Capítulo VII – Camille Jordan

Camille Jordan

(i) Breve biografia.

Marie-Ennemond-Camille Jordan (1838 - 1922).

Matemático francês nascido na cidade de Lyon, que ganhou fama em toda a Europa ao demonstrar um célebre problema de álgebra proposto por Niels Abel, segundo o qual é possível resolver qualquer tipo de equação algébrica por meio de radicais. Considerado o herdeiro e continuador das idéias de Évariste Galois sobre álgebra e teoria dos grupos, estudou engenharia de minas e realizou suas primeiras pesquisas matemáticas no campo da geometria. Sua obra Traité des substitutions et des équations algébriques (1870), que lhe valeu o Prêmio Poncelet da Academia de Ciências, possibilitou a completa interpretação das teorias sobre os grupos de substituição, de Galois, dando início a uma fase (1870-1920) em que a teoria dos grupos era encarada como uma espécie de "chave" de toda a matemática. Foi professor da Escola Politécnica de Paris (1876-1912), reuniu suas aulas de análise matemática nos três volumes do Cours d'analyse de l'École Polytechnique (1882), que contribuiu para formar gerações de matemáticos. Deixou contribuições importantes também no campo da topologia, que trata das noções básicas e propriedades de um espaço matemático. Editou uma revista de matemática (1885-1922) e morreu em Milão, Itália.

Abaixo uma imagem de Jordan:

O nome de Jordan é bem conhecido por todos os matemáticos pela excelente “cours d’analyse”. Ao que consta, este é um excelente livro didático na qual a análise clássica é apresentada de forma unificada. Jordan foi o primeiro a apresentar, na 2^a e última edições des Cours d’analise, claras definições nas notações “volume” e “integrais múltiplas”, e ele especifica condições sobre a qual as integrais múltiplas podem ser avaliadas por sucessivas integrações.

(ii) Traité de Jordan.

O trabalho monumental de Jordan de 667 páginas foi: “Traité des substituitions des équations algébriques”, publicado em 1870 por Gauthier-Villars, é uma obra prima de arquitetura matemática. A beleza do edifício erguido por Jordan é admirável.

No prefácio do Traité, Jordan dá devido credito a seus predecessores: primeiro Galois, “que inventou os princípios da Teoria de Galois”, e a Betti, que escreveu “um importante tratado, no qual a seqüência completa dos teoremas de Galois tem sido rigorosamente estabelecido no primeiro momento”. Depois, Jordan menciona as contribuições de Abel, Hermite, Kronecker, e Brioschi concebendo os grupos de Galois de certas divisões de problemas de elipse e funções abelianas, e as investigações dos geômetras Hesse, Cayley, Clebsch, Kummer, Salmon, e Steiner, que estudaram muitos problemas geométricos para o qual os métodos de Galois podem ser aplicados.

Quando Jordan disse que ele iniciou na Álgebra pelo texto de Serret, isto e certamente verdade, mas não inteiramente. Uma explanação da Teoria de Galois e achada na 3^a edição do “Cours d’algebre” de Serrett, o qual apareceu em 1864, mas três anos antes Jordan já tinha citado Galois nesta These de doctorat. Certo e que no 1^o capitulo deste, Jordan introduz a noção “systeme cônjuge” de acordo com
Cauchy. Tal sistema consiste de substituições A, B, ..., e seu produto tal como:

A^a B^b C^g B^b’...

Este sistema é um grupo no sentido de Galois, e de fato, no capitulo III desta tese, Jordan escreve:

“E fácil ver, de fato, que a condição necessária e suficiente para que uma equação seja irredutível, e que o sistema conjugado que lhe corresponde ao grupo de
Galois seja transitivo”.

Segue que da iniciação de Jordan na Teoria de Galois não é somente devido a Serret, mas também devido a Galois. Jordan deve ter visto o artigo fundamental de Galois antes de 1861, pois esta tese foi publicada em1861 no Journal de l’ecole polytechnique.

Em 1870, quando o Traité era publicado, Jordan já era famoso. Estudantes de todas as partes da Europa vinham a Paris para vê-lo. Sophus Lie veio da Noruega e Felix Klein da Alemanha. Klein e Lie eram bons amigos neste tempo.

Os artigos de Jordan sobre Teoria de Galois e grupos de substituições eram incorporadas neste tratado.

(iii) Noções sobre Grupos.

Em 1867, Jordan publicou uma pequena nota no Comptes Rendus da Academia de Paris, intitulado: “Sur lês groupes de mouvements”, na qual ele anuncia uma completa determinação de todos os possíveis grupos de deslocamento de corpos no espaço euclidiano 3D. Em 1868-1869 as enumerações destes grupos eram apresentados em duas partes, no artigo intitulado: “Memoire sur lês groupes de mouvements”, no Annali di Matematica.

Os deslocamentos considerados por Jordan são noções helicoidais e não somente de corpos rígidos limitados, mas do espaço inteiro. Casos particulares são as rotações e translações. Uma noção de grupo e definida por ser um conjunto contendo um produto AB de algum destes dois elementos do conjunto. Jordan silenciosamente assume seus grupos contendo o inverso A^-1 como apropriado. Além disso, ele restringe a si mesmo a conjuntos topologicamente fechados. Esta restrição já e evidente, para Jordan anunciar uma proposição a qual ele chama “la plus essentielle et la plus delicate a etablir”, a saber:

“Sejam P e P’ dois movimentos a serem escolhidos. Podemos em geral, e com algumas exceções, obter algum movimento por uma combinação conveniente de P e P’ ”.

E claro que produtos compostos de P e P’ formam, em algum caso, um conjunto enumerável e não o grupo inteiro. Mas se tomarmos o fechamento de produtos dos conjuntos, obtemos exceto em casos especiais, o grupo inteiro.

O trabalho de Jordan sobre grupos de movimentos foi inspirado no “Études cristallographiques” de Bravais. De fato, Jordan declara que casos especiais desta enumeração de problemas tem sido já tratado por Bravais. Ele também diz que este problema de determinação de todos os grupos de movimentos pode também ser formulada assim:

“Para determinar todos os sistemas de moléculas o qual pode ser esperado a si próprio em vários caminhos”.

Jordan primeiro determina todos os grupos de translação fechados e depois todos os grupos de rotação fechados, tendo fixado em ponto comum.

A determinação dos grupos de translação é fácil. Há quatro tipos de grupos discretos de translação gerados por 1 ou 2 ou 3 ou sem translações independentes linearmente. Há 3 tipos de grupos contínuos de grupos de translações, de dimensões 3 e 2 e 3. Combinando um grupo continuo de dimensão 1 ou 2 com um grupo discreto, achando 3 tipos mistos. Assim há justos 10 tipos topologicamente de grupos de translações fechados.

Os grupos de rotação fechados não são fáceis de se achar.

Grupos discretos de rotação são, de acordo com Jordan:

1) Grupos cíclicos C₁, C₂,...,

2) Grupos diedrais D₄, D₆, D₈,...,

3) Grupo tetraedral,

4) Grupo octaedral,

5) Grupo icosaedral.

Grupos de rotações contínuos são:

6) O grupo de todas as rotações tendo um ponto fixo comum O,

7) O grupo de rotações sobre eixos fixados. Combinando o último grupo com uma rotação invertendo os eixos, obtemos:

8) O grupo consiste de todas rotações sobre um eixo a e todas “voltas completas” sobre o eixo b passa por e perpendicular ao a.

Depois Jordan empreende uma gigantesca tarefa para encontrar todos os grupos de movimentos por combinação de rotações com translações. Na moderna terminologia este método pode ser explanado assim:

De todos os movimentos helicoidais do grupo G, um pode fazer a parte rotacional, assim obtendo um grupo de rotações R e um morfismo G à R.

O kernel deste morfismo é o grupo T de todas transformações em G. Assim,

R @ G/T.

Assim, na ordem para obter o grupo G, temos que achar todas possíveis extensões do subgrupo normal T tal que o fator grupo é isomorfo a R. Isto é, de fato, método de Jordan.

A enumeração de Jordan não é completa. Leonardo Sohnke notou na introdução histórica do livro: “Entwicklung einer Theorie der Kristallstrukturen”, que todos os grupos cristalográficos listados neste trabalho são encontrados na lista de Jordan.

Sohnker acha esta lacuna porque tinha investigado, por um método um tanto diferente, o sistema de pontos regulares no plano.

A despeito desta deficiência, o trabalho pioneiro de Jordan é admirável. Sohnker usa o método de Jordan para determinar todos os grupos cristalográficos 3D preservando a orientação, assim preparando o caminho para uma completa enumeração de todos os grupos cristalográficos por A. Schoenflies e E. S. von Fedorow, nos anos de 1889-1891.

Antes de 1758, Euler publicou o artigo: “Du mouvement dês corps solides autour d’une axe variable”. Entre outras coisas, Euler provou que cada substituição de corpos rígidos pode ser expressada como um produto de uma rotação axial e uma translação.

Para descrever rotações. Ele introduz o “ângulo Euler”, o qual são ainda usados por fisicistas.

Num artigo recente de Olinde Rodrigues, ele prova que cada deslocamento de um corpo rígido é o resultado de uma rotação e uma translação sobre o eixo de rotação. Jordan considera este resultado como bem conhecido, mas ele não menciona Rodrigues.

Seguindo Euler, Rodrigues descreve uma rotação por quatro parâmetros g, h, l, q, três primeiros determinam a direção do eixo.

Ele desenvolve fórmula explicita para o resultado de duas rotações, e ele enfatiza o fato que este produto não é comutativo.

(iv) Sobre congruências.

O primeiro “livro’de Jordan, o tratado é intitulado “Dês congruences”. Neste livro Jordan primeiro sumariza os principais resultados de Fermat e Gauss sobre congruências entre inteiros e potências de resíduos. Depois ele expõe, seguindo Galois, a estrutura teórica do que chamamos Corpos Galois GF(q).

(v) Grupos transitivos e primitivos de substituições.

Mais que um terço do tratado de Jordan é ocupado pelo livro 2: “Sobre substituições”. No capítulo 1 deste livro, Jordan lida com substituições (ou como nós agora chamamos de permutações) em geral. Ele prova que a ordem de um subgrupo H de um grupo G é um divisor da ordem do grupo inteiro. Seguindo Cauchy, ele prova que um grupo cuja ordem é divisível por p contém um elemento de ordem p.

Depois, Jordan define as noções “transitivo” e “primitivo”.

Um grupo é chamado “k-superfície transitiva” ou “transitiva de ordem k”, se ele transforma algum k distinto em alguma ordem k distinta. Jordan menciona uma superfície transitiva de ordem 5 do grupo transitivo de substituições sobre 12 letras descobertas por Mathieu, e ele prova alguns teoremas sobre a ordem de transitividade.

(vi) Séries de composição.

Uma série de composição de um grupo G é uma seqüência de grupos”

G É H É H’ É .... É I

Onde cada termo é um subgrupo normal do procedimento, e no qual subgrupos normais intermediários não podem ser inseridos.

Jordan prova que os quocientes das ordens de sucessivos grupos são unicamente determinados pelo grupo, exceto esta ordem. Este teorema fundamental já ocorrido, embora sem prova, “Commentaire sur Galois” de Jordan.

Em 1889 Otto Hölder provou o grande “Teorema de Jordan-Hölder”, o qual diz que os grupos fatorados:

G/H, H, H’,...

são unicamente determinados se não fosse esta ordem e se não fosse isomorfismo.

Nossa moderna definição da noção “grupo fator G/H” pelo subgrupo é devido a Hölder. Entretanto, a mesma noção ocorre implicitamente em um artigo de 1875 de Jordan, intitulado “Sur la limite de transitivé dês groupes non alternes”. Neste artigo Jordan define:

“Duas substituições s e t permutáveis com um grupo H são chamadas congruentes módulo H se tivéssemos:

s = th

quando h é uma substituição em H.

Jordan agora considera uma seqüência de substituições s₁, s₂,... permutáveis com H e incongruente módulo H, tal que todos a e b tem uma relação da forma:

s_as_bº s_g, mod H.

