Evariste Galois

 

(i)                 Breve biografia de Galois.

 

Evariste Galois nasceu em outubro de 1811. Vinte anos e sete meses depois ele morria num duelo. Neste meio tempo ele criou uma das mais importantes e belas teorias da álgebra: a Teoria de Galois.

            Évariste Galois nasceu nas proximidades de Paris, na aldeia de Bourg la-Reine, onde seu pai era prefeito.

Aos 12 anos mostrava pouco interesse por Latim, Grego e Álgebra, mas a Geometria de Legendre o fascinava.

Aos 16 anos, julgando-se em condições, procurou entrar na Escola Politécnica mas foi recusado por falta de preparo e isto marcou o seu primeiro fracasso.

Aos 17 anos escreveu um artigo onde expôs suas descobertas fundamentais entregando-o a Cauchy para que o apresentasse na Academia. Cauchy perdeu seu trabalho e com isto veio o seu segundo fracasso marcante.

Logo mais perdeu o pai que, devido a intrigas clericais, se suicidou. Desiludido, Galois entrou na Escola Normal para preparar-se a fim de ensinar, sempre continuando com suas pesquisas.

Em 1830 escreveu um artigo para o concurso de Matemática da Academia entregando-o para Fourier, que morreu logo depois e o artigo foi perdido.

Com tantas frustrações Galois acabou por aderir às causas da revolução de 1830, foi expulso da Escola Normal e mais tarde entrou para a guarda nacional. Galois iniciou suas pesquisas com um trabalho de Lagrange sobre permutações de raízes, o que lhe deu condições necessárias e suficientes para concluir que equações polinomiais são resolúveis por radicais e, baseado nas provas de Abel, descobriu que as equações algébricas irredutíveis são resolúveis por radicais somente se o grupo de permutações sobre suas raízes também é resolúvel. Sobre isso forneceu um algoritmo para achar essas raízes, assim como outros postulados sempre voltados mais para a estrutura algébrica do que para casos específicos, dando um tratamento aritmético à Álgebra.

Em suas obras está implícito o conceito de "corpo" que mais tarde Dedekínd definiria de forma explícita.

Na época Galois entregou a Poisson um artigo contendo sua teoria e este o classificou de "incompreensível" mas hoje o que chamamos de "Matemática Moderna" nada mais é do que as idéias de Galois que estão chegando até nós.

Em 1832, envolvendo-se com uma mulher, em nome de um código de honra, não pode evitar um duelo. Na noite anterior passou as horas rascunhando notas para a posteridade numa carta a seu amigo. Na manhã de 30 de maio encontrou seu adversário, recebendo um tiro fatal. Socorrido por um camponês, morreu num hospital para onde foi levado, aos 20 anos de idade.

            Abaixo uma imagem de Galois:

 

 

(ii)                O trabalho de Galois.

 

O trabalho matemático de Galois foi publicado primeiro em 1846 por Liouvile no Journal de Mathématiques.  Ele foi reimpresso em 1897 por Gauthier-Villars com uma introdução de Emmile Picard.

A primeira publicação de Galois era um artigo de oito paginas sobre funções continuas no Annales de Mathématiques des Gergonne. Neste artigo ele provou:

“Se uma das raízes de uma equação de grau arbitrário (com coeficientes racionais) é imediatamente uma fração periódica continua, então outra raiz é também uma fração periódica continua, o qual obtêm-se por divisão de –1 pela mesma fração continua, escrita na ordem inversa”.

Esta é uma agradável adição para os resultados de Euler e Lagrange sobre frações contínuas.

Em maio de 1829, Galois apresentou uma primeira investigação sobre soluções de equações algébricas para a Académie des Sciences de Paris. Um segundo artigo, sobre equações de graus primos, o qual foi apresentado oito dias depois, em 1^o de junho. Ambos foram enviados a Cauchy, que os extraviou. Eles nunca foram encontrados.

