Carl Friedrich Gauss

 

(i)                 Breve resumo sobre a sua vida.

 

Há muito que falar sobre Gauss, um dos maiores matemáticos da história.

Sua vida é recheada de histórias fantásticas de seus grandes feitos como matemático e físico, porém o objetivo neste trabalho é mostrar a sua contribuição histórica para a álgebra, e aqui seria apenas uma breve introdução histórica. Assim, abaixo vai apenas uma cronologia sobre os principais fatos que marcaram sua vida.

Cronologia da vida de Gauss:

 

1777 - Nasce Carl Friedrich Gauss.

1788 - Entra para o Liceu

1795 - Deixa Brunswick e é admitido na Universidade de Göttingen.

1795 - Descobre a Lei da Reciprocidade Quadrática na Teoria dos Números.

1796 - Demonstra um método para a construção do polígono regular de 17 lados usando apenas régua e compasso.

1798 - Deixa Göttingen sem o seu Diploma.

1799 - Regressa a Göttingen e é graduado Doutor em Helmstedt.

1799 - Dá a primeira demonstração rigorosa do Teorema Fundamental da Álgebra.

1800 - Descobre as Funções Elípticas.

1801- Publica Disquisitiones Arithmeticae.

1801- Demonstra o Teorema Fundamental da Aritmética e desenvolve o Método da Aproximação dos Mínimos Quadrados.

1805- Casa com Johanna Ostoff.

1807- Torna-se Diretor do Observatório Astronômico e Professor da Universidade de Göttingen.

1809 - Publica Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium.

1809 - Morre a esposa de Gauss e o seu terceiro filho.

1810 - Casa pela segunda vez com Minna Waldeck.

1812 - Escreve um artigo sobre Séries Hipergeométricas (Primeira investigação sistemática de convergência de uma série).

1813 - Escreve sobre a atracção de Elipsóides Gerais.

1814 - Redige o seu trabalho sobre a Quadratura Mecânica.

1816 - Dá a terceira demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra.

1816 - Escreve Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, uma discussão sobre estimadores estatísticos, e Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova tractata.

1818 - Elabora um estudo das perturbações seculares dos planetas.

1819 - Inventa o heliotrópio.

1820 - Começa a estar ativamente interessado em Geodésia.

1821- Expõe o Método dos Mínimos Quadrados.

1822 - Ganha o Prêmio da Universidade de Copenhagem com o trabalho Theoria attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova tractata.

1823- Publica Theoria combinationis observationum erroribus minimis obnoxiae.

1825- Começa a trabalhar em Resíduos Quadráticos.

1827- Publica a Teoria das Superfícies em Disquisitiones generales circa superficies curvas.

1831- Cria a Teoria dos Resíduos Biquadráticos, na qual constrói uma álgebra rigorosa dos números complexos, baseada na geometria do plano complexo.

1831- Morre a sua segunda mulher.

1831- Publica Über ein neues allgemeines Grundgesetz der Mechanik e Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii.

1832- Publica Intensitas vis magneticae terrestris ad mensuram absolutam revocata.

1833/34 - A sua atenção volta-se para a Física. Faz um trabalho experimental sobre Magnetismo Terrestre.

1835 - Publica um trabalho sobre Resíduos Quadráticos.

1839 - Publica Allgemeine Theorie des Erdmagnetismus.

1840 - Publica Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkeden Anziehungs- und Abstossungskräfte, sobre a Teoria das Forças Inversamente Proporcionais ao Quadrado da Distância. 

1849 - Dá a quarta demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra.

1854 - Discute uma modificação do pêndulo de  Foucault.

1855 - Morre na manhã de 23 de Fevereiro, enquanto dormia.

 

Abaixo vai uma imagem de Gauss:

 

(ii)               Introdução ao trabalho algébrico de Gauss.

 

As importantes contribuições de Gauss para a teoria das equações algébricas são:

-         Primeiro, a solução completa da “equação ciclotômica”:

(1)                         Xⁿ – 1 = 0

por meio de radicais.

-         Segundo, a prova que a cada polinômio em uma variável com coeficientes reais é um produto de fatores lineares e quadráticos. Este teorema implica o que nós agora chamamos o “teorema fundamental da álgebra”: Cada polinômio f(x) com coeficientes complexos são produtos de fatores lineares.

Agora discutiremos estas duas contribuições extremamente importantes.

 

 

 

 

 

(iii)             A equação ciclotômica.

 

A equação (1) é chamada ciclotômica, porque a solução é fechadamente conectada com a construção de um polígono regular de n lados inscritos num polígono regular, inscrito num circulo.

Para isto ser visto, temos que notar que a equação (1) tem n raízes complexas:

(2)                                       cos (2pk/n) + isen (2pk/n), k= 0,1, 2, ..., n-1.

Esta solução trigonométrica era conhecida por De Moivre e Euler, e depois por Gauss.

Agora se representarmos o número complexo a + ib por ponto no plano com coordenadas ortogonais (a, b), é claro que os números complexos (2) são representados por vértices de um polígono regular de n lados, inscrito no circulo unitário. Assim, sucede na solução da equação (1) por meio de raízes quadradas, podemos construir o polígono regular de n lados com régua e compasso.

O Pitagórico já bem conhecido pela construção de polígonos regulares de lados 3, 4, 5 e 6. Estas construções são achadas no livro 4 dos Elementos de Euclides.

Lagrange resolve a equação:

(3)                                       X⁵ – 1 = 0

como segue. Uma raiz é X = 1. As outras são raízes da equação:

                                   X⁴ + X³ + X² + X +1 = 0,

o qual pode ser escrito como:

            (4)                   (X² + X^-2) + (X + X^-1) + 1 = 0.

            Colocando:

            (5)                   X + X^-1 = Y,

obtemos:

(6)                                       Y² + Y^-1 –1 = 0.

Esta equação quadrática pode ser resolvida para Y, e depois (5) pode ser resolvida para X. Segue, uma vez mais, que o pentágono regular pode ser construído por régua e compasso.

A construção de Euclides é também baseada sobre a solução da quadrática.

Se dado uma reta, é chamada de a e o segundo segmento Y, o problema de Euclides é resolver a equação:

(7)                   a(a - Y) = Y².

Nesta solução do problema II, 11 de Euclides, primeiro resolve-se a equação equivalente:

(8)                   Y² + aY = a²

e depois disso ele subtrai o retângulo a Y sobre ambos os lados, assim obtemos a solução de (7).

Se o dado segmento a tomado como a unidade de comprimento, é visto que (8) é a mesma como a equação de Lagrange (6).

No livro 4, Euclides usa a solução de (7) na construção do pentágono regular. Assim, Lagrange usa a solução de (6) para a solução da equação ciclotômica (3).

Depois Lagrange aplica o mesmo método para a equação:

(9)                                       X¹¹ – 1 = 0.

Dividindo por X – 1 e depois por X⁵, Lagrange obtêm:

(10)                                   (X⁵ + X^-5) + (X⁴ + X^-4) + (X³ + X^-3) + (X² + X^-2) + (X + X^-1) + 1 = 0.

Colocando novamente:

                        X + X^-1 = Y

Obtemos a equação quíntica para Y.

            Antes dos 10 anos, Gauss descobriu que o polígono regular de 17 lados pode ser construído com régua e compasso. No capítulo 7 do famoso trabalho de Gauss intitulado “Disquisitiones arithimeticae” a prova completa da solubilidade da equação (1) por radicias era dada. A equação:

(11)                                   X¹⁷ + 1 = 0

É tratada como um caso especial. Assim nós não conhecemos como o jovem Gauss achou a solução de (11) e logo a construção do polígono de 17 lados, não temos outra opção que seguir Gauss e tratar o caso especial.

            Gauss primeiro mostra que a equação geral (1) pode ser reduzida ao caso especial no qual n é primo, onde escrevemos n como um produto de potências de primos. Um caso especial, a saber n = 15, já era conhecido por Euclides. Euclides mostra: se pudermos inscrever num circulo um triangulo regular e um pentágono regular, podemos também inscrever um polígono regular de 15 lados.

            Dividindo (1) por X –1, obtemos a equação:

(12)                                   X = X^n-1 + X^n-2 +...+ X + 1 = 0.

Supondo n primo, Gauss primeiro prova que o polígono X é racionalmente irredutível. Depois ele anuncia este resultado principal: Se n-1 é um produto dos fatores abg..., a equação (1) pode ser resolvida pela solução das equações de graus a, b, g, ... . Por instante, se n é 17 temos:

            n – 1 = 2⁴,

assim a equação (12) pode ser reduzida por quatro equações quadráticas, e portanto o polígono de 17 lados pode ser construído com régua e compasso.

            Mais geralmente, se n – 1 é uma potência de 2, o qual acontece por:

(13)                                   n = 3, 5, 17, 257, 65535,

o polígono regular de n lados pode ser construído com régua e compasso.

            Os primos mencionados em (13) eram conhecidos por Gauss. Outros primos da forma (2^m +1) não eram conhecidos até o presente dia.

            Ainda supondo n primo, Gauss denota por r algumas das raízes de (12). Agora as raízes são:

(14)                                   r, r²,..., r^n-1

Duas potencias r^l e r^m são multiplicados pela soma dos expoentes e reduzido a soma l + m módulo n.

Gauss depois denota que cada função racional de raízes pode ser escrita como:

(15)                                   A + A’r + A”r² +...+ A^(n-1)r^n-1.

Para simplificar a notação, Gauss escreve [l] em vez de r^l. Assim, as raízes de (14) são reescritas como:

(16)                                   [1], [2],..., [n-1].

No capítulo III do Disquisitiones, Gauss provou: se n é primo,o grupo multiplicativo módulo n é cíclico, isto é, um “elemento primitivo”g existe tal que todos os expoentes não divisíveis por n são congruentes a potencias de g. Assim, as raízes de (16) podem ser reordenadas e escritas como:

(17)                                   [1], [g], [g²], ... , [g^n-2].

Esta reordenação é um ponto essencial na teoria de Gauss. Os expoentes de g são multiplicados pela soma de seus índices (mod n-1).

Agora seja e algum divisor de n –1. Colocando:

n –1 = ef

e                      g^e = h,

Gauss considera o conjunto das raízes:

                                   [l], [lh], [lh²], ..., [lh^f-1],

quando l é um inteiro arbitrário incongruente a zero (mod n), e seja ele a soma:

(18)                                   (f, l) = [l], [lh], [lh²], ..., [lh^f-1].

Estas somas são independentes da escolha de g. Eles são chamados períodos.

Gauss elucida a formação dos períodos trabalhando o exemplo n = 19.

Daremos o exemplo n = 17, elaborado por Gauss na Seção 354. Como um elemento primitivo (mod 17) Gauss escolhe g = 3. Assim, o índice (mod 16):

                        i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

dá origem a potencias de 3 (mod 17):

m = gⁱ = 1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6

e às raízes:

                                   [m] = r^m = r, r³, r⁹, r¹⁰, ..., r⁶.

            Os divisores de n –1 são:

                                   e = 1, 2, 4, 8, 16

correspondendo a:

                                   f = 16, 8, 4, 2, 1.

            Há somente um período (16, 1), a saber, a soma de todas as raízes. Há dois períodos com f = 8, a saber:

                                   (8, 1) = [1] + [9] + [13] + [15] + [16] + [8] + [4] + [2]

e                                  (8, 3) = [3] + [10] + [5] + [11] + [14] + [7] + [12] + [6].

Há quatro períodos com f = 4, a saber:

                        (4, 1), (4, 3), (4, 9), (4, 10).

Há oito períodos com f = 2, tal como:

                        (2, 1) = [1] + [16] = r + r^-1,

e há 16 períodos com f = 16, a saber, as raízes simples.

            Gauss também considera o período (f, 0), o qual é uma soma das unidades de f e logo igual a f.

            Na seção 345 Gauss prova um teorema geral para que um produto:

                                   (f, l).(f, m)

pode ser expresso com uma soma de períodos, assim:

(19)                                   (f, l).(f, m) = (f, l + m) + (f, l’ + m) + (f, l” + m) + …

Agora seja aplicada a formula (19) para o caso n = 17. A soma:

                        (8, 1) + (8, 3)

é igual a soma de todas as raízes e portanto igual a –1. O produto:

                                   (8, 1).(8, 3)

pode ser computado por (19): é –4. Logo (8, 1) e (8, 3) são raízes da equação quadrática:

(20)                                   Y² + Y – 4 = 0.

Por resolver esta equação, obtemos (8, 1) e (8, 3). Depôs (4, 1) e (4, 9) pode ser computado pelo mesmo método. Sua soma é (8, 1) e seu produto é –1, assim eles são raízes da equação quadrática:

(21)                                   X² – (8, 1)X – 1= 0.

Assim, (4, 3) e (4, 10) são raízes da equação:

(22)                                   X² – (8, 3)X – 1= 0.

Pelo mesmo método os períodos (2, l) e finalmente as raízes [m] podem ser obtidas como as raízes da equação quadrática.

No caso geral, temos de fatorar (n –1):

                        n –1 = abg ...

e para resolver a equação de Gauss a, b, g, ... . Em § 359, Gauss mostra que estas equações podem ser resolvidas por radicais.

            Suponha-se que estes exemplos sejam suficientes para explanar as idéias principais de Gauss sobre o objetivo das equações ciclotômicas.

           

            Abaixo temos uma imagem do “Disquisitiones arithimeticae”:

           

 

 

 

 

(iv)             O “Teorema Fundamental”.

 

a)      Introdução.

 

Na notação de Gauss, cada equação algébrica de grau m pode ser escrito como:

(23)                                   X^m + AX^m-1 + BX^m-2 + ... + M = 0

ou X = 0. O assim chamado “Teorema Fundamental da Álgebra” diz que cada polinômio com coeficientes reais ou complexos pode ser fatorado em fatores lineares no corpo dos números complexos. É suficiente para provar o teorema para polinômios com coeficientes reais, para se X tem coeficientes complexos, o produto X`X é real, e a fatorização implica a fatorização dos fatores X e`X. Assim Gauss justifica em se restringindo os polinômios reais X.

Nesta primeira prova, Gauss não introduz números complexos. Ele prova o teorema fundamental, na seguinte forma:

Cada polinômio X com coeficientes reais pode ser fatorado em fatores lineares e quadráticos.

Gauss considera o teorema tão importante que dá quatro provas.

A primeira prova foi descoberta em outubro de 1797 e publicada em 1799. A segunda e terceira foi publicada em 1816, e a quarta em 1849.

 

b)   A primeira prova

 

Ele expôs sua própria prova, criticando as provas dadas por d’Alembert, Euler, Fontenex e Lagrange. Sua principal objeção é que em todas estas provas, a existência de raízes era pressuposta. É mostrado que as raízes podem ser obtidas como números complexos.

Há outras objeções para as raízes simples, o qual não serão discutidas.

Gauss inicia com um polinômio real:

(24)                                   X = x^m + Ax^m-1 + Bx^m-2 + ... + Lx + M,

no qual x é uma incógnita. O que ele deseja provar é que um fator linear ou quadrático de x existe. Um fator linear real implica a existência de uma raiz real ± r, onde r é positivo ou zero. Um fator quadrático irredutível implica a existência de duas raízes complexas:

(25)                                   r(cos j ± sem j),

logo os fatores quadráticos podem ser escrito como:

            (26)                 x² – 2xr cos j + r²       (r > 0).

            Substituindo uma das raízes (25) na equação X = 0 e separando as partes imaginaria e real, obtemos um par de equações reais de r e j:

(28)r^m cos mj + Ar^m-1 cos (m-1)j + ... + Lr cos j + M = 0

(29)r^m sen mj + Ar^m-1 sen (m-1)j + ... + Lr sen j = 0.

Gauss nota que Euler obteve este par de equações pelo uso de números complexos. Gauss evita números complexos: ele deriva (27) e (28) como equações de curvas algébricas em coordenadas polares, e ele procede para provar que estas curvas interceptam, em pelo menos um ponto.

Se este é provado, segue que x tem um fator linear ou quadrático, e continuando o processo, obtemos uma fatorização de x em fatores lineares e quadráticos.

A equação (27) é chamada U = 0 e (28) é chamada T = 0 para o caso de uma equação quadrática:

                        X² + 1 = 0.

                        (Fig. 23)

Nas coordenadas ortogonais x e y nós temos duas curvas de ordem m. O eixo y = 0 é sempre um par da segunda curva T = 0.

Gauss agora estuda a intersecção de duas curvas com circulo de raio R, e ele prova:

“Para um raio suficientemente grande R há exatamente 2m intersecções com U = 0, e cada ponto da intersecção do segundo tipo fica entre dois pontos da intersecção do primeiro tipo”.

Gauss apresenta uma prova completa deste lema. Ele depois nota que os pontos 4m mudam muito pouco se R é grande ou pequeno. Na terminologia moderna dissemos que os pontos 4m são funções contínuas de R. Gauss não prova esta continuidade: ele somente diz que “é fácil ver”. Depois Gauss estuda o comportamento da bifurcação das curvas U = 0 e T = 0 dentro do circulo, e ele afirma: existe um ponto da bifurcação da primeira curva com a bifurcação da segunda curva. Para esta conclusão ele dá uma prova geométrica intuitiva. Ele denota o ponto de intersecção do circulo com o eixo negativo x por 0, e depois o ponto vizinho sobre o circulo por 1, e assim por diante, como na Fig. 23. Os números impares denotam pontos sobre U = 0, e números pares sobre T = 0.

Agora ele diz: Se uma bifurcação de uma curva algébrica entre um certo domínio, tem também que deixar a mesma parte do domínio.

Este ponto é aceito, segue que cada “ponto direito” é conectado com cada outro ponto direito por uma bifurcação da curva T = 0, e cada “ponto esquerdo” com outro ponto esquerdo por uma bifurcação da curva U = 0. Agora, como estas conexões podem ser complicadas, podemos mostrar que um ponto de interseção sempre existe. Este é provado como segue.

Suponha que não existe ponto de interseção. O ponto 0 é conectado com o ponto 2m pelo eixo x. O ponto 1 não pode ser conectado com algum ponto sobre o outro lado deste eixo, intersectando fora deste eixo. Assim, o ponto 1 é conectado com o ponto esquerdo n, nós temos  que n , 2m. Logo, que a diferença (n’- 2) é do lado direito, porque 2 e n’ são ambos do lado direito.

Continuando neste caminho, finalmente achamos o ponto h conectado com h + 2 tem que necessariamente intersectar a bifurcação conectando h com h = 2, contraria à nossa hipótese. Logo existe um ponto de intersecção.

Desta exposição vemos que a primeira prova de Gauss é baseada na suposição sobre a bifurcação de curvas algébricas, o qual parece plausível ser nossa intuição geométrica, mas a qual não foi rigorosamente provada por Gauss.

 

c) Segunda prova.

 

A segunda prova é puramente algébrica. As suposições feitas somente sobre o campo dos números reais são:

1^o – Que cada equação real de um grau ímpar tem uma raíz real.

2^o – Que cada equação quadrática com coeficientes complexos tem duas raízes complexas.

A idéia subliminar da segunda prova é simples, mas a resolução é um tanto difícil. Gauss inicia com um polinômio real de grau m:

(30)Y = x^m – L’x^m-1 + L”x^m-2 - ... + ...

Se supormos por um momento que Y pode ser fatorado em fatores lineares:

(31)Y = (x – a)(x – b)(x – c) ...

em alguma extensão de corpos, então uma combinação linear:

(32)(a + b)t – ab

pode ser formada com uma nova incógnita t. Se as raízes a, b, c, ... são  permutadas, a função linear (31) assume:

                                   m’ = ½ m(m + 1)

valores, portanto é ma raiz de uma equação de grau m’.

            As raízes destas equações auxiliares são funções lineares de t da forma (31). Assim que uma raiz de equação auxiliar é conhecida, a + b e ab são conhecidas, assim a e b podem ser expressas por meio de raízes quadradas. Esta permanece verdadeira se a incógnita t é especializada em um tal caminho que diferentes funções lineares (31) permanecem diferentes depois da especialização.

            Agora se m é um número da forma:

(33)m = 2^mk

quando k é impar, o grau da equação auxiliar é da forma:

(34)m’ = 2^{m - 1}k’

quando k’é novamente impar.

            Assim que uma raiz complexa desta equação auxiliar é conhecida, duas raízes a e b da equação original, pode ser computada como números complexos pela extrapolação da raiz quadrada.

            Continuando no mesmo caminho, finalmente chegamos numa equação de um grau ímpar. Os coeficientes desta equação são funções simétricas das raízes a, b,... com coeficientes reais conhecidos. Desde de que o grau da equação é impar, esta tem no mínimo uma raiz real. Indo de volta através da seqüência de equações auxiliares, podemos computar no mínimo uma raiz complexa da equação original.

            Nesta foram simplificada, a prova trabalha que se é conhecida que a equação Y = 0 tem m raízes a, b,... em alguma extensão do corpo dos numerosa reais. A “adjunção simbólica”: a prova pode achada num texto de álgebra moderna. Contudo, Gauss não seguiu este caminho. Ele construiu equações auxiliares as quais assumiram a existência das raízes. Por instante, ele construiu uma equação auxiliar de grau m’ como segue.