Neste caso Jordan diz que s₁, s₂,... formam “um groupe suivant lê module H”, se ele denota este grupo gerado por s₁, s₂,... . Contrário ao nosso uso, ele não requer H se contido em G. Em nossa notação nós denotaremos o grupo quociente de Jordan por:

G/(G Ç H),

e realmente, Jordan declara que a ordem de G é o produto das ordens do grupo fator g?h e a interseção de G e H.

Jordan depois define “isomorfismo”, o qual chamamos hoje de homomorfismo ou morfismos. Morfismos 1 – 1 são chamados hoje por Jordan de holédrico, e outros de meriédricos.

Depois Jordan considera os grupos alternados An. Ele mostra que é gerado por ciclos (a b c), e que ele é somente subgrupo não-trivial normal de Sn, exceto para n = 4. Um corolário diz: O grupo A_n é simples se n excede 4.

(vii) Substituições lineares.

O extremamente importante capítulo 3 do livro 2 do tratado de Jordan lida com o que ele chama substituição linear, e o qual nós escrevemos na forma matricial como:

X’ = AX.

Na maioria dos casos, o corpo dos coeficientes é um corpo primo GF(p), mas em alguns casos, o corpo dos primos é estendido para um corpo Galois GF(p^v). Por instante, a ordem para reduzir a matriz A, bem conhecida “Forma Nominal de Jordan”, Jordan tinha para adjunto o anel quociente das raízes da “equação característica”:

Det (A - lI) = 0.

Jordan usa a forma nominal para determinar a o conjunto de substituições lineares trocando com uma substituição dada A.

De acordo com Deudonné, a procura por substituições lineares foi motivada por três diferentes teorias. Primeiro, o método de Jordan de construção de grupos resolúveis (livro 4 do tratado) grupos lineares aparecem naturalmente. Segundo, os mesmos grupos são apresentados por si próprio na teoria das divisões periódicas de funções abelianas estudadas por Mathieu sobre grupos multiplicativos transitivos induz Jordan a estudar o grupo de projetividades sobre uma linha projetiva sobre um corpo Galois.

O principal problema de Jordan é o estudo da composição do qual nós chamamos os “grupos clássicos” sobre o corpo de Galois GF(p).

No sumário I , chamamos grupos pela teoria moderna introduzida por Dickson e modificada por van der Waeder e Dieudonné, mas também menciona alguma derivação dada por Jordan.

Os grupos estudados por Jordan são:

- O Grupo Linear Geral GL(n, p) de todas transformações lineares de n variáveis (mod p).

- O Grupo Especial Linear SL (n, p) consiste de todas transformações com determinante 1.

- Os grupos correspondentes projetivos PGL (n, p) e PSL (n, p).

- O grupo Simplético Sp (2n, p), chamado por Jordan de “grupo abeliano”, qual transforma uma alternada forma bilinear:

j = (x_ky_n+k – x_n+ky_k)

em si mesmo (módulo p).

- Grupo correspondente projetivo PSp(2n, p).

- Os “grupos de Steiner”, o qual são grupos de transformações transformam um quadrado da forma de (2n) variável nele mesmo (módulo 2).

- Grupos ortogonais O(2n, 2, Q) o qual Jordan chama “grupos hiperbólicos” porque eles estão contidos nos “grupos abelianos”

Sp(2n, 2).

Em muitos casos, Jordan prova que estes grupos ou outros subgrupos de índice 2 são simples.

Em 1901, L. E. Dickson publica o tratado clássico “Grupos Lineares com uma Exposição da Teoria do Corpo de Galois”, no qual ele estende resultados de Jordan a Grupos Galois arbitrários GF(q). O objeto foi desenvolvido por outros autores, a saber:

J. A. de Séguier e J. Dieudonné.

O grupo projetivo PSL (2, p) pode ser considerado como um grupo das transformações lineares fracionais em GF (p):

Z’=

com ad – bc = 1. Este grupo, o qual é chamado “grupo da equação modular”, representa um importante papel na teoria das funções modulares. Foram investigadas por Galois e por Serret, Mathieu, e Kirkman. Os subconjuntos foram discutidos por Betti, Hermite, Jordan, e Sylow, e completamente determinados por Gierster em 1881.

