DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN

Definición.

Si A es una matriz cuadrada de orden dos, a esta se le puede asignar un número que recibe el nombre de DETERMINANTE y se puede representar por una letra cualquiera ( A ).

DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN

Definición del Valor.

El valor de un determinante de orden dos, se define como el producto de los elementos de la diagonal principal (        ) menos el producto de los elementos de la otra diagonal (        ).

Esto es:

Si      

Ejemplo.       Halle el valor de los determinantes indicados:

DETERMINANTES DE TERCER ORDEN  

Como se puede observar la solución de un    no es; “la diagonal principal, menos la otra diagonal” ya que aquí aparecen seis términos que debe ser justificados su valor de alguna manera.

Para visualizar la solución de un método practico, y “exclusivo” para determinantes de orden tres se puede hacer lo siguiente.

Método de Lluvia

Agregar las primeras dos columnas a la derecha del determinante y trazar diagonales uniendo tres elementos en la dirección de la diagonal principal nos darán los términos con signo positivo, y las diagonales que “crucen” la diagonal principal uniendo tres elementos nos darán los términos con signo negativo:

= =

RECUERDE. Este procedimiento es exclusivo para  un      .

Ejemplo.       Halle el valor del determinante.

DETERMINANTES DE ORDEN N  

SOLUCIÓN POR COFACTORES

El estudiante se preguntará si existe un método único que resuelva determinantes de cualquier orden, la respuesta es afirmativa y se dará su demostración partiendo de la solución general del        .

Sacando factor común y agrupando (observando la primer fila)

Cambiando signo al segundo término

Lo que esta entre paréntesis se escribe con determinantes de segundo orden

(   )

Se observa que los determinantes que acompañan a los elementos  a₁ b₁ c₁ se obtienen al eliminar la fila y columna a que pertenecen respectivamente, y que uno de ellos tiene signo negativo. Estos determinantes reciben el nombre de COFACTOR de un elemento de un determinante quedando su definición como sigue:

Definición.

Se llama COFACTOR de un elemento de un determinante al determinante de orden inmediato inferior que se obtiene al suprimir la fila y columna a que pertenece dicho elemento y que además posee signo positivo o negativo.

Para justificar el signo del cofactor del elemento, se puede pensar en dos formas.

1.       Tendrá signo positivo si la posición del elemento en cuanto a la suma de fila y columna es número par y negativo si la suma da impar.

2.       El signo del cofactor del elemento de un determinante tendrá signo positivo o negativo de acuerdo a la siguiente “tabla” de signos.

El valor de cualquier determinante de orden n, es igual  a una suma algebraica de n términos, cada uno de los cuales se forma al multiplicar cada elemento de cualquier fila o columna por su COFACTOR correspondiente.

Ejemplo.  Calcular el valor del Determinante del ejemplo anterior usando el Método de Cofactores

a): tomando como base los elementos de la 1er fila

Solución.

a)     Base a 1er fila.

Este método de solución se “Complica” cuando se aplica a Determinantes de Orden Superior.

Dicho problema se puede evitar si conocemos las Propiedades de los Determinantes para combinarlas con la solución por cofactores.