 e entre 2 e 3,
mantendo uma certa distância ao longo do caule. Na figura, a folha 3 forma um
mesmo ângulo com 2 da mesma forma que a folha 2 forma com 1. Admitimos o mesmo
padrão para todas as folhas restantes. Neste exemplo, temos 5 folhas e 2 voltas.
Cada volta é entendida como uma rotação de 360o para que uma folha
possa se sobrepor à outra. Para que isto ocorra cada ângulo deverá ser igual a
2x360o÷5=144o.
Podemos identificar o
período p como o número de voltas necessárias
até nascer uma nova folha se sobrepondo à primeira e m indicará o número de folhas por período, neste caso, p=2 e m=5.
Numerosas experiências com plantas mostraram que p e m assumem mais
freqüentemente valores como 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., que são os números da
seqüência de Fibonacci. Existem também exceções, mas os números de Fibonacci
ocorrem tão freqüentemente que não podem ser explicados como casuais. Os
biólogos tentaram explicar a predominância dos números de Fibonacci na
Filotaxia. A simetria das folhas pode dar equilíbrio ao caule e também
facilitar a exposição à luz, mas a ciência está longe de uma explicação
satisfatória.
f) Pintura
e arte.
Muitos artistas que viveram
depois de Phidias usaram a proporção Áurea em seus trabalhos. Da Vinci chamava
esta de Divina Proporção e a usou em
muitos de seus trabalhos.
No quadro Mona Lisa pode-se
observar a proporção Áurea em várias situações. Por exemplo, se construirmos um
retângulo em torno de seu rosto, veremos que este possui a proporção do retângulo
Áureo. Podemos também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para
traçar uma reta horizontal e temos novamente a proporção Áurea. Podemos
continuar a explorar esta proporção em várias outras partes do corpo.
Muitos artistas têm usado a razão de ouro (medida de Ouro)
em seus trabalhos de pintura e arte. Os trabalhos de Seurat e Mondrian mostram
tal relacionamento matemático.
Abaixo o quadro da Mona Lisa,
como ilustração:
g) Anatomia.
Leonardo da Vinci, em seus estudos de Anatomia, trabalhou
com um modelo padrão (0 canon) para a
forma de um ser humano, utilizando Vitrúvio como modelo. Tais dimensões
aparecem na gravura abaixo.
h) Industria
e Comercio.
Empresas usam a seqüência de
Fibonacci de uma forma intuitiva, até mesmo porque as dimensões associadas
representam algo bonito e econômico, mas é provável que muitos usuários desta
seqüência e das relações áureas nem saibam que fazem uso da mesma. Um cartão de
crédito parece ter a forma das medidas áureas, sempre relacionadas com o número
Phi.
Veja a figura:
Construiremos
um retângulo cujos lados medem 1 e 1,618034..., o retângulo Áureo
|
Construa um quadrado de lado unitário; |
|
|
Divida um dos lados do quadrado ao meio; |
|
|
Trace uma diagonal do vértice A do último retângulo ao
vértice oposto B e estenda a base do quadrado; |
|
|
Usando a diagonal como raio, trace um arco do vértice
direito superior do retângulo à base que foi estendida; |
|
|
Pelo ponto de interseção do arco com o segmento da base
trace um segmento perpendicular à base. Estenda o lado superior do quadrado
até encontrar este último segmento para formar o retângulo; |
|
|
Este último é o retângulo Áureo! |
|
Consideremos
um retângulo onde X é a medida do comprimento e Y é a medida da altura do
mesmo. Vamos supor que existe uma relação "especial" entre X e Y tal
que: X : Y = Y : (X+Y). Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos
extremos, logo:
X.(X+Y) = Y2
e esta relação nos informa
que Y é a média geométrica entre X e X+Y. Se calcularmos a razão entre Y e X
obteremos Phi. O retângulo com estas dimensões é o retângulo áureo e os
segmentos de medidas X e Y são os segmentos áureos. Tais medidas são usadas em
testes para avaliar aspectos de beleza em gravuras ou objetos.
(xi)
Tópico Avançado.
1 – Introdução
No artigo de Phillips, G. M., Aitken Sequences and Fibonacci Numbers. The American Mathematical Monthly. // Washington: The Mathematical Association of America, junho-julho de 1984, é encontrada uma interessante relação entre a chamada seqüência de Aitken e métodos numéricos de Newton e das Secantes, através da seqüência de Fibonacci. Abaixo será exibido mais detalhe referente ao fato, bem como devidas demonstrações.
A aceleração de Aitken é aplicada para a seqüência (Xn) definida por:
Xn+1 = 1 + 1/ Xn, (1)
Resultando na seqüência de Aitken (X*n) satisfazendo à simples relação:
X*n = X2n. (2)
A tabela 1 mostra o primeiro membro das seqüências (Xn) e (X*n), quando:
X*n = [(Xn+1). (Xn-1 ) - X²n] / [ (Xn+1) – X2n + (Xn-1)] , n ≥ 2. (3)
Tabela 1: Aceleração de Aitken.
|
n |
Xn |
X*n |
|
1 |
1.000000 |
|
|
2 |
2.000000 |
1.666667 |
|
3 |
1.500000 |
1.625000 |
|
4 |
1.666667 |
1.619048 |
|
5 |
1.600000 |
1.618181 |
|
6 |
1.625000 |
1.618056 |
|
7 |
1.615385 |
1.618037 |
|
8 |
1.619048 |
|
A aceleração de Aitken pode ser encontrada em algum texto introdutório sobre análise numérica.
É fácil verificar por indução que:
Xn = (Un -1)/Un
(4)
quando Un são
números de Fibonacci, definidos por:
(Un + 1) = Un + Un –1, n >2
e U1 = U2 = 1. Assim o limite da seqüência (Xn) é:
lim n→∞ (Un+1)/Un = 1/2 (1
+ √5),
o qual é chamado “número de ouro”, a raiz positiva da equação X² - X –1 = 0.
Em (Aceleração de Aitken) será verificada (2), como um caso especial de um resultado mais geral, usando certamente propriedades dos números de Fibonacci. Em (Aceleração Repetida) será examinado o efeito da aplicação repetidamente para nossa seqüência original (Xn). E finalmente em (Métodos de Newton e das Secantes) nós também acharemos que os números de Fibonacci são encontrados quando os métodos de Newton ou das Secantes são usados para computar o número de ouro iterativamente.
Todos estes itens serão apresentados, sem as devidas demonstrações.
2 – Aceleração de Aitken.
Esta seção estabelece o resultado:
X2n = [(Xn+r ). (Xn-r ) - X²n ] / [ (Xn+r ) – X2n + (Xn-r )] , 1 ≤ r < n, (6)
quando (Xn) é a seqüência definida por (1). O caso especial de (6) com r = 1 verifica (2).
3 – Aceleração Repetida.
Quando iniciamos uma seqüência (Xn) e aplicamos a Aceleração de Aitken para uma seqüência dada (X*n). Nós agora investigaremos a aplicação para (X*n), e assim repetidamente. Escrevemos:
X(k+1)n = [(X(k)n+1). (X(k)n-1) – (X(k)n)]2 / [ (X(k)n+1) - 2X(k)2n + (X(k)n-1)],
para k = 0, 1, ..., quando (X(0)n) = Xn. Assim (X(0)n) é nossa seqüência original e (X(1)n) é a seqüência o qual chamaremos (X*n). Para k ≤ 0, a (k + 1)-ésima seqüência (X(k+1)n) é obtida usando a aceleração de Aitken sobre a k-ésima seqüência (X(k)n).
4 – Métodos de Newton e das Secantes.
Nós podemos parafrasear a equação antecedente (6) como segue:
cada destes números Xn-1, Xn é o quociente dos números consecutivos de Fibonacci, com denominadores respectivamente (Um-1), (Un) e (Un+1), e o número resultante de Aitken é o próprio quociente dos números de Fibonacci. Este resultado nos encoraja a checar quando algum outro método iterativo de resolução da equação,
X² - X –1 = 0 gera a seqüência dos números de Fibonacci.