Os simpléticos foram importantes para Jordan porque ocorre com grupos de Galois do problema da divisão dos períodos de funções abelianas tendo período 2n. Jordan menciona este fato neste artigo de 1869: “Sur lés équations de la division des fonctions abéliennes”.

(viii) Representação de Jordan da Teoria de Galois.

Em 1869, Jordan publicou uma exposição da Teoria de Galois intitulada: “Commentarire sur Galois”. Com pequenas mudanças, o conteúdo deste artigo era incorporado no Traité.

Seguindo Galois, Jordan mostra que uma equação pode ser resolúvel por radicais se e somente se o grupo de Galois é resolúvel, que é, se eles compõe fatores primos.

Depois, Jordan deriva outro critério mais conveniente que uma subseqüência de subgrupos normais de L existem:

1 Ì F Ì G Ì H Ì ... Ì L

tal que a substituição de cada grupo na seqüência são permutáveis módulo precedendo do subgrupo. Em outras palavras, é requerido que os grupos fatorados:

F/1, G/F, H/G,...

são todos abelianos.

Quando este critério é mais conveniente? Suponha decidir quando um dado grupo G é resolúvel. Seguindo Galois, descobrimos quando um subgrupo normal de índices primos existe, e um subgrupo normal deste subgrupo, e assim segue. Mas se seguirmos Jordan, temos somente que examinar subgrupos normais do grupo inteiro G.

(ix) Aplicações Geométricas.

O capitulo 3 do Traité é dedicado a aplicações geométricas da Teoria de Galois.

I – A primeira seção é intitulada: “Equation de M. Hesse”. Em 1844, Ludwig Otto Hesse tinha provado que uma curva cúbica tinha nove pontos de inflexão sobre doze retas. Se a curva é real, somente três dos nove pontos são reais. Jordan denota os nove pontos pelos símbolos:

(0 0) (0 1) (0 2)

(1 0) (1 1) (1 2)

(2 0) (2 1) (2 2)

Nove incógnitas são introduzidas, o qual são denotadas pelos mesmos símbolos

(x y). As doze linhas agora correspondem os produtos:

(x y)(x’ y’)(x” y”)

que satisfazem as relações:

x + x’ + x” = y + y’ + y” º 0 (mod 3)

A soma de todos estes produtos são chamados j. Assim, temos:

j = (00)(01)(02) + (10)(11)(12) + ... + (02)(20)(11).

Jordan agora prova que o grupo de Galois da equação sobre o qual depende nos nove pontos de inflexão reduz a si próprio estas substituições das nove incógnitas (x y) que não mudam a expressão j. Este grupo é formado por transformações lineares não homogêneas:

X’ º ax + by + a

Y´ º a’x’ + b’y’ + a’

A ordem do subgrupo é:

(3² – 1)(3² – 3) = 48,

e o grupo é resolúvel.

No grupo de Galois indeterminado, Jordan tacitamente supõe o dado cubo ser “genérico”, que é, ele supor os coeficientes da equação serem indeterminados independentes. Em casos especiais, se o ponto de inflexão é racional, o grupo pode ser menor.

II – A próxima seção é intitulada: “Equations de M. clebsch”.

Num artigo de Alfred Clebsch “Über die Anwuendung der Abelschen Funktionen in der Geometrie”, é discutido o problema: Dada uma curva quártica, determinar uma curva cúbica quando intersecções com quártica são todas superfícies quárticas.

De acordo com Clebsch, o problema conduz a uma equação x de grau:

4⁶ = 4096.

Jordan agora determina o grupo Galois da equação x. O método é similar ao que aplicado na Seção I.

Na mesma Seção II, Jordan discute vários problemas similares ao proposto por clebsch.

III – O próximo problema, também devido a Clebsch, é o problema de linhas retas sobre uma superfície quártica tendo uma dupla cônica. De acordo com Clebsch há 16 linhas assim. Jordan inicia determinando o grupo de Galois do problema.

IV – O problema dos 16 pontos singulares sobre a “Superfície de Kummer” é tratado pelo mesmo método.

