Vectores

vectores V

Definición del Producto Cruz ( Vectorial )

Dados dos Vectores y se define como Producto Vectorial o Producto Cruz

en donde es un Vector perpendicular a Plano de los Vectores y , y en donde es un Vector Unitario con la misma dirección y sentido del Vector

es a

Productos Vectoriales de los Vectores Unitarios

Cuando se Multiplican Vectores Unitarios es importante hacer notar lo siguiente:

· Si el Producto es a FAVOR de las manecillas del reloj es NEGATIVO

· Si el producto es en CONTRA de las manecillas del reloj es POSITIVO

Si tenemos dos Vectores y y efectuamos el producto nos quedaría:

esto lo podemos demostrar fácilmente ya sea por una simple multiplicación ó desarrollando el método de MENORES de un determinante por la primera Fila

Para que el producto de dos Vectores no sea Cero dichos Vectores no deben ser Paralelos, porque si son Paralelos el ángulo que se forma entre ellos ó es (por que están en la misma Dirección ) ó es de ( porque están en sentido contrario ) y si recordamos la formula del producto que es

y como el seno de y el seno de son iguales a 0

Propiedades del Producto Cruz ( Vectorial )

· El producto de un Vector por si Mismo es cero

· El producto de un Vector por el Vector nulo es cero

Ley Distributiva

Si los Vectores y son los lados contiguos de un PARALELOGRAMO entonces el área de dicho paralelogramo esta dada por:

Si los Vectores y son los lados contiguos de un TRIÁNGULO entonces el área del triángulo es igual a:

para que quede mas claro lo explicaremos con un EJEMPLO

Si los Puntos , y son los Vértices de un Triángulo encontrar su Área.

Solución:

Triple Producto Escalar

Dados los Vectores , y tenemos que el Triple Producto Escalar se define como:

su NEGATIVO

Si los Vectores , y son los lados contiguos de un PARALELEPÍPEDO entonces el Volumen de este Paralelepípedo esta dado por:

Si los Vectores , y son los lados contiguos de un TETRAEDRO ( pirámide de 4 lados triangulares ) entonces el Volumen de este Tetraedro esta dado por:

Si tres Vectores son COPLANARIOS ( en el mismo Plano ) entonces su triple producto ESCALAR es igual a CERO.

Si dos de los tres Vectores , y son Paralelos entonces el Triple Producto Escalar es igual a CERO.

es paralelo a

Ejemplo: Efectuar el siguiente Producto si , y ( primero se efectúa )

y recordando que

nos quedaría:

lo cual se puede escribir de la siguiente manera

Triple Producto Vectorial

Dados los Vectores , y tenemos que el Triple Producto Vectorial se define como:

En donde el Vector es Coplanario y Perpendicular al Vector y al Vector

El Vector es Perpendicular a los Vectores y

( no cumple la ley Conmutativa )

Regla del Factor Medio

Con el siguiente ejemplo aclararemos las dudas.

Si tenemos los Vectores , y encontrar

Aplicaciones del Producto Cruz

Encontrar el Volumen del Paralelepípedo que tiene como aristas contiguas los siguientes Vectores,

, y

Encontrar un Vector que tenga una magnitud de 25 y que sea Perpendicular al Plano formado por los vectores, y

Solución: efectuando el producto Cruz se encuentra su perpendicularidad

calculando el Vector Unitario ( )en la dirección y sentido del Vector

multiplicando el Vector Unitario por 25 nos queda:

Nota: Un problema de este tipo tiene dos soluciones de acuerdo con el sentido del Vector ( la otra respuesta seria el mismo Vector pero multiplicado por –1 )