Em fevereiro de 1830, Galois apresentou para a Academia outro artigo sobre solução de equações algébricas. Neste tempo ele entrega à Academia o artigo ao secretário perpétuo Fourier, mas ele morreu antes de poder examinar o artigo. O manuscrito foi achado entre seus artigos.

Em abril de 1830 uma curta nota de Galois foi publicada no Bulletin des Sciences mathématiques de Férussac, na qual alguns dos resultados principais dos artigos da Academia foram enunciados sem provas. O primeiro e mais importante teorema enunciado neste artigo, é:

“Na ordem que uma equação de grau primo é resolvida por radicais, é necessário e suficiente que, se duas das raízes são conhecidas, as outras podem ser expressas racionalmente”.

Este teorema implica que a equação geral de grau 5 não pode ser resolvida por radicais.

No mesmo ano de 1830, Galois publicou dois pequenos artigos sobre questões de análise e sobre solução numérica de equações.

De grande importância para a história da álgebra é outro artigo: “Sur la thérie des nombres”, publicado no Férussac Bulletin em junho de 1830, no qual Galois determina a estrutura de corpos finitos. O conteúdo deste artigo será analisado no final do capítulo.

Em janeiro de 1831 a Academia recebeu uma terceira versão revisada do grande artigo: “Mémoire sur lês conditions de résolubilité des équations par radicaux”.

Os membros, Poisson e Lacroix, da Academia responderam que Poisson examinou-o com cuidado, mas ele declarou que não pode entende-lo.

Abaixo uma página do artigo citado acima:

 

 

 

 

(iii)             O duelo.

 

Galois não teve oportunidade de explicar sua teoria completa. Durante estes anos ele fez parte de numerosas desordens antimonarquistas. Ele foi aprisionado duas vezes. Em maio de 1932 ele foi forçado a aceitar um duelo. Ele tinha certeza que seria morto.

Ele disse que seu oponente desejava matá-lo para livrar-se de um perigoso republicano, mas este rumo não foi confirmado pelo próprio testemunho de Galois, na sua última carta.

Ele escreve no fim da carta:

“Eu sou vítima de uma infâmia”.

Supõe-se se que o próprio Galois tinha mais informação sobre os motivos deste o qual provocaria e mataria, o qual seria suspeito por motivo político.

Ele disse que “ele é de boa fé”,ou seja, ele teve convencido que os motivos de seu oponente eram sinceros.

Numa carta, ele escreve a dois amigos de seus amigos sobre a véspera do duelo:

“Seu dever é bem simples: provar que eu lutei, apesar de tudo, isto é, dizer depois de ter esgotado todos os meios e dizer se eu sou capaz de mentir, de mentir mesmo por um pequeno objeto do qual eu fui”, e em outra carta a este amigo policial ele diz:

“Tenho no céu o testemunho que é incomodo e que eu rogue todos os meios. Eu me arrependo de ter dito a verdade a homens com sangue frio, mas eu disse a verdade. Exalto no tumulo uma consciência clara de falsidade, clara de sangue patriota”.

O duelo ocorreu em 30 de maio de 1832. Ele usou a noite anterior ao duelo par escrever uma longa carta a seu amigo Auguste Chevalier, no qual ele explana as idéias fundamentais de sua teoria. Esta carta foi impressa em setembro de 1832 na Revue Encyclopédique. Ele termina assim:

“Você fará esta carta ser impressa na Revue Enciclopédique.

Eu sou freqüentemente audacioso na minha vida para avançar nas propostas das quais eu sou acima, mas isto que eu escrevi está desde tão cedo na minha cabeça, e isto é de meu interesse, de não me enganar, para não desconfiarmos de enviar teoremas dos quais eu não teria a demonstração completa.

Você pedirá publicamente a Jacobi e Gauss para dar sua contribuição e escrever tudo relacionado.

Um abraço com efusão.

Vinte e nove de maio de 1832.

 

E. Galois”.

Na manhã seguinte Galois era morto.

 

(iv)             O artigo de 1831.

 

Para quem tem que aprender a teoria de Galois de livros didáticos ou de conferências, não é difícil de entender o artigo de Galois, como foi para Poisson.

Galois inicia com uma equação f(x) = 0. Os coeficientes são supostos números racionais ou irracionais, ou apenas letras. Todas funções racionais destes coeficientes são chamadas racionais. Uma quantidade pode ser adjacente a outras quantidades, como a m-ésima raiz de quantidades racionais, e considere de modo geral que todas a funções racionais destas quantidades, diz Galois. Na terminologia moderna diríamos que um certo “corpo primário” é pressuposto, o qual pode ser estendido por adjunções no curso desta investigação. Se um polinômio f(x) pode ser fatorado sem sair do corpo primário, é chamado redutível, caso contrário será irredutível.

Como uma regra, mas não consistentemente, Galois usa as palavras permutação e substituição no mesmo sentido que Cauchy. Uma permutação é uma seqüência de um conjunto finito, e uma substituição é uma passagem de uma seqüência para outra (ou a mesma) seqüência.

Galois agora considera grupo de substituição tendo a seguinte propriedade: Se S e T pertencem ao grupo, então temos ST.

Se um polinômio f  tem uma raiz comum com um polinômio irredutível g, então f é divisível por g. Este é o primeiro lema de Galois. É também o primeiro teorema do artigo de Abel de 1829. O lema implica que o corpo de extensão K(V)  obtido por uma raiz adjacente V de um polinômio irredutível g(x) é completamente conhecido, logo o anel quociente K e o polinômio g são conhecidos. Na terminologia moderna o corpo K(V) é isomorfo.

A seguir Galois prova: Se uma equação g(x) = 0 não tem raízes, podemos sempre formar uma função V de raízes tal que todos os valores de V obtidos por permutações são diferentes.

            Podemos tomar:

            (1)                   V = Aa + Bb + Cc + ...

com a  escolha conveniente de inteiros A, B, C,... diz Galois.

            Deste lema, Galois deduz um caso especial do qual nós agora chamamos o “Teorema do Elemento Primitivo”:

            Lema 3: Se V é escolhido como antes, todas raízes a, b, c,... são expressas como funções racionais de V.

            Para provar este importante lema, Galois coloca:

            V = j(a, b, c,...).

            Ele agora permuta as raízes b, c,... de todas as maneiras possíveis, mantendo fixada somente a raiz a, e forma o produto:

                                   [V - j(a, b, c,...)] . [V - j(a, b, c,...)] . ...

            Esta é uma função simétrica de b, c,..., o qual são raízes do polinômio:

                                   g(x)/(x – a)

uma vez que pode ser expressada como uma função racional de ª Assim nós temos a equação:

            (2)                   F(V, a) = 0.

            Esta equação é,

            (3)                   g(a) = 0

tem em comum somente a raiz a, para não poder acontecer que F(V, b) seja zero, diz Galois.

            Agora se duas equações (2) e (3) tem somente uma raiz a em comum, esta raiz pode ser calculada racionalmente. Uma vez que a é uma função racional de V.

Galois acertou em dizer que F(V, b) não é zero, para F (V, b) se um produto de fatores:

                                   [V - j(a, b, c,...)] . [V - j(a, b, c,...)] . ...

na qual todas permutações (b, a, c,...) são todas permutações de (a, b, c,...) na qual b vem primeiro, quando as outras (a, c,...) são permutadas em todas as possíveis posições. Esta segue da definição do livro, a saber: Desde de que todas as expressões j(a, b, c,...) são supostas ser diferentes de V = j(a, b, c,...), segue que F (V, b) é diferente de zero, e assim são F (V, b), etc.

            Poisson fez uma anotação na margem do lema 3, dizendo: “A prova deste lema é insuficiente, mas é verdadeira pelo artigo 100 de Lagrange. A prova de Galois é apenas um esboço, e não elaborou esta declaração que F (V, b) não é zero. A última declaração de Poisson “é verdade pelo artigo 100 de Lagrange” é correto. Pelo artigo 100 de Lagrange “Réflexions”, uma prova completa do lema é dada.

            Galois estava correto que esta prova é essencialmente correta, mas Poisson estava correto em declarar que é incompleta.

            Na notação moderna, nós podemos escrever:

            (4)                   K(a, b, c, ...) = K(V)

quando k é o anel quociente.

            O “elemento primitivo” V é uma raiz de uma equação irredutível. Seja,

            (D)                  V, V’, V”,..., V^(n-1)

as raízes desta equação. O lema 4 diz:

Se a = j(V) é uma raiz da equação original, j(V’) será também uma raiz. A prova é trivial.

            A seguir o teorema principal:

            Proposição I: Há um grupo de permutações das letras a, b, c,... tal que:

            1^o) Cada função das raízes, invariável sob as substituições do grupo, é racionalmente conhecida.

            2^o) Conseqüentemente, cada função das raízes racionalmente conhecidas são invariáveis sob o grupo.

            A terminologia de Galois não é consistente. Ele primeiro diz de “permutações” e depois de “substituições” formam o grupo, mas o que ele deseja dizer é complemente claro.

            Para provar este teorema, Galois expressa as raízes como funções racionais de V:

            (E)                   jV, j₁V,..., j_m-1V.

            A seguir ele escreve as permutações:

            (F)                   jV        j₁V     ... j_m-1V

                                   jV’     j₁V’     ... j_m-1V’

                                   …        …        …

                                    jV^(n-1)  j₁V^(n-1) ... j_m-1V^(n-1)

 

e ele declara que o “grupo de permutações” (sentido correspondente a grupo de substituições) satisfaz a requerida condição. A prova é muito curta, mas não é difícil para uma moderna leitura elaborada por passos simples.

            Galois depois investiga que a equação muda quando o ground field é estendido pela adjunção de uma raiz ou de todas raízes de uma equação auxiliar. É claro que depois da adjunção, o grupo Galois será um subgrupo H do grupo original G. Se H é um subgrupo, G pode ser decomposto como segue:

            (5)                   G = H + HS + HS’ + ...

ou, alternativamente, como:

            (6)                   G = H + TH + T’H + …

            Estas duas decomposições são claramente esplanadas numa carta a Chevalier.

As duas decomposições não coincidem sempre, diz Galois. Se eles coincidem, a decomposição é chamada “própria”. Na terminologia moderna, este é o caso quando H é um “subgrupo invariante”, ou “divisor normal” de G. Em particular, se todas as raízes de uma equação auxiliar são adjacentes, as duas decomposições coincidiram. Esta é a Proposição III de Galois. A prova dela é omitida.

            Galois agora retorna ao problema principal:

            Em qual caso a equação é resolvível por radicais?

            Podemos restringir o problema a si mesmo, radicais de grau primo p. Uma p-ésima raiz e extraída, Galois supõe a p-ésima raiz extraída da unidade ser adjacente de antemão. Esta não é uma restrição essencial, porque Gauss já tinha provado que as p-ésimas raízes da unidade podem ser expressas por meio de radicais de grau menor que p.

            Suponha que a adjunção de um radical r, raiz de uma equação:

            (7)                   x^p – s = 0,

conduz a uma redução de grupo Galois.

            Porque a p-ésimas raízes da unidade

                                   a, a²,..., a^p = 1

estão no groud field, a mesma redução é obtida pela adjunção de todas as raízes da equação (7). Pela Proposição III, a decomposição (5) será uma decomposição própria, que é, o subgrupo H é um divisor normal. Galois declara, mas não provou, que o número de termos na decomposição (5) (o qual nós chamaremos o índice de H em G) é o número primo p. Conseqüentemente, se G tem um divisor normal H do índice primo p, pode reduzir o grupo Galois G ao subgrupo H pela adjunção a um radical de grau p. Esta é provada como em nosso livro didático por fazendo-se uma função q invariante sob o subgrupo H e formando um “resolvente de Lagrange”,

            (8)                   z = q + a₁q₁ + a²q₂ + ... + a^p-1q_p-1

quando a é a p-ésima raiz da unidade, quando q₁, q₂,... pela substituição

                                   S, S²,..., S^p-1

representando a classe lateral na decomposição (5).