            Primeiro, o polinômio especial (29) é substituído por um polinômio Y, as raízes da qual são indeterminadas a, b, c,...

(35)Y = (x – a)(x – b)(x – c)... .

Gauss depois forma um polinômio auxiliar z na nova variável u, definindo z como produto de expressão m’:

(36)u – (a + b)t + ab

obtidas por raízes permutadas. Este polinômio z é simétrico nas incógnitas a, b, c,..., assim  pode ser expresso num único caminho  como um único polinômio u e t e os coeficientes de Y, o qual são funções elementares simétricas de a, b, c,... . Depois disto, os coeficientes L’, L”,... dum dado polinômio (29), e assim o polinômio auxiliar Z é obtido.

            Nas Seções 12-15 Gauss prova um teorema:

            “Se o discriminante de Y é diferente de zero, o discriminante de Z não pode ser zero”.

            No inicio da prova Gauss disse: “A prova deste teorema será extremamente simples se nós supormos que Y é um produto de fatores lineares”.

            Depois Gauss substitui par t tal valor real que o discriminante de Z é ainda diferente de zero, e ele mostra: se uma raiz de Z é conhecida, um par de raízes do polinômio original Y pode ser computado. Obviamente, ele primeiro derivou este método para achar uma raiz de Y da suposição que Y é um produto de fatores primos, e depois ele remodelou, bem como a tornou independente desta suposição.

 

d) A terceira prova.

 

            A terceira prova de Gauss é muito simples. De acordo com nosso testemunho ele acha esta prova por continuação, depois que a segunda prova era impressa em 1816.

Gauss inicia com um polinômio:

(36)                 X = z^m + Az^m-1 + BZ^m-2 + ... + Lz + M

com coeficientes reais. Ele coloca:

            (37)                 r^mcos mj + Ar^m-1cos (m - 1)j + ... + Lrcos j + M = t

            (38)                 r^m sen mj + Ar^m-1 sen (m - 1)j + ... + Lr sen j = u

            As expressões t e u são as mesmas como expressões U e T na primeira prova de Gauss. Eles são partes reais e imaginárias da expressão complexa obtida pr substituição:

            (39)                 z = r(cos j + i sem j)

em (36).

            Os derivativos de t e u com respeito a j são chamadas – u’e + t’. Assim temos:

                                   t’ = m r^m cos mj + (m – 1)Ar^m-1cos (m - 1)j + ... + Lrcos j + M

                                   u’= mr^m sen mj + (m - 1)Ar^m-1 sen (m - 1)j + ... + Lr sen j

Gauss agora prova:

                                   tt’+ uu’

é positivo para um valor suficientemente grande de R e r, não importa qual valor j tem. É fácil ver que isto é verdade. Para r grande, os principais termos de t e u são:

                                   r^m cos mj e r^m sen mj

e o termo principal de t’e u’são”

                                   mr^m cos mj e mr^m sen mj

            Assim o termo principal d tt’ + uu’ é:

                                   mr^2m (cos² mj + sen² mj) = mr^2m

o qual é positivo.

            O segundo derivativo de t e u com respeito a j são chamados – u” e + t”:

            (40)                 t” = m² r^m cos mj + ... + Lrcos j

            (41)                 t” = m² r^m sen mj + ... + Lrsen j

            Gauss deseja mostrar que h’um ponto no plano no qual t e u são ambos zero.

            Como nós vemos, a existência de uma raiz complexa do polinômio X. Se esta raiz é real, X tem um fator linear, e o processo pode ser continuado. Se a raiz não é real, X tem um fator quadrático e o processo pode ser também continuado.

            Suponha que nenhum ponto com t = u = 0 existente, então t² + u² é sempre diferente de zero, e a função:

            (42)                 y = [(t² + u²)(tt’ + uu’) + (tu’- ut’)² – (tt’+ uu’)²]/ [r(t² + u²)²]

é em toda parte finita. Note que o fator r no denominador si cancelado, porque t’, u’, t”, u” são divisíveis por r. Agora Gauss considera a integral dupla:

(43)                                   W = ∬y drdj

integra de r = 0 a r = Re de j = 0 a j = 360^o.

            Podemos integrar com respeito a r ou primeiro com respeito a j: o resultado é o mesmo.

            A integral indefinida com respeito a j é:

            (44)                 ∫ydj = [tu’- ut’]/[(t² + u²)]

            Agora a função tem o mesmo valor p/ j = 0 como para j = 360^o, assim a integral sobre o lado esquerdo, tomado de 0 a 360^o, é zero. Isto implica:

            (45)                 W = 0.

            Por outro lado, se integrarmos com respeito a r, obtemos a integral indefinida:

            (46)                 ∫ydr = [tt’+ uu’]/[(t² + u²)]

            Para r = 0 esta expressão é zero, e para r = R é positiva, como nós vemos.

            Assim a integral sobre o esquerdo, de 0 a R, é positivo, e logo W é positivo, contrário a (45). Logo a hipótese que t e u nunca são zeros, levando a uma contradição.

            É muito fácil seguir a prova d Gauss passo a passo. Mas como ele agora achou a prova? Em particular, como ele achou a expressão complicada Y definida por (43)?

            Podemos considerar X = t + iu como uma função de variável complexa:

            (47)                 z = r(cos j + isen j).

            Geometricamente falando, a função:

                                   X(z) = X(r, j) = t + iu

define uma aplicação de plano Z no plano X. No plano X podemos também introduzir coordenadas polares:

            (48)                 X = s (cos b + isen b)

            Nós agora temos:

            (49)                 tg b = u/t

            Diferenciando (49) com respeito a j e r, obtemos:

(50)                 ∂b/∂j = cos² b (tt’+ uu’)/t² = (tt’+ uu’)/(t² + u²) = U

            e

(51)                 ∂b/∂r = cos² b (tu’- ut’)/rt² = (tu’- ut’)/r(t² + u²) = V.

            Diferenciando uma vez mais, obtemos:

(52)                 ∂u/∂r = ∂V/∂j = y.

            Gauss usa a equação (52) para concluir:

                                   ∫ydr = y e ∫ydj = V.

            Deste modo parece possível que ele chegou nesta função complicada Y por diferenciação de U com respeito a r e V com respeito a j. Ele conhecia de antemão que ∂U/∂V e ∂V/∂j são iguais, porque U e V são derivativos de uma e a mesma função b com respeito a j e r.

            É verdade que o ângulo b não é unicamente definido: é definido somente módulo 2p, mas numa vizinhança d algum ponto (r, j) o ângulo b é uma função diferenciável de r e j, assim o diferencial total:

                                   db = U dj + Vdr

é bem definido. É possível que Gauss desejasse evitar o uso de funções de múltiplos valores como b, e que esta era a razão que ele usou somente derivativos U, V, e y nesta prova.

            Nós agora perguntamos: como o ângulo b varia quando o ponto Z move sobre um grande círculo r = R no plano Z?

            Nesta primeira prova, Gauss tem mostrado: se j vai de 0 a 2p, e se

R é suficientemente grande, o ponto X passa m vezes através do primeiro, segundo, terceiro e quarto quadrantes (nesta ordem), o qual implica que b vai ser zero a m.2p. Agora  calculemos ∫db. Porque de (50), obtemos:

            (53)                 b(2p) - b(0) = ∫db = ∫Udj

            Esta diferença pode ser múltiplo de 2p. Desde que U é positivo, é um múltiplo positivo, digo m’. 2p. Da primeira prova de Gauss conhecemos que m’ é igual a m, o grau do polinômio de X, mas Gauss não precisa deste resultado. Par esta presente prova, é suficiente conhecer que ∫Udj é positivo.

            Assim como t² + u² não é zero, a integral (53) é uma função continua de r, desde de que o inteiro m’não mude, e a integral ∫Udj permanece constante.

            Por outro lado, é positivo para r = R e zero para r = 0. Assim obtemos uma contradição. É bem possível que Gauss tinha este simples prova em mente. Contudo, ele achou um caminho para chegar ao uso dos valores múltiplos do ângulo b, escrevendo a integral ∫Udj como uma integral dupla:

                                   ∫Udj = ∬ydrdj

e permutando a ordem das integrações. Porque ∫ydj é sempre zero, a integral dupla é sempre zero, mas por outro lado ∫Udj é positiva para R suficientemente grande. Assim Gauss obteve uma contradição.