A NASCENÇA DE UM NOVO CONJUNTO

            Como existe elementos maiores que o último número dos naturais, terá a necessidade de definir um novo conjunto, um que contenha os reais. Chamemos-lhe de conjunto universal ou cósmico. O seu símbolo é U.

            As operações serão as mesmas?

            Em primeiro lugar, tem que se definir o modo dos naturais ou reais chegarem aos elementos superiores ao . Haverá uma operação que faça essa «magia».

            É a AMPLIAÇÃO . Como o nome indica, amplia um número para outro através de um factor. A ampliação define-se por uma operação que transforma um número y qualquer num outro, multiplicando o número dado y pelo factor de ampliação x. Escreve-se da seguinte forma:

As propriedades desta operação serão idênticas às da multiplicação trivial.

            Até agora, o que se fez foi ampliação de subconjuntos e de elementos de conjuntos. Mais à frente explicarei como.

            Se existir ampliação, tem que existir REDUÇÃO . A redução define-se por uma operação que transforma um número y qualquer num outro, dividindo o número y pelo factor de redução x. Escreve-se da seguinte forma:

            As propriedades desta operação serão idênticas às da divisão trivial.

Se a é a ampliação de 1 em que o factor é a, então todas as operações triviais entre quaisquer elementos de U  também têm as propriedades das dos reais, por todos os elementos poderem ampliar-se e reduzir-se entre eles. Gozam também da propriedade associativa da soma e da multiplicação, da propriedade comutativa da soma e da multiplicação, da existência do elemento neutro e do elemento oposto, etc.

Na parte anterior, já tinhamos chegado aos elementos reais existentes no intervalo de ]0;1[. Ainda se lembra como é que chegámos lá?

Afirmámos que: . Mas de que forma estava representada esses elementos? Na forma de um produto. Esse produto não é um produto normal. É o produto interno de um subconjunto de U entre x e y, de n a n, tal que x e y pertencem ao subconjunto. Representa-se por

Essa operação é apenas binária. Não goza de nenhuma propriedade, não tem elemento neutro nem elementos opostos.

Será mesmo que não goza de nenhuma propriedade? Algumas, mas umas diferentes  das das opererações triviais.

Então, nesta representação, . Para simplificar a escrita, se n=x, escreve-se da seguinte forma:

e lê-se «produto elementar do subconjunto de 1/a a 1-1/a».

Neste caso,  representa-se também como:

Como viste neste processo:

Supondo que n é o número de factores do produto elementar de um subconjunto de U de x a y, pode-se concluir que: