Notas históricas e complementares
(Extraído do livro "Análise Matemática para Licenciatura", de Geraldo Ávila. 3a. ed. revista e ampliada. Ed. Edgard Blücher, São Paulo, 2006)

A Geometria dedutiva

A Matemática dedutiva, tal qual a conhecemos hoje, tem sua origem com Tales de Mileto, no século VI a.C. Até esse tempo a Matemática grega era herdeira direta daquela que se desenvolveu na Babilônia e no Egito. Os conhecimentos matemáticos de então, tanto nessas regiões do Oriente Médio, como na Índia e na China, eram de natureza empírica. Mas a partir de Tales a Matemática grega vai assumindo o aspecto de um corpo de proposições logicamente ordenadas: cada proposição é demonstrada a partir de proposições anteriores, estas a partir de outras precedentes, e assim por diante, um processo que não teria fim. 

Mas os gregos logo perceberam isso e viram que era necessário parar o processo em certas proposições iniciais, consideradas evidentes por si mesmas: a partir destas, todas as outras são demonstradas. As proposições evidentes por si mesmas são hoje designadas, indiferentemente, “postulados” ou “axiomas”. 

Essa estrutura demonstrativa está muito bem retratada nos Elementos de Euclides, uma extraordinária obra escrita por volta do ano 300 a.C., no início da civilização helenística. O aspecto mais importante dessa obra é a organização dos fatos num encadeamento dedutivo, em que um reduzido número de proposições e definições iniciais são utilizadas para demonstrar, uns após outros, todos os teoremas considerados. Historicamente, os Elementos são a primeira corporificação desse “método axiomático”, de que voltaremos a falar no final do Capítulo 3, em nota sobre Fundamentos.

Os Elementos de Euclides

De Euclides de Alexandria, o autor dos Elementos, quase nada sabemos. E as in-formações que sobre ele nos chegaram vêm dos comentários de Proclo, um autor que viveu mais de 700 anos depois de Euclides. Mesmo Proclo tem dificuldade em determinar a época em que viveu Euclides.

Euclides escreveu várias obras científicas, a mais famosa das quais é aquela referida na literatura, ora como Elementos de Euclides, ora como Os Elementos, e outras vezes ainda simplesmente como Elementos. Trata-se de uma coletânea de 13 livros, reunindo quase todo o conhecimento matemático da época em que foi escrita. Em parte por causa disto, e também por tratar-se de uma obra de escol, as obras anteriores aos Elementos desapareceram; a única exceção são alguns fragmentos atribuídos a Hipócrates de Quio, que viveu no século V a.C. Assim, os Elementos de Euclides são praticamente tudo o que temos da Matemática grega que se desenvolveu desde seu início com Tales de Mileto até o tempo de Euclides. Esse é um período de cerca de 250 anos, muito pouco tempo para que a Matemática, logicamente organizada, evoluísse do estágio embrionário em que se encontrava com Tales, até o alto grau de sofisticação que transparece nos Elementos.

Não sabemos se Euclides escreveu os Elementos para uso no ensino, ou apenas para reunir o conhecimento matemático da época. Naquele tempo não havia a preocupação pedagógica que só teve desenvolvimento significativo a partir do século XIX, de forma que Euclides alcançou os dois objetivos, e sua obra foi muito usada no aprendizado da Matemática por mais de dois milênios. No século XIX já havia outros livros de Geometria, didaticamente mais adequados ao ensino. Um deles é o livro de Legendre, que teve muitas edições em várias línguas, inclusive o português, e foi muito usado nas escolas brasileiras por quase todo o século XIX. (Veja nosso artigo “Legendre e o postulado das paralelas” na RPM 22.)

Um equívoco que se comete com freqiiência é pensar que os Elementos são uma obra apenas sobre Geometria. Na verdade, há muito de Aritmética e Álgebra em vários dos livros dos Elementos. O que é verdade e isto explica, pelo menos em parte, a origem do equívoco – é que a Matemática grega na época em que Euclides compôs sua obra, era toda ela geometrizada. De fato, como veremos no Capítulo 3, a crise dos incomensuráveis e a genial solução que lhe deu Eudoxo, aliada a uma excessiva preocupação com o rigor, encaminhou toda a Matemática para o lado da Geometria. Isso se tornou tão arraigado que até o início do século XX os matemáticos costumavam ser chamados de “geômetras”. Era, comum, por exemplo, referir-se a um matemático como Henri Poincaré como “o grande geômetra francês”, embora ele fosse um homem de cultura universa,l, em Mlatemát,ica, Astronomia, Física, Filosofia, e outros domínios do conhecimento. Ainda hoje certos professores de Matemática de universidades inglesas têm o título de “Professor of Geometry”.

Um outro equívoco não menos freqiiente é pensar que os fatos geométricos dos Elementos de Euclides sejam expressos numericamente como o são para nós hoje. Para exemplificar, enquanto para nós a área de um triângulo é dada por uma fórmula exprimindo metade do produto da base pela altura, para Euclides a área de um triângulo é metade da área do paralelogramo que se obtém com a junção de dois triângulos iguais ao triângulo dado; a área do paralelogramo é igual à área de um retângulo de mesma base e mesma altura,, e assim por diante. Para nós, hoje, a área de um círculo é pr2, mas para Arquimedes, que viveu algumas décadas depois de Euclides, a área do círculo é igual à. área de um triângulo de base igual ao comprimento da circunferência e al-tura igual ao raio do r.írculo. Para nós o volume da esfera é 4pr3/3, enquanto o que Arquimedes nos diz é que o volume da, esfera está para o volume do cilindro circular reto a ela circunscrito assim como 2 está para 3: e isto é informação suficiente. Na Matemática grega, antes e durante o período helenístico, não havia fórmulas como é tão comum hoje em dia; tudo era dado em termos de proporções, como no caso do volume da esfera que acabamos de mencionar. E isso perdurou no Ocident,e por mais um milênio após o declíneo da civilização helenística.

O conteúdo dos Elementos

Os Elementos são uma obra de grande valor histórico Sua melhor versão é a tradução inglesa de Thomas L. Heath [6] (publicada pela Editora Dover em três volumes). Isto porque Heath enriqueceu sobremaneira a obra de Euclides com uma excelente introdução, além de inúmeros, valiosos e esclarecedores comentários.

O volume I de Heath reúne os Livros I e II dos Elementos, o primeiro destes contendo uma boa parte da geometria plana, construções geométricas, teoremas de congruência, áreas de polígonos e o Teorema de Pitágoras (que é a Proposição 47). Ainda no vo-lume I de Heath encontra-se o Livro II dos Elementos, sobre o que se costuma chamar de “Álgebra geométrica”. Por exemplo, a Proposição 4 desse Livro II é o equivalente, em linguagem geométrica, da propriedade que hoje conhecemos como “quadrado da soma” (igual ao quadrado do primeiro, mais o quadrado do segundo, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo). Euclides enuncia isto geometricamente assim: “se um segmento de reta é dividido em dois, o quadrado construído sobre o segmento inteiro é igual aos quadrados sobre os segmentos parciais e duas vezes o retângulo construído com estes segmentos”. Euclides não fala, mas ele está se referindo a áreas, quando diz “...é igual...”

O volume II de Heath contém os Livros III a IX dos Elementos, tratando do círculo (Livro III), construção de certos polígonos regulares (Livro IV), teoria das proporções de Eudoxo (Livro V), semelhança de figuras (Livro VI) e teoria dos números (Livros VII-IX). Por exemplo, a Proposição 20 do Livro IX é o famoso teorema: “existem infinitos números primos”. Mas Euclides não fala “infinitos”, já que os gregos não admitiam o que Aristóteles chama de “infinito atual”, apenas o chamado “infinito potencial”. Em linguagem de hoje ele diz o seguinte: “Dado qualquer conjunto (finito, entenda-se bem!) de números primos, existe algum número primo fora desse conjunto”. E a demonstração, novamente, é geométrica. Segundo o matemático inglês Godfrey Harold Hardy, trata-se de uma das mais belas demonstrações da Matemática.

Finalmente, o volume III de Heath contém os Livros X-XIII, onde são tratados a incomensurabilidade, geometria espacial e os poliedros regulares.

O leitor pode ler mais sobre os Elementos no excelente trabalho do Professor João Bosco Pitombeira sobre essa obra, publicado como volume 5 dos Cadernos da RPM; ou no livro de Asger Aaboe, intitulado “Episódios da História Antiga da Matemática”, traduzido e publicado pela SBM.

As geometrias não-euclidianas

Embora muito admirado e aplaudido, o modêlo axiomático dos Elementos, no que se refere ao 5 – postulado, ou postulado das paralelas, suscitou questionamentos. Já na antiguidade vários matemáticos acreditavam que ele pudesse ser demonstrado com base nos outros postulados, e tentaram fazer isso. Essas tentativas de demonstração foram retomadas nos tempos modernos pelo matemático italiano Girolamo Saccheri, que publi-cou, pouco antes de morrer, um opúsculo no qual pretendia ter demonstrado o postulado pelo método de redução ao absurdo. Assim, negando o postulado, ele demonstrou uma série de teoremas, concluindo ter chegado a uma contradição. Mas, no fundo, no fundo, não havia contradição alguma nas conclusões de Saccheri, embora isso só fosse notado muito mais tarde, quando Eugênio Beltrami descobriu o trabalho de Saccheri.

Por volta de 1830 já havia sérias suspeitas de que o postulado das paralelas não pudesse ser demonstrado a partir dos outros. Em outras palavras, pensava-se que se pudesse desenvolver urna geometria a partir de negações do postulado das paralelas, ao lado dos outros postulados de Euclides. Foi nessa época que o matemático húngaro János Bolyai e o russo Nicokolai Ivanovich Lobachevsky publicaram, independente-mente um do outro, a descoberta de geometrias não-euclidianas, ou seja, geometrias que negam o postulado das paralelas.  
Mas as publicações de Bolyai e Lobachevski não foram suficientes para convencer o mundo matemático da possibilidade das geometrias não-euclidianas. Na verdade, esses trabalhos eram parecidos com o de Saccheri: negavam o postulado das paralelas e desenvolviam uma série de teoremas sem chegar a contradição alguma. Mas, e daí? quem garante que a contradição não está para aparecer logo no próximo teorema que ainda não foi demonstrado? Quem garante que todos os teoremas já foram enunciados e demonstrados?

Aliás, foi somente após essas questões serem levantadas em conexão com as tentati-vas de demonstrar o postulado das paralelas, ou construir geometrias não-euclidianas, que os matemáticos começararri a perceber que a própria Geometria de Euclides também estava sujeita aos mesmos questionamentos. Quem poderia garantir que os cinco postu-lados de Euclides não poderiam levar a uma contradição? Afinal, Euclides demonstrara apenas um número finito de teoremas. Quem sabe a contradição poderia aparecer no próximo teorema, como alguém que, depois de tanto percorrer as areias de um deserto à procura de um oasis, quando não mais acredita que ele exista, pode – agora por felicidade e não desdita – encontrá-lo do outro lado da próxima duna!...

Foi o matemático italiano Eugenio Beltrami quem primeiro exibiu um modelo de geometria não-euclidiana que permitia interpretar os fatos dessa geometria em termos da própria geometria euclidiana. Outros modelos foram construídos por Felix Klein e Henri Poincaré, estes também, como o de Beltrami, apoiando-se na geometria euclidia-na.

Foi a partir de então – após esses vários matemáticos haverem exibido modelos euclidianos das geometrias não-euclidianas –, que estas geometrias ganharam total credibilidade. Provava-se que elas eram consistentes, isto é, livres de contradições in-ternas. Mas tais provas apoiavam-se na geometria euclidiana, de sorte que elas tornavam ao mesmo tempo evidente a necessidade de provar a consistência da própria Geometria de Euclides. Os matemáticos começaram então a estudar a consistência dos postulados de Euclides, e logo perceberam que eles eram insuficientes para provar os teoremas co-nhecidos, sem falar nos demais que viessem a ser considerados no futuro. Analisando os Elementos desse novo ponto de vista, eles descobriram que a axiomática euclidiana era muito incompleta e continha sérias falhas. Euclides, em suas demonstrações, apelava para muitos fatos alheios aos postulados. Era necessário reorganizar a própria geometria euclidiana, suprindo, inclusive, os postulados que estavam faltando. Isto foi feito por vários matemáticos no final do século XIX, dentre eles David Hilbert que, em 1889 pu-blicou o livro “Fundamentos da Geometria”, no qual ele faz uma apresentação rigorosa de uma axiomática adequada ao desenvolvimento dedutivo da geometria euclidiana.

Paralelamente ao que acontecia em Geometria, as preocupações com o rigor se faziam presentes também na Análise Matemática, já a partir do final do século XVIII, e sobre isso falaremos nas notas do final do Capítulo 6.