V – O problema geométrico mais interessante discutido por Jordan é o problema das 27 linhas sobre uma superfície cúbica.

A existência destas linhas foram descobertas numa correspondência entre Cayley e Salmon. Cayley estabelece que há (em geral) 27 linhas. Nossa Ilustração 1 mostra um modelo duma superfície com 27 linhas reais.

Um resultado de Steiner é: qualquer umas das linhas, digo a, encontra dez outras linhas, a qual forma com a 5 triângulos. Assim há 45 triângulos na superfície.

A ocupação de Jordan com as 27 linhas inicia em 1869. Na primeira nota em Comptes Rendus da academia de Paris, ele define o grupo simplético Sp(2n, p), e ele nota que Sp (4, 3) é justamente o grupo de Galois da equação a da equação das 27 linhas em maiores detalhes, referindo a todas as provas deste quarto trabalho. No mesmo ano de 1869, ele publicou um artigo na qual a estrutura de grupo de Galois é derivado do método combinatório, independente da conexão, com o grupo simplético.

Jordan denota as 27 linhas por letras a, b,... . Se a é alguma das linhas, os 5 triângulos contém a são denotados por:

abc, ade, afg, ahi, akl.

Abaixo uma ilustração:

As 16 linhas restantes que não encontram a são chamadas numa ordem bem definida:

m, n, p, q, r, s, t, u.

Agora os 45 triângulos podem ser escritos abaixo como:

abs, ade, ..., lps’.

O grupo de Galois do problema é certamente contido no grupo de substituições de 27 incógnitas a, b,..., u’ transformando a função:

j = abs + ade + ... + lps’

na mesma.

Chamaremos este grupo G’. A ordem do grupo é:

27 x 10 x 8 x 24 = 51840.

Agora Jordan diz que G = G’, e ele apresenta argumentos a favor das asserções. Esta prova é suficiente, mas o resultado é correto, como dito na Seção anterior.

Nesta primeira nota no “Comptes Rendus”, Jordan nota que o problema das 27 linhas é fechadamente conectado com o problema das 28 tangentes duplas duma curva plana quártica. Explicaremos esta conexão.

(x) As 28 tangentes duplas de um plano quártico.

Da bem conhecida formula de Plücker é fácil deduzir que uma curva plana quártica a qual pontos múltiplos são 28 tangentes duplas.

O primeiro a investigar a configuração formada por 28 tangentes duplas e seus pontos de contato foi Jacob Steiner em 1855. Ele mostra: Se iniciarmos com um par de tangentes duplas (x₁, y₁) há 5 outros pares (x_i, y_i) (i = 2, 3, 4, 5, 6) tal que os 8 pontos de contato de quaisquer 2 pares (x_i, y_i) e (x_k, y_k) sempre cruzam sobre a cônica. Tal conjunto de 6 pares (x_i, y_i) é chamado um complexo de Stainer.

Estas tangentes duplas quando encontram pontos de contatos sobre uma forma cônica, uma tripla sizigética (do grego syn = outros e zygos = unir-se). Se um conjunto de tangentes duplas não contém alguma tripla sizigética, o conjunto é chamado asizigético.

Mais importante para a determinação do grupo de Galois das 28 tangentes duplas é a geração da curva quártica descoberta por Aronhold. O método de Aronhold pode ser explanado como segue.

Dado 7 pontos no plano determinando, em geral, um conjunto linear de curvas cúbicas passando pelos 7 pontos. Quaisquer duas curvas do conjunto intersectando em mais de dois pontos. Se os dois pontos coincidem, as curvas têm uma tangente no ponto.

Este ¥¹tangente comum formam uma “curva de classe 4”, que é, o dual da curva quártica.

Agora considere a situação dual. Ao invés das curvas cúbicas passando por 7 pontos dados nós podemos considerar, com Aronhold, o conjunto linear das curvas de classe 3 contém linhas dadas. Cada par destas curvas têm mais dois duais no ponto de contato, e estes pontos de contato encontram-se sobre uma curva quártica.

Aronhold mostra que as 7 linhas dadas formam um conjunto sizigético maximal de duplas pode ser construída racionalmente das sete.

