ELABORADO POR: Rosanna Medina

                                                               Adriana Fraga

    Blanca Brito

    Betsy Arguelles

    Gerardo Durante

 

ALCANCE DEL TRABAJO:

 

Análisis Bivariable Lineal

1.      Asociación entre variables

2.      Modelos de regresión bivariable lineal

3.      Estimación de parámetros de regresión

4.      Varianza  de la regresión de la muestra

5.      Inferencias acerca de los coeficientes de regresión de la población

6.      Predicción y Pronosticación

7.      Análisis de Correlación

8.      Coeficiente de correlación de la muestra

9.      Coeficiente de determinación y análisis de varianza en regresión lineal

10. Prueba F sobre Beta

11. Coeficiente de correlación por calificación

12. Conclusiones

13. Infografia y Bibliografía

 

 

 

 

 

 

 

1.           Asociación entre Variables:

Analizar las relaciones entre variables

Si dos variables evolucionan modo tal que en alguna medida se siguen entre ellas, podemos decir que existe una asociación o covarianza estadística entre ellas. Por ejemplo, la altura y peso de la gente están estadísticamente asociadas: aunque el peso de nadie esté causado por su altura ni la altura por el peso es, no obstante, habitual que las personas altas pesen más que las personas bajas. Por otro lado los datos habitualmente incluyen también excepciones, lo que significa que una asociación estadística es inherentemente estocástica.

La ciencia de la estadística ofrece numerosos métodos para revelar y presentar las asociaciones entre dos y hasta más variables. Los medios más simples son los medios de presentación gráfica y tabulación. La intensidad de la asociación entre variables puede también describirse como una estadística especial, como el coeficiente de contingencia y una correlación para lo que hay varios métodos de análisis disponibles.

Si, al analizar los datos, se descubre alguna asociación entre las variables, el investigador quisiera a menudo saber la razón de esta asociación en el mundo empírico, es decir él quisiera explicar esta asociación. Los tipos usuales de explicación se enumeran en la página Descripción y Explicación. Común a todos es que dan la causa del fenómeno se está estudiando que. Cuando las medidas se han hecho de una serie de estos fenómenos, es usual que una serie de medidas, llamada variable independiente, se hace así de la causa presumida, y una otra serie de medidas, la variable dependiente, del efecto presumido en el fenómeno.

Nota que no hay métodos en el análisis estadístico para la tarea de descubrir la explicación causal para una asociación estadística. Una fuerte correlación entre, digamos, A y B, puede deberse a cuatro razones alternativas:

• A es la causa de B.
• B es la causa de A.
• Tanto A como B son causadas por C.
• A y B no tienen nada que ver con uno al otro. Su asociación en los datos analizados está una coincidencia.

Se debe encontrar así la causalidad o la otra explicación para la asociación de las variables en alguna otra parte que en las medidas. En muchos casos, la teoría original del investigador puede proporcionar una explicación; si no, el investigador debe usar su sentido común para clarificar la causa.

A continuación mencionamos algunos métodos usuales de análisis estadístico que pueden usarse al estudiar la interdependencia entre una o más variables. Los métodos han sido dispuestos siguiendo a qué escala de medición corresponden la mayor parte de las variables.

Meta de análisis	Escala nominal	Escala ordinal	Escala de intervalo	Escala de proporción
Presentar datos y su estructura a grandes rasgos	Tabulación ; Gráficos
Medir la fuerza de la asociación entre dos variables	Coeficiente de contingencia
	-	Correlación ordinal
	-	-	Correlación r de Pearson
Encontrar qué variables entre varios son asociadas:	Calcular contingencias o correlaciones para todos los pares de variables ; análisis factorial
Transcribir una asociación estadística en una función matemática:	-	-	Análisis de regresión

 

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2.               Modelos de Regresión Bivariable Lineal

 

Consideremos la variable bidimensional  (X,Y) , y sea E(Y/X) la regresión del promedio de Y sobre X , cuya forma dependerá de la relación existente entre las variables. En este capítulo nos limitaremos a las funciones de regresión que son lineales en los parámetros (o coeficientes).

 

Si la distribución de (X,Y) es Normal bivariada, entonces las funciones condicionales de probabilidad son también normales; es decir: dado un valor fijo  X=x , la variable Y se distribuye en forma normal con media  E(Y/X) =  + b.X  y con  variancia  V(Y/X) =  constante, lo que significa, que no depende del valor  X=x.

 

La diferencia que existe entre el valor que toma la variable Y (dado que  X=x) y la esperanza condicional E(Y/x) se denomina residuo , desvío o error , y representa la  parte aleatoria . En otras palabras, si  (xi , yi )  es el valor que asume la variable bidimensional  (X,Y), el residuo será    = yi  - E(Y/xi ) , y por lo tanto yi  = E(Y/xi ) + i   .

 

Considerando una relación lineal entre las  variables, esto significa que yi=  + b.xi + ei

 

Donde   + b.xi =  E(Y/xi ) es la parte sistemática o determinística (sólo depende del valor x ), y  es la parte aleatoria sobre la cual se establecerán condiciones o restricciones que determinan el comportamiento de la variable Y. Este modelo supone que para cada valor fijo x ,  existe una distribución de valores de la variable Y .

 

En este modelo identificamos las siguientes componentes:

a  y  b: parámetros poblacionales

X: variable  "explicativa"

Y: variable  "explicada"

e: Error residual

 

Este residuo ei se compone esencialmente de errores casuales, debida a la propia aleatoriedad de cada individuo, pudiendo incluir errores de medición como también deficiencias del modelo debidas, por ejemplo, a variables no consideradas en dicho modelo. En otras palabras, ei  es la parte de yi  que no está explicada por la regresión lineal de  Y  sobre  xi. Este modelo supone una distribución Normal de los errores o residuos, con media  E(ei) = 0  y variancia constante   V(ei) = s2 ,  e independencia entre los errores. 

 

Estos supuestos sobre los errores implican supuestos sobre el modelo de regresión:

ü       La variable "explicativa"  X  toma valores predeterminados por el investigador.

ü       Para cada valor fijo de  X , la variable  Y  se distribuye en forma normal .

ü       La relación entre las variables  X e Y es  lineal , es decir, la regresión del promedio es lineal Simbólicamente :  E(Y/X) =  + b.X   , ya que E(e) = 0

ü       Homocedasticidad, o sea:  V(Y/X) = s2 =  constante,  no depende del valor de X ,  ya que la variancia de los  errores  es constante.

 

La violación de supuestos se refiere a:

ü       Auto correlación entre los errores  o  dependencia  entre  los errores.

ü       Heterocedasticidad, lo que significa que  la variancia del error o residuo depende del valor de x , y trae como consecuencia que la variancia de Y condicionada a un  valor de X tampoco es constante sino que depende de dicho valor. O sea: V (Y/x) = H(x)  =  V (e/x).

ü       Distribución no normal  de los errores o residuos.

ü       X  es variable aleatoria , lo que significa que no  han  sido predeterminados los valores de  X

 

La hipótesis de distribución normal de los errores y  la de homocedasticidad traen como consecuencia inmediata  la distribución normal de la variable Y condicionada a un valor fijo X = x.  

La inferencia estadística se ocupa de estimar los parámetros de la población bivariada (como así también los de la recta de regresión) en base a los resultados obtenidos a través de una muestra aleatoria.

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3.               Estimación de parámetros de regresión

 

Estimación de los parámetros de la recta de regresión. El primer problema a abordar es obtener los estimadores de los parámetros de la recta de regresión,  partiendo de una muestra de tamaño n, es decir, n pares (x₁, Y₁), (x₂, Y₂),..., (x_n, Y_n); que representan nuestra intención de extraer para cada x_i un individuo de la población o variable Y_i. 

Una vez realizada la muestra, se dispondrá de n pares de valores o puntos del plano (x₁, y₁), (x₂, y₂),..., (x_n, y_n). El método de estimación aplicable en regresión, denominado de los mínimos cuadrados, permite esencialmente determinar la recta que "mejor" se ajuste o mejor se adapte a la nube de n puntos. Las estimaciones  de los parámetros de la recta de regresión obtenidas con este procedimiento son:

Por tanto la recta de regresión estimada será:

 Un ejemplo. La recta de regresión representada corresponde a la estimación obtenida a partir de 20 pares de observaciones: x representa la temperatura fijada en un recinto cerrado e Y el ritmo cardíaco de un vertebrado.

 Estimación de los parámetros del modelo.

En el modelo de regresión lineal simple hay tres parámetros que se deben estimar: los coeficientes de la recta de regresión, ₀ y ₁; y la varianza de la distribución normal, ².

El cálculo de estimadores para estos parámetros puede hacerse por diferentes métodos, siendo los más utilizados el método de máxima verosimilitud y el método de mínimos cuadrados.

Método de máxima verosimilitud.

Conocida una muestra de tamaño n, , de la hipótesis de normalidad se sigue que la densidad  condicionada en  y_i  es

y, por tanto, la función de densidad conjunta de la muestra es,

Una vez tomada la muestra y, por tanto, que se conocen los valores de _{i = 1}ⁿ, se define la función de verosimilitud asociada a la muestra como sigue

esta función (con variables _{0, 1} y ²) mide la verosimilitud de los posibles valores de estas variables en base a la muestra recogida.

El método de máxima verosimilitud se basa en calcular los valores de _{0, 1} y ² que maximizan la función (9.3) y, por tanto, hacen máxima la probabilidad de ocurrencia de la muestra obtenida. Por ser la función de verosimilitud una función creciente, el problema es más sencillo si se toman logaritmos y se maximiza la función resultante, denominada función soporte,

 

Maximizando la anterior se obtienen los siguientes estimadores máximo verosímiles,

donde se ha denotado e a las medias muéstrales de X e Y, respectivamente;  s_x² es la varianza muestral de X  y s_XY  es la covarianza muestral entre X e Y. Estos valores se calculan de la siguiente forma:

 

Método de mínimos cuadrados.

A partir de los estimadores: ₀ y ₁, se pueden calcular las predicciones para las observaciones muestrales, dadas por,

o, en forma matricial,

donde ^t = . Ahora se definen los residuos como

 

ei	= yi - i, i = 1,2,...,n,
Residuo	=  Valor observado  -Valor previsto,

en forma matricial,

Los estimadores por mínimos cuadrados se obtienen minimizando la suma de los cuadrados de los residuos, ésto es, minimizando la siguiente función,

derivando e igualando a cero se obtienen las siguientes ecuaciones, denominadas ecuaciones canónicas,

De donde se deducen los siguientes estimadores mínimo cuadráticos de los parámetros de la recta de regresión

Se observa que los estimadores por máxima verosimilitud y los estimadores mínimos cuadráticos de ₀ y ₁ son iguales. Esto es debido a la hipótesis de normalidad y, en adelante, se denota ₀ = _0,MV = _0,mc y ₁ = _1,MV = _1,mc.

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4.               Varianza  de la regresión de la muestra

Es un modo alternativo de hacer contrastes sobre el coeficiente ₁. Consiste en descomponer la variación de la variable Y de dos componentes: uno la variación de Y alrededor de los valores predichos por la regresión y otro con la variación de los valores predichos alrededor de la media. Si no existe correlación ambos estimadores estimarían la varianza de Y y si la hay, no. Comparando ambos estimadores con la prueba de la F se contrasta la existencia de correlación.

Esta técnica,  permite no sólo analizar los datos sino también para planificar los experimentos, es un procedimiento estadístico para dividir la variabilidad observada en componentes independientes que pueden atribuirse a diferentes causas de interés.

Función lineal

Se llama función lineal de una variable, a una función de la forma 0: ordenada en el origen (valor de Y cuando X=0) 1: pendiente (cambio de Y al aumentar X en 1)

Modelos de regresión

Son modelos estadísticos que explican la dependencia de una variable dependiente “Y” respecto de una o varias variables cuantitativas “X”.

          Para obtener los estimadores de los parámetros desconocidos del modelo así como para realizar contrastes de hipótesis y la verificación del modelo,

Objetivos de los modelos de regresión

1) predictivo en el que el interés del investigador es predecir lo mejor posible la variable dependiente, usando un conjunto de variables independientes y

2) estimativo en el que el interés se centra en estimar la relación de una o más variables independientes con la variable dependiente.

Modelo de regresión lineal La regresión lineal es un modelo matemático mediante el cual es posible inferir datos acerca de una población. Se conoce como regresión lineal ya que usa parámetros lineales (potencia 1).Sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables

Regresión Lineal Simple:

Dado el modelo de esta en particular regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene - considerando los supuestos para los errores:

  

 

Es un modelo de regresión lineal entre dos variables

es un modelo probabilística, que también se puede escribir

A la variable Y se la denomina variable dependiente y a X independiente.

Modelo  de regresión lineal se asume que

Regresión Lineal Múltiple:

Para calcular los parámetros debe tomarse en cuenta que se está refiriendo a matrices:

 

Ejemplo: Se quiere investigar el efecto de la ingestión masiva de vitamina C sobre el hígado de las cobayas. Se eligen dos grupos de 4 cobayas, a uno se le administra y al otro no. Se sacrifica a los animales y se mide la concentración de lípidos en el hígado.

¿Hay diferencia entre ambos grupos?

Se podría plantear un contraste sobre medias con la t de Student.

También se puede plantear un modelo de regresión entre la variable grupo (X=0 control y X=1 tratado) y la variable lípido (Y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ejemplo: Diferentes nubes de puntos y modelos de regresión para ella

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5.               Inferencias acerca de los coeficientes de regresión de la     población:

La inferencia estadística, que se dedica a la generación de los modelos, inferencias y predicciones asociadas a los fenómenos en cuestión teniendo en cuenta lo aleatorio e incertidumbre en las observaciones. Se usa para modelar patrones en los datos y extraer inferencias acerca de la población de estudio.

A veces interesa hacer inferencias sobre la propia regresión, es decir sobre _Y|xi para cualquier valor de x_i. Si a los valores x_i de la muestra se les aplica la ecuación estimada, se obtiene una estimación de _Y|xi

cuya distribución muestral también es conocida. A veces se representan los intervalos de confianza para la regresión en la denominada banda de confianza de la regresión. En la figura se presenta la banda de confianza para los datos del

Ejemplo: Una muestra produce los siguientes datos:

La "salida" de un paquete estadístico es:

86,371 presión arterial media sin nada de sal.
6,335 aumento de presión por cada gr de sal; como es distinto de 0 indica correlación. La pregunta es ¿podría ser 0 en la población? En términos de contrastes de hipótesis

H₀ : ₁ = 0
H₁ :₁  0

según iii)

se rechaza H₀.

Para hacer estimación por intervalos de la fuerza de la asociación o el efecto

en este ejemplo para  ₁ al 95%

6,335  2,776x0,840 = (4,004 8,666)

y del mismo modo, tiene menos interés, para ₀

 

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6.               Predicción y Pronosticación

 

• Predicción: Es una afirmación acerca de un suceso futuro, asignando confianza a diferentes variables para conocer qué es lo que puede pasar, es importante tener datos de referencia confiables y certeros.  Generalmente se refiere a la estimación de series temporales o datos instantáneos.

 

• Pronosticación: Es el proceso de estimación en escenarios de incertidumbre. Se utilizan datos históricos como base para estimar resultados futuros. Se asume que la demanda es en función del tiempo, donde se encuentran  involucrados los siguientes componentes: tendencias, ciclos, irregularidades y estacionalidades.

 

• Probabilidad: Se define como la cualidad de probable, que podría llegar a suceder. En un proceso aleatorio, razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Se aplican las técnicas de probabilidad para llegar a una predicción o pronóstico.

 

Las Predicciones se podrían agrupar en:

 

Predicciones categóricas: Consisten en afirmaciones que indican que algunos eventos o valores de variables en específico puedan ocurrir o no. Las predicciones se indican sin cualidades, por ejemplo: mañana va a llover o la temperatura llegara  el fin de semana hasta 30° centígrados.

 

Predicciones probabilísticas. Consisten en afirmaciones sobre la probabilidad de que ocurra una situación o evento. Por ejemplo, mañana hay un 60% de probabilidad que llueva.

 

Tipos de Predicción:

 

·         Tomando en cuenta su horizonte o proyección en el tiempo: A corto, medio o largo plazo y según su longitud.

 

·         Según el tipo de preguntas realizadas, se basan generalmente en encuestas: resultados de un acontecimiento, estudios de opinión o evaluación de clientes.

 

·         Momento de un acontecimiento, generalmente se basan en indicadores adelantados: Fecha de unas elecciones, fechas de una temporada comercial de ventas.

 

·         Predicciones de series temporales, uso del pasado histórico de una variable, como por ejemplo tendencias de los precios del petróleo, cantidad de nacimientos en el país para el año entrante.

 

Ejemplos de Predicciones:

 

·         Cantidad de ventas realizadas en  una empresa para comprobar los niveles de inventario.

 

·         Factibilidad de un proyecto económico para determinar si éste es rentable y genera ganancias.

 

·         Conocer las ventas de un nuevo producto para decidir sus niveles de producción y distribución en el mercado.

 

·         Determinar los efectos de una medida económica gubernamental en la sociedad.

 

·        Conocer la población estudiantil dentro de 10 años para planificar la construcción de institutos educativos.

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7.               Análisis de correlación

Para realizar el análisis de correlación definimos los siguientes conceptos y fórmulas:

 

·         Análisis de Correlación: Es el conjunto de técnicas estadísticas empleadas con el objetivo de medir y determinar la intensidad de la asociación entre dos variables. Normalmente, el primer paso es mostrar los datos en un diagrama de dispersión.

 

·         Diagrama de Dispersión: Es el gráfico que representa la relación entre dos variables específicas.

 

·         Variable Dependiente: Es la variable a la cual se le realizara la predicción o cálculos, su representación es Y.

 

·         Variable Independiente: Es la variable que proporciona las bases para el calculo, su representación es: X1,X2,X3.......

 

·         Coeficiente de Correlación: Es la medida que describe la intensidad de la relación lineal entre dos variables. El valor del coeficiente de correlación puede tomar valores desde menos uno hasta uno, indicando que mientras más cercano a uno sea su valor en cualquier dirección, más fuerte será la asociación lineal entre las dos variables. Mientras más cercano a cero sea el coeficiente de correlación denotará  una asociación débil entre ambas variables. Si el valor del coeficiente es cero se determina que no existe ninguna relación lineal entre ambas variables.

 

·         Análisis de regresión: Es la técnica que se realiza para desarrollar la ecuación y generar las estimaciones.

 

·         Ecuación de Regresión: Es una ecuación que representa la asociación lineal entre dos variables.

 

·         Ecuación de regresión Lineal: Y’ = a + Bx

 

·         Ecuación de regresión Lineal Múltiple: Y’ = a + b1X1 + b2X2 + b3X3...

 

·         Principio de Mínimos Cuadrados: Es la técnica necesaria para obtener la ecuación de regresión, minimizando la suma de los cuadrados de las distancias verticales entre los valores reales de Y y los valores pronosticados Y.

 

·         Análisis de regresión y Correlación Múltiple: Este análisis consiste en calcular una variable dependiente, a través del uso de dos o más variables independientes.

 

·         Ecuación de regresión Múltiple: La representación general de la ecuación de regresión múltiple con dos variables independientes es:

 

Y' = a + b1X1 + b2X2

 

Donde

 

X1, X2: son las variables Independientes

 

a: es la ordenada del punto de intersección con el eje Y

b1: es el coeficiente de regresión (es la variación neta en Y por cada unidad de variación en X1.)

b2: es el coeficiente de regresión (es el cambio neto en Y para cada cambio unitario en X2)

 

·         Prueba Global: Esta prueba investiga básicamente si es posible que todas las variables independientes tengan coeficientes de regresión netos iguales a 0.

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8.               El coeficiente de correlación de la muestra

El coeficiente de correlación de la muestra es un indicador numérico que describe una relación lineal entre las variables X y Y,  es representado a través de la siguiente fórmula:

 

Se asume que el denominador es diferente de cero. Una fórmula alternativa para calcular el coeficiente de correlación es la siguiente:

El coeficiente de correlación presenta las siguientes propiedades:

•  o equivalentemente
•  es positivo o negativo de acuerdo a si  tiende a incrementarse o decrementarse cuando  se incrementa.
• Entre más cercano esté  de 1 más fuerte será la asociación lineal entre  y

La covarianza de la muestra de  y  se representa a través de la siguiente formula:

 Utilizando la covarianza de la muestra, la fórmula del coeficiente de correlación se puede representar de una manera compacta:

 

donde  y  son la desviación estándar de  y  respectivamente.

 

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9.               Coeficiente de determinación y análisis de varianza en regresión lineal

Es la principal forma en que podemos medir la extensión o fuerza de la asociación que existe entre 2 variables, X y Y.

Como hemos usado una muestra de puntos para desarrollar líneas de regresión, nos referiremos a esta medida como el coeficiente de determinación de muestra.

Se desarrolla de la relación entre 2 tipos de variación:

La variación de los valores Y en un conjunto de datos alrededor de:

1.            La línea de regresión ajustada = Σ(Y-Y)²

2.            Su propia media = Σ(Y-Y)²

El coeficiente de determinación se simboliza:

Una interpretación intuitiva de r²

Revisaremos las 2 formas extremas en las que las variables X y Y pueden relacionarse. En este ejemplo cada valor observado de Y cae en la línea de estimación, como se ve en la tabla esta es una correlación perfecta.

La ecuación de estimación apropiada para este caso es fácil de determinar. Puesto que la línea de regresión pasa a través del origen, sabemos que la intersección Y es cero; y puesto que Y se incrementa en 4 cada vez que X se incrementa en 1, la pendiente debe ser igual a 4.

La línea de regresión es:

Para determinar el coeficiente de determinación de muestra para la línea de regresión, primero calculamos el numerador de la fracción en la ecuación de r².

Variación de los valores de Y alrededor de la línea de regresión =

Como cada valor de Y está sobre la línea de regresión la diferencia es 0 Σ(0)² = 0

Sustituimos los valores en la fórmula encontramos que el coeficiente de determinación de muestra es igual a + 1

 

 

 

De hecho r² es igual a +1 siempre que la línea de regresión sea un estimador perfecto.

Una segunda forma extrema en la que las variables X y Y pueden relacionarse es aquella en que los puntos podrían caer a distancias iguales en ambos lados de una línea de regresión horizontal. A continuación mostramos la gráfica:

Sustituimos los valores en la fórmula encontramos que el coeficiente de determinación de muestra es igual a 0

Por lo tanto el valor de r² es cero cuando no hay correlación.

Un r² cercano a 1 indica una fuerte correlación entre X y Y.

Un r² cercano a 0 indica que existe poca correlación entre X y Y.

Se debe subrayar fuertemente que r² mide solo la fuerza de una relación lineal entre 2 variables. Por ejemplo, si tuviéramos muchos puntos X y Y y todos cayeran en la circunferencia de un círculo, aunque dispersos aleatoriamente, claramente habría una relación entre estos puntos. (Todos caen en el mismo círculo),

Pero si calculamos r² resultaría estar cerca de 0, porque los puntos no tienen una relación lineal entre sí.

Para evitar estos cálculos, los estadísticos han desarrollado una versión de atajo, usando los valores que habríamos determinado de antemano en el análisis de regresión.

La fórmula es:

Para ver que esta fórmula es un atajo, la aplicaremos a nuestra anterior regresión que relaciona los gastos de inversión y desarrollo con las ganancias. Recuerde que cuando encontramos los valores para a y b la línea de regresión para este problema es:

3,600 + 2,000 – 5,400

= -------------------------------<

5,642 – 5,400

200

= ------ = 0.826 Coeficiente de determinación de muestra

242

Por tanto, podemos concluir que la variación en los gastos de investigación y desarrollo (la variable independiente X) explica 82.6 % de la variación en las ganancias anuales (la variable dependiente Y)

Coeficiente de correlación.

Es la segunda medida que podemos usar para describir que tan bien una variable es explicada por otra.

Cuando tratamos con muestras el coeficiente de correlación de muestra se denota como r y es la raíz cuadrada del coeficiente de determinación de muestra: r = √r²

Cuando la pendiente de la ecuación de estimación es positiva, r es la raíz cuadrada positiva, pero si b es negativa, r es la √ negativa.

El signo de r indica la dirección de la relación entre las dos variables X y Y.

Diversas características de r, el coeficiente de correlación de muestra

 

En el problema anterior encontramos que el Coeficiente de determinación de muestra es r² = 0.826, para encontrar r sustituimos este valor en la ecuación:

r = √r²

= √0.826

= 0.909 Coeficiente de correlación de muestra

La relación entre las dos variables es directa y la pendiente es positiva, por tanto el signo de r es positivo.

Supongamos que la cantidad gastada en boletos de cine correlaciona 0.6 con el ingreso familiar. A primera vista, 0.6 parece ser una correlación bastante fuerte ya que esta más cerca de 1 que de 0. Pero esto explica sólo el 36% (0.6 x 0.6 = 0.36) de la variación en la cantidad de dinero que las familias gastan en películas. Esto sugiere que una estrategia de comercialización diseñada para atraer familias con altos ingresos pasaría por alto una gran cantidad de clientes potenciales.

Análisis de varianza

En estadística, análisis de varianza (ANOVA, según terminología inglesa) es una colección de modelos estadísticos y sus procedimientos asociados. El análisis de varianza sirve para comparar si los valores de un conjunto de datos numéricos son significativamente distintos a los valores de otro o más conjuntos de datos. El procedimiento para comparar estos valores está basado en la varianza global observada en los grupos de datos numéricos a comparar. Típicamente, el análisis de varianza se utiliza para asociar una probabilidad a la conclusión de que la media de un grupo de puntuaciones es distinta de la media de otro grupo de puntuaciones.

Supuestos previos

El ANOVA parte de algunos supuestos que han de cumplirse:

·                     La variable dependiente debe medirse al menos a nivel de intervalo.

·                     Independencia de las observaciones.

·                     La distribución de la variable dependiente debe ser normal.

·                     Homocedasticidad: homogeneidad de las varianzas.

Visión general

Existen tres tipos de modelos:

• El modelo de efectos fijos asume que el experimentador ha considerado para el factor todos los posibles valores que éste puede tomar. Ejemplo: Si el género del individuo es un factor, y el experimentador ha incluido tantos individuos masculinos como femeninos, el género es un factor fijo en el experimento.
• Los modelos de efectos aleatorios asumen que en un factor se ha considerado tan sólo una muestra de los posibles valores que éste puede tomar. Ejemplo: Si el método de enseñanza es analizado como un factor que puede influir sobre el nivel de aprendizaje y se ha considerado en el experimento sólo tres de los muchos más métodos posibles, el método de enseñanza es un factor aleatorio en el experimento.
• Los modelos mixtos describen situaciones donde están presentes ambos tipos de factores: fijos y aleatorios.

La técnica fundamental consiste en la separación de la suma de cuadrados (SS, 'sum of squares') en componentes relativos a los factores contemplados en el modelo. Como ejemplo, mostramos el modelo para un ANOVA simplificado con un tipo de factores en diferentes niveles. (Si los niveles son cuantitativos y los efectos son lineales, puede resultar apropiado un análisis de regresión lineal)

SS_Total = SS_Error + SS_Factores

El número de grados de libertad (gl) puede separarse de forma similar y se corresponde con la forma en que la distribución chi-cuadrado describe la suma de cuadrados asociada.

gl_Total = gl_Error + gl_Factores

 

Modelo de efectos fijos

El modelo de efectos fijos de análisis de la varianza se aplica a situaciones en las que el experimentador ha sometido al grupo o material analizado a varios factores, cada uno de los cuales le afecta sólo a la media, permaneciendo la "variable respuesta" con una distribución normal.

Modelo de efectos aleatorios

Los modelos de efectos aleatorios se usan para describir situaciones en que ocurren diferencias incomparables en el material o grupo experimental. El ejemplo más simple es el de estimar la media desconocida de una población compuesta de individuos diferentes y en el que esas diferencias se mezclan con los errores del instrumento de medición.

Grados de libertad

Por grados de libertad "degrees of freedom" entendemos el número efectivo de observaciones que contribuyen a la suma de cuadrados en un ANOVA, es decir, el número total de observaciones menos el número de datos que sean combinación lineal de otros.

Pruebas de significación

El análisis de varianza lleva a la realización de pruebas de significación estadística, usando la denominada distribución F de Snedecor.

Análisis de regresión lineal

 

Los problemas de la causalidad en Ciencias sociales

 

Por el momento no existe técnica que sea capaz de probar los enunciados causales empíricamente. Lo que se puede hacer es comprobar si las inferencias causales que formula un investigador son consistentes con los datos disponibles.

Definiremos modelo como conjunto de relaciones que se usan para representar de forma sencilla una porción de la realidad empírica.

Cuando un investigador elabora un modelo y posteriormente se comprueba que el modelo no se ajusta a los datos, se pueden tomar dos decisiones: modificar el modelo o abandonarlo. Pero si el modelo es consistente con los datos, esto nunca prueba los efectos causales. La consistencia entre los datos y el modelo no implica la consistencia entre el modelo y la realidad. Lo único que se puede afirmar es que los supuestos del investigador no son contradictorios y por lo tanto pueden ser válidos. Pero el "ser válidos", no quiere decir que sean la única explicación del fenómeno objeto de estudio, ya que es posible que otros modelos también se adapten a los mismos datos.

Asociación no implica causalidad: Que exista una fuerte asociación entre dos variables no es suficiente para sacar   conclusiones sobre las relaciones causa - efecto.

Ejemplo: existe fuerte correlación entre el número de bomberos que actúan en un incendio y la importancia del daño ocasionado por el mismo.

 

El modelo de la regresión lineal múltiple

 

El objetivo del análisis de la regresión lineal es analizar un modelo que pretende explicar el comportamiento de una variable (Variable endógena, explicada o dependiente), que denotaremos por Y, utilizando la información proporcionada por los valores tomados por un conjunto de variables (explicativas, exógenas o independientes), que denotaremos por X₁ , X₂ , ....., X _n

Las variables del modelo de regresión deben ser cuantitativas. Pero dada la robustez[1] de la regresión es frecuente encontrar incluidas en el modelo como variables independientes a variables ordinales e incluso nominales transformadas en variables ficticias. Pero la variable dependiente debe ser cuantitativa. Para una variable dependiente binaria de emplea la regresión logística.

El modelo lineal viene dado por la ecuación lineal:

 

Y = b₀  +  b₁ X₁ + b₂ X₂  + ...  b _k  X _k +  u

 

Los coeficientes (parámetros)   b₁  , b₂  , ... , b _k  denotan la magnitud del efecto de las variables explicativas (exógenas o independientes), esto es, representan los pesos de la regresión o de la combinación lineal de las predictoras X₁ , X₂  , ... X _k   sobre la variable explicada (endógena o dependiente) Y. El coeficiente b₀  se denomina término constante (o independiente) del modelo. Y al término u se le llama término de error del modelo o componente de Y no explicada por las variables predictoras.

Si disponemos de T observaciones para cada variable, el modelo de expresa así:

 

Y _t = b₀  +  b₁ X_{1 t} + b₂ X_{2 t} + ...  b _k  X _{k t} +  u _t        t = 1, 2 , 3 ,.... T

 

El problema fundamental que se aborda es el siguiente: suponiendo que la relación entre la variable Y y el conjunto de variables  X₁ , X₂  , ...   X _k es como se ha descrito en el modelo, y que se dispone de un conjunto de T observaciones para cada una de las variables ¿cómo pueden asignarse valores numéricos a los parámetros  b₀ , b₁ , b₂ , ...  b _k   basándonos en la información muestral?

Estos valores son la estimación de los parámetros llamados coeficientes de regresión. Representan las unidades de cambio en la variable dependiente por unidad de cambio en la variable independiente correspondiente. En el caso de que sólo haya una variable dependiente se llega a la ecuación de una recta donde b₀  es la ordenada en el origen y b₁ la pendiente de la recta.  Una vez encontradas las estimaciones de los parámetros del modelo, podremos hacer predicciones sobre el comportamiento de la variable Y en la población.

 

El análisis de regresión sirve tanto para EXPLORAR datos como para CONFIRMAR teorías.

 

Si el análisis de regresión se realiza con variables tipificadas los coeficientes b, pasan a denominarse β (coeficientes de regresión estandarizados) β _i  =   b _i   (Desv. Típica X_i   /Desv. Típica Y)

 

Al coeficiente de correlación R elevado al cuadrado se le llama coeficiente de determinación y es una medida de la bondad del ajuste del modelo ya que da la proporción de variación de Y explicada por el modelo.

Se suele emplear R² ajustado, que es una corrección de  R² para ajustar mejor el modelo a la población objeto de estudio.

 

Supuestos del modelo de regresión

 

El modelo lineal se formula bajo los siguientes supuestos:

• Tamaño adecuado de la muestra: se recomienda n= 20 x nº de variables predictoras.

 

• Las variables  X₁ , X₂  , ...   X _k son deterministas (no son variables aleatorias) ya que sus valores vienen de la muestra tomada.

 

• Se supone que todas las variables  X  relevantes para la explicación de Y están incluidas en la definición del modelo lineal.

 

• Las variables X₁ , X₂  , ...   X _k son linealmente independientes (no se puede poner a una de ellas como combinación lineal de las otras). Esta es la hipótesis de independencia y cuando no se cumple se dice que el modelo presenta multicolinealidad.  O sea: Ninguna v. Independiente da un R²  = 1 con las otras v.i.

 

• Linealidad de las relaciones: la v. Independiente presenta relación lineal con cada una de las dependientes. Se comprueba con los gráficos de regresión parcial. Su incumplimiento se arregla mediante transformaciones de los datos

 

• Los residuos siguen una distribución Normal N(0, σ ²) , no están correlacionados con ninguna de la variables independientes, ni están autocorrelacionados. Hay homocedasticidad: la varianza del error es constante para los distintos valores de las variables independientes.

 

El primer objetivo es el de obtener estimaciones, es decir, valores numéricos de los coeficientes b₀   , b_{1 ,}  b₂ , ...  b _k   (coeficientes de regresión parcial) en función de la información muestral. Las estimaciones de los parámetros se suelen hacer por el método de los mínimos cuadrados que consiste en minimizar la suma de los cuadrados de los residuos, también llamada suma residual

 

Análisis de la varianza: Introduciremos los siguientes conceptos

Suma total  (ST) es la varianza muestral de la variable dependiente y es por lo tanto una medida del tamaño de las fluctuaciones experimentadas por dicha variable alrededor de su valor medio.

Suma explicada (SE) es la fluctuación de estimador de la variable Y ( Ŷ_t ) alrededor de la media de Y . Por tanto, la suma explicada es el nivel de fluctuación de la variable Y_t  que el modelo es capaz de explicar.

Suma residual (SR) es un indicador del nivel de error del modelo.

Suma total = Suma explicada  + Suma residual

 

También se define el coeficiente de determinación R²    como una medida descriptiva del ajuste global del modelo cuyo valor es el cociente entre la suma explicada y la suma total. (da la proporción de varianza explicada por el modelo)   R²  =    V. Explicada / V. Total  

 

Se define el coeficiente de correlación múltiple  R como la raíz cuadrada del coeficiente de determinación y mide la correlación entre la variable dependiente y las independientes.

 

El Coeficiente de correlación parcial entre X _i e Y mide la correlación entre estas variables cuando se han eliminado los efectos lineales de las otras variables en X _i e Y.

 

Coeficiente de correlación semiparcial entre X _i e Y es la correlación entre estas variables cuando se han eliminado los efectos lineales de las otras variables en Y.

 

• La variable u (término de error o residuo) es una variable aleatoria con media nula y matriz de covarianzas constante y diagonal. O sea para todo t , la variable u _t  tiene una media igual a cero y una varianza no dependiente de t ( hipótesis de homocedasticidad)  y además

Cov ( u_i  , u_j )= 0,  pata todo i distinto de j (hipótesis de no autocorrelación) y tampoco están correlacionados con las variables independientes.

 

 SPSS  (regresión múltiple)

 

Lo fundamental de la regresión consiste en encontrar una función lineal de las variables independientes que permita predecir la variable dependiente

 

Y = b₀  +  b₁ X₁ + b₂ X₂  + ...  b _k  X _k +  u

 

Con el fichero de datos del CIS que estamos usando, ya en sesiones anteriores hemos definido un conjunto de variables relacionadas con el problema de la INMIGRACIÓN. Y de ese conjunto usaremos las variables que cumplan los supuestos de la regresión (solo variables cuantitativas y si son cualitativas definir las variables ficticias correspondientes (dummy)).

 

Siguiendo la idea del Libro de Mª Angeles Cea (Análisis multivariable. Ed. Síntesis) vamos a tomar como variable dependiente "simpatía hacia los norteafricanos (p401)" y trataremos de ajustar un modelo de regresión con variables independientes como: "simpatía latinoamericano (p410)" "casar con marroquí (p506)", "vecino marroquí (p706)" "sexo , p32"  "p33 edad"  P29 izquierda-derecha, etc. etc.

 

Para las primeras pruebas se recomienda no usar muchas variables, para que los ficheros de resultados no resulten demasiado grandes.

 

Analizar -> Regresión -> lineal

 

Llevar al rectángulo correspondiente la variable dependiente y las independientes del modelo.

 

En Método: Hay cuatro posibles: introducir, pasos sucesivos, eliminar, hacia atrás, hacia delante (leer la explicación en la ayuda del SPSS). Si estamos en fase exploratoria y no tenemos una idea del modelo justificada por alguna teoría que queramos comprobar, se recomienda usar el método de hacia delante. Con él, el SPSS introducirá como primera v. Independiente la que satisfaga los criterios de entrada y que presente mayor correlación con la v. dependiente, luego introducirá en el modelo otra v. Independiente que será la siguiente en cuanto a mayor magnitud de la correlación con la v. Independiente y así sucesivamente.

 

En opciones elegir el tratamiento que queramos dar a los casos perdidos (Se recomienda encarecidamente repasar lo explicado en clases teóricas así como leer  las ayudas del SPSS, que se obtienen llevando el cursor al elemento que no entendemos y pulsando el botón derecho del ratón)

En estadísticos  señalar aquellos que queramos conocer.

 

Guardar permite archivar como nuevas variables los resultados de los cálculos que se han ido haciendo en el proceso de la regresión.

 

En los resultados de la matriz de correlaciones obtenemos para cada pareja de variables el coeficiente de correlación de Pearson,  su significación y el tamaño de la muestra con el que se ha calculado ese coeficiente. Son tres tablas que aparecen una a continuación de la otra.

 

Los números de la segunda tabla son los p-valores asociados al estadístico R. Para poder contrastar si el estadístico coeficiente de correlación es estadísticamente significativo. La Hipótesis nula es que R=0, Si se obtiene un valor inferior a una significación prefijada (por ejemplo 0,05) indica que hay que rechazar la Hipótesis nula de inexistencia de correlación y concluir que el R obtenido es estadísticamente significativo.

 

Notar que la matriz de correlaciones es simétrica

Luego aparece una tabla con las variables que han ido entrando en el modelo. Y a continuación otra tabla con información de los coeficientes R y R²  para cada modelo.

Otra tabla con los cambios en R²  y en F por la que podemos saber la proporción de varianza que explica cada uno de los modelos. También aparece en esta tabla el estadístico de Durbin Watson que ya se mencionó. Si es próximo a dos los residuos no están autocorrelacionados.

También obtenemos un análisis de la varianza en el que vemos los valores de la suma de cuadrados total, explicado por la regresión y residual (repasar la teoría)

 

La tabla COEFICIENTES nos da la información para escribir las ecuaciones lineales de los modelos de regresión, (con una v. Independiente, con dos, con tres, etc.).

 

A continuación tenemos una tabla con los coeficientes de correlación de orden cero, parcial y semiparcial así como los estadísticos de colinealidad.

 

Por último aparece un estudio de las variables que se han excluido del modelo.

 

También da una tabla de diagnósticos por caso que nos informa de los casos que el modelo predice peor  (residuo tipificado mayor que 3) y que tal vez habría que estudiar  en la matriz de datos.

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10.          Prueba F Sobre Beta

El modelo de regresión lineal 

• La relación se puede representar gráficamente mediante una línea recta.

Se supone que el error sigue una distribución normal con media cero y varianza sigma².

• El modelo de regresión completo es  

Y es el valor de la variable dependiente

A o alfa es el intercepto, donde cruza el eje Y

B o beta es la pendiente o inclinación

 

• Prueba de Ho: beta=0, mediante la estadística F

 

• Si beta es igual a cero, se  concluye que:
• La relación es lineal y de fuerza para justificar el uso de ecuaciones de regresión simple para predecir y estimar Y para valores dados de X.
• El modelo lineal proporciona un buen ajuste para los datos, pero un modelo curvilíneo podría proporcionar un mejor ajuste.
   

Correlación simple 

• Es una extensión de la regresión simple.
• Mide la calidad del ajuste de una línea
• r es el coeficiente de correlación
• r² es el coeficiente de determinación

 Prueba de hipótesis  

• Prueba de Ho: r=0, mediante la estadística F  

• Si r es igual a cero, se  concluye que no existe correlación entre las variables

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11.          Coeficiente de Correlación Por Calificación

 

Coeficiente r de Pearson 

Puede variar de –1 a +1

• -1 correlación negativa perfecta
• -0.9 correlación negativa muy fuerte
• -0.75 correlación negativa considerable
• -0.5 correlación negativa media
• -0.1 correlación negativa débil
• 0.0 no existe correlación entre las variables

Los programas reportan el valor de p del coeficiente para evaluar el significado de la correlación

 
 Correlación de Spearman  

• Son medidas de correlación para dos variables, por lo menos una de ellas es ordinal.
• Los individuos u objetos se ordenan por rangos (jerarquías).

  

Ej: correlación de Spearman  

Objetivo. Conocer si el desarrollo mental de 8 niños esta asociado a la educación formal de su madre. 

Hipótesis.

Ho. No habrá una correlación significativa en el desarrollo mental de 8 niños dependiendo de la educación formal de la madre

H1. Habrá una correlación significativa en el desarrollo mental de 8 niños dependiendo de la educación formal de la madre.

  

Ej.: correlación de Spearman 

Escolaridad Desarrollo  Rango educ.  Rango desarr.  Dif.  Dif al cuadrado

1o. Sec               90                 5                          7                 -2       p;         4

1o. Prim            87                 4                          2                   2               4

Profesional         89                 8                          6                   2               4

6o. Prim.            80                 2                          5                  -3       p;         9

3o. Sec.              85                 6                          4                    2                4

3 Prim.              84                 3                          3                    0                0

Analf.                75                 1                          1                    0                0

Preparatoria        91                 7                          8                   -1       p;        1 

N = 8                                                                                                         26 

rsc = 0.69, rst = 0.714, rsc < rst no se rechaza Ho

Conclusión: No hay una correlación significativa en el desarrollo mental de 8 niños dependiendo de la educación formal de la madre. 
 

Caso: correlación de Spearman 

Cumplimiento de estándares de calidad en la atención del parto institucional y nivel de satisfacción de usuarias

Autor: Oliver Alarco Cadillo y col.

Universidad Nacional Mayor de San Marcos. Lima, Perú 

Resumen

Objetivos: Determinar la correlación entre el nivel de satisfacción de usuarias y el nivel de cumplimiento de índices estandarizados de atención del parto en 58 establecimientos de Salud el Perú.  

 Caso: correlación de Spearman 

Material y Método: Se realizó un estudio transversal y comparativo aplicado a una población de 21 departamentos del Perú realizada en forma aleatoria (37 hospitales y 21 Centros de Salud Cabeceras de Red). Se utilizaron dos instrumentos: Encuesta de satisfacción del establecimiento de salud a puérperas usuarias de los establecimientos y la Lista de chequeo para la medición de procesos de calidad de atención en servicios materno perinatales. Para el análisis de los datos se realizó un análisis bivariado y se utilizó el coeficiente de correlación de Spearman.

Resultados: El coeficiente de correlación de Spearman entre el "Grado de Satisfacción de la usuaria de los servicios de atención de parto" y el "Porcentaje de Cumplimiento del Protocolo de Atención del Parto" resultó de 0.027, lo que revela la no existencia de relación directa entre dichas variables.

Conclusiones: Se demuestra la falta de correlación entre el nivel de satisfacción de usuarias y el nivel de cumplimiento de índices estandarizados de atención del parto en los Centros Hospitalarios.

 

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12.          Conclusiones

 

La investigación cuya finalidad es: el análisis o experimentación de situaciones para el descubrimiento de nuevos hechos, la revisión o establecimiento de teorías y las aplicaciones prácticas de las mismas, se basa en los principios de Observación y Razonamiento y necesita en su carácter científico el análisis técnico de Datos para obtener de ellos información confiable y oportuna. Este análisis de Datos requiere de la Estadística como una de sus principales herramientas, por lo que los investigadores de profesión y las personas que de una y otra forma la realizan requieren además de los conocimientos especializados en su campo de actividades, del manejo eficiente de los conceptos, técnicas y procedimientos estadísticos.

 

El análisis estadístico bivariable es aquel análisis que opera con datos referentes a dos variables y pretende descubrir y estudiar sus propiedades estadísticas. El análisis estadístico bivariable se orienta fundamentalmente a la normalización de los valores o frecuencias ce los datos brutos, determina la existencia, dirección y grado de la variación conjunta entre las dos variables, lo que se realiza mediante él calculo de los coeficientes de correlación pertinentes, calcula la covarianza o producto de las desviaciones de las dos variables en relación a sus medias respectivas y por ultimo establece la naturaleza y forma de