Segue que uma equação g(x) = 0 é resolúvel por radicais se e somente se uma seqüência de subgrupos:

                        G É H₁ É H₂ É ... É H_m = E

existem, tal que cada H_k é um divisor normal do precedecessor H_k-1 ou G, quando todos os índices são primos. Se este é o caso, nós dizemos que o subgrupo G é resolúvel.

            Galois supõe a seguir que a equação f(x) = 0 é irredutível e do primo de grau n. ele prova:

A equação pode ser resolvida por radicais se e somente se cada uma das substituições de G transforma x_k em x_k’ pela transformação linear de k módulo n:

                        k’º ak + b (mod n).

O grupo Galois da equação quíntica geral não é desta forma, uma vez que esta equação não pode ser resolvida por radicais.

            Assim, o resultado de Abel segue da teoria de Galois.

            Na última versão deste relato Galois citou Abel, mas neste tempo quando ele envia esta primeira versão para a Academia ele não conhecia o nome de Abel. Estas principais fontes estão nos trabalhos de Lagrange, Gauss e Cauchy.

 

(v)               Corpos Galois.

 

Ambos, Abel e Galois tinham uma clara noção do que nós agora chamamos “corpo”. Galois declara correto no inicio deste grande relato:

“Podemos concordar para considerar cada função racional de um certo número de quantidades conhecidas a priori”, e ele vai explicar o que significa por adjacente a uma certa quantidade para o corpo de quantidades consideradas como conhecidas.

Os corpos considerados por Abel e Galois nestes artigos sobre resolução de equações, todas contém o corpo dos números racionais.

Na terminologia moderna eles são corpos de característica zero. Se a característica é p, a equação:

                        x^p – 1 = 0

terá somente uma raiz x = 1, enquanto que Abel e Galois sempre supunha que as p-ésimas raízes da unidade são todas diferentes.

            Contudo, neste artigo “Sur lá théorie dês nombres”, o qual foi publicado em 1830 no Bulletin dês Sciences de Férussac, Galois construiu corpos finitos, o assim chamado

Corpos-Galois. Ele declarou no próprio começo que este objeto é considerado estrutura algébrica no qual todas as quantidades, multiplicadas por p são todas consideradas ser zero.

            Das palavras é claro que o ponto inicial de Galois era o cálculo de uma congruência módulo primo p, iniciado por Gauss. Era conhecido que classe de resíduo módulo p pode ser somado, subtraído, e multiplicado, e que a congruência:

                                   ax º b (módulo p).

pode sempre ser resolvida em racionais inteiros, a fornecido  não é congruente a zero. Em outras palavras, a classe de resíduo módulo p forma um corpo.

            Gauss também tinha considerado congruências de altos graus tal como:

                                   x² º a (módulo p).

mas ele somente admitiu soluções racionais. Galois agora pergunta quando podemos introduzir soluções irracionais, que é, quando podemos aumentar o corpo classe de resíduo pelas raízes não contidas no corpo original.

            Galois supõe o polinômio Fx ser irredutível módulo p. Ele pergunta quando podemos resolver a congruência Fx º 0 por introduzindo novos “símbolos”, o qual pode ser proveitosa como a unidade imaginária. Galois chama i de uma das raízes da congruência

Fx º 0 de grau v. Ele forma p^v expressado:

            (A)                  a + a₁i + a₂i² + ... + a_v-1i^v-1

quando a, a₁, a₂,..., a_v-1 são inteiros módulo p. Esses p^v elementares formam o que nós hoje chamamos “Corpos Galois”GF(p^v).

            É fácil mostrar que a expressão (A) forma um corpo, que satisfaz as regras de adição, subtração, divisão e multiplicação.