Cada curva quártica com duplos pontos pode ser obtido por esta construção, e cada conjunto asizigético das sete tangentes duplas podem ser usadas para gerar a quártica.

Agora é fácil determinar a grupo de Galois P da equação determinando as 28 tangentes duplas. Inicia com um conjunto “genérico” de sete linhas, que é, assume as coordenadas não-homogêneas das linhas para incógnitas independentes. Agora construir a curva; será uma curva quártica. Estas são:

8x36 = 288

conjuntos asizigético de 7 linhas, e em cada dos conjuntos de 7! Caminhos numerando as linhas. Alguns dos conjuntos numerados podem ser recolocados por algum outro dos:

288 x 7! = 1451520

conjuntos numerados. Cada substituição gera um automorfismo do corpo das funções racionais das coordenadas das 7 linhas, e estes isomorfismos deixam a quártica invariante. Este automorfismo forma o grupo Galois P.

A relação entre as 28 tangentes duplas e as 27 linhas sobre uma superfície cúbica foi estabelecida por M. Gêiser em 1868.

De um ponto arbitrário A sobre uma superfície cúbica não colocado sobre uma das 27 linhas tiradas, todas as tangentes da superfície.

Salvo à tangente no A, no qual forma o plano tangencial, todas tangentes encontram-se sobre um cone quártico. A intersecção do cone com um plano arbitrário p é uma curva quártica. O plano tangente no A intercepta p em uma tangente dupla da quártica. As outras 27 tangentes duplas encontram-se em planos conectando A com as 27 linhas sobre uma superfície cúbica.

O grupo Galois das 27 linhas agora pode ser obtido das tangentes duplas como segue. Num último grupo, considerado como um grupo das permutações das tangentes duplas, tome o subgrupo que deixa invariante as tangentes duplas tocando no plano tangencial. Este subgrupo permuta as 27 outras tangentes duplas, e uma vez induz um grupo de permutações das 27 linhas sobre a cúbica. Este grupo G é o grupo Galois das 27 linhas. A ordem é, obviamente,

= 51840

Como nós vemos, Jordan construiu um grupo G’ da justa ordem, e ele prova que o grupo Galois G está contido em G’. Uma vez estas ordens iguais, a afirmação G = G’ de Jordan está justificada.

Jordan investiga o grupo Galois das 28 tangentes duplas por outro método. Ele considera o problema de Clebsch:

Achar todas as curvas da ordem n-3 tendo ½ n(n-3) pontos de contato com uma dada curva da ordem n. O método de Clebsch usa funções abelianas. Para n = 4 temos o problema de encontrar tangentes duplas de uma curva quártica.

(xi) Aplicações da Teoria de Galois a funções transcendentais.

No capitulo do livro 3 deste Traité, Jordan aplica a teoria de Galois a problemas concernindo funções transcendentais.

Seja permitido primeiro lembrar a leitura que Jordan toma uma distinção entre o grupo Galois algébrico de uma equação:

f(z, w) = 0 (1)

e grupo monódromo com respeito ao complexo invariante z. Seja os coeficientes da equação (1) tomado ao corpo de constantes K, o qual pode ser contido também parâmetros variáveis. Na formação de grupo Galois algébrico da equação (1), tomo como um anel quociente do corpo K(z) das funções racionais de z com coeficientes em k. O grupo algébrico é um grupo d permutações das raízes w₁, ..., w_n. Contém como um subgrupo monódromo definido por Puiseux e Hermite. Se o corpo de constantes K é acrescido pela adjunção de certos elementos algébricos, o grupo algébrico é reduzido ao grupo monódromo.

Agora será sumarizado as seções do capítulo 4 do livro de Jordan.

I – Jordan primeiro sumariza o problema de determinar cos(x/n) se cós(x) é dado. A quantidade cós(x/n) é fornecida pelo cons(x) por uma equação de grau n, quando as raízes são:

(p) = cos()

e o grupo monódromo da equação é formada pelas substituições:

p’ º p + m (mod n)

Este é também o grupo Galois da equação depois da adjunção do cós(2p/n) do anel quociente. Se o anel quociente é o corpo dos números racionais, as substituições do grupo Galois algébrico são da forma:

’ º ap + b (mod n)

II – Jordan agora passa para a teoria de funções elípticas.

Seja u = l(z) uma função inversa de:

Z =

A derivada é:

___________________

l’ = Ö((1 - l²(z))(1 – k²l²(z))

Agora se l(z) e l’(z) são dados, l(z/n) é uma raiz de uma equação de grau n². As raízes desta equação são:

(p q) = l( )

onde w e w’ são períodos fundamentais da função elíptica l(z).

Supondo n primo, Jordan mostra que as substituições do grupo Galois da equação são todas da forma:

p’ º ap + bq + m (mod n) (2)

q’ º a’p + b’q + m’ (mod n)

Se uma adjunta ao corpo K, as constantes:

...

o grupo Galois será reduzido ao grupo monódromo:

p’ º p + m (mod n) (2)

q’ º q + m’ (mod n)

Uma vez que este grupo é Abeliano, a solução da equação de l(z/n) não oferece problema. O principal problema de Jordan é achar o grupo Galois da equação de grau n², determinando:

l(w/n) e l’(w/n)

onde w é algum período primitivo. As raízes desta equação são todas da forma:

(p q) = l( )

Eliminando a raiz l(0/n), é o lado esquerdo com uma equação de grau n² –1.

O grupo monódromo desta equação com respeito à variável complexa K consiste de transformações lineares da forma:

P* º ap + bq (mod n) q* º a’p + b’q (mod n)

com ab’ – a’b º 1 (mod n). Estas transformações formam o grupo SL(2, n).

III – No procedimento da Seções I e II, as funções sob consideração são funções inversas das integrais abelianas sobre curvas algébricas do genus ou 1. Jordan agora passa ao caso de genus 2. Neste caso temos integrais elípticas:

onde D(v) é um polinômio de grau 6, e as funções inversas são abelianas de duas variáveis complexas tendo 4 períodos.

Seguindo Hermite, Jordan investiga o problema da divisão das funções, e ele termina com o grupo simplético Sp(4, p).

No caso p = 3 ele acha que o grupo PSp(4, 3) é isomorfo ao grupo simples G das linhas sobre uma superfície cúbica.

IV – Na última seção do Livro 3 Jordan investiga a possibilidade de resolver equações por meio de funções transcendentais. Em particular, ele discute o método de Hermite, Kronecker, e Brioschi para resolver equações de grau 5 por meio de funções elípticas e modulares. Para graus altos, Jordan mostra que uma tal solução é impossível.

(xii) Sobre grupos resolúveis.

No 4^o grupo do Traité é desenvolvido o problema:

Construir, para quaisquer grau d dado, todos grupos resolúveis de substituições sobre d letras.

Há o que Jordan chama Problema A. Ele mostra que este problema A para grupos de grau p, e encontra alguns resultados parciais para grupos primitivos de grau pⁿ.

Um grupo de transformações lineares das variáveis x₁, ..., x_n (mod p) é chamada em terminologia irredutível, e na terminologia primária de Jordan, se não é possível achar funções lineares y₁, ..., y_ndox_i em número menor que n, o qual são transformadas pelo grupo em transformações lineares dela mesma.

Agora Jordan mostra que o problema A Pode ser reduzido ao problema B:

B – Construir o grupo resolúvel maximal irredutível contendo grupo linear GL(n, p).

C – Construir o grupo resolúvel maximal redutível contendo no grupo simplético Sp(2n, p) ou em um grupo hipoabeliano O⁺(2n, 2) ou O⁺(2n+1, 2).

O método de Jordan é recursivo. Ele indica um método para resolver estes problemas para grupos de grau pⁿ, supondo que eles são resolúveis para graus altos p^m (m<n).

Ele finalmente acha uma classificação completa dos grupos em questão.

Na seqüência dos artigos, publicados entre 1871 – 1875, e republicados, Jordan tinha completado os resultados obtidos no Traité. Estes últimos dois artigos sobre construção e classificação de grupos resolúveis permutáveis, foram publicados em 1908 e 1917.