            Galois toma agora um elemento a da forma (A), na qual os coeficientes a, a₁, a₂,..., a_v-1 não são todos zero. As potências a, a²,... não podem ser todos diferentes, uma vez que uma potência aⁿ pode ser igual a 1, a expressão:

                                   1, a, a²,..., a^n-1

pode ser toda diferente. Na terminologia, eles formam um subgrupo do grupo. Seguindo o mesmo caminho, achamos que todos os subconjuntos juntos formam todos os subgrupos multiplicativos de ordem p^v – 1, e que o expoente n é um divisor de p^v – 1. Assim, temos:

                                   a^pv-1 = 1

            Depois provaremos, diz Galois, como na teoria de classe de resíduo módulo p, onde existem estas “raízes primitivas” para qual n é exatamente p^v – 1. Todos os outros elementos diferentes de zero do corpo Galois são potências de um elemento primitivo a. A prova de existência de tal elemento, dado por Gauss para o caso da classe de resíduo módulo p, trabalha bem no caso GF(p^v).

            Nós agora vemos que todos elementos do corpo Galois, incluindo zero, são raízes do polinômio:

            (B)                   x^pv - x 

e que cada polinômio irredutível Fx de grau v é um divisor do polinômio , as outras raízes deste são:

                                   a^p, ap2,..., a^pv-1

            Estas seguem da bem conhecida congruência:

                                   (Fx)^p º (Fx^p).

            No final deste tratado, Galois reverte a situação. Ele inicia com algum corpo extensão de GF(p) no qual o polinômio (B) pode ser completamente fatorado. Restringindo mesmo subcorpo gerado por raízes, ele toma um “elemento primitivo” i  do subcorpo.

Um tal elemento sempre existe de acordo com o conhecido teorema de Abel, diz

Galois.

            Todo i é uma raiz de um (mod p) polinômio irredutível Fx. Sem importância a qual o polinômio de grau v escolhemos, sempre obter o mesmo corpo GF(p^v). Em muitos casos, o simples caminho para obter um tal polinômio é “par tatonnement”, diz Galois, por tentativa e erro. Como por exemplo, ele toma p = 7 e v = 3. O polinômio x³ – 2 é irredutível (mod 7), e uma raiz i deste polinômio gera o corpo GF (7³).

 

(vi)             As publicações dos artigos de Galois.

 

O artigo: “Mémoire sur les conditions de résolubilité dês équations par radicaux” foi publicado em 1846, quarenta anos depois da morte de Galois, por Liouville no Journal de Mathématiques pures et aplicaquées.

No “Avertissement” precedendo o artigo, Liouville reproduz a carta de Galois a Chevallier, e acrescenta:

Inserindo no seu Recueil a carta foi lida, os editores da Revue encyclopédique anunciaram que eles logo publicariam o manuscrito de Galois. Esta promessa não foi cumprida. No entanto, Auguste Chevalier preparou o trabalho. Ele nos deu, e achou nas páginas o seguinte:

1^o) Um artigo sobre as condições de resolubilidade de equações por radicais com aplicações para equações de graus primos.

2^o) Um fragmento do segundo artigo, no qual Galois trata a teoria geral destas equações a qual ele chama primitivas.

Também é mencionado o interesse geométrico em varias outras notas de Galois.

 

 

(vii)           Algumas contribuições de Hermite.

 

O matemático francês Charles Hermite (1822 - 1882) era aluno do mesmo Louis Richard, que ensinou Galois. Em 1842, com vinte anos, ele publicou um artigo: “considérations ser la résolution du cinquiène degré”, no qual ele esboçou com grande claridade e precisão as idéias de Lagrange concernente às equações de grau 5.

Em 1847 ou anteriormente, Hermite escreveu uma carta para Jacobi, na qual menciona o trabalho de Galois sobre funções elípticas. Assim, Hermite era conhecedor do trabalho de Galois, pouco depois da publicação dos seus artigos, em 1846 ou anteriormente.

Abaixo uma imagem de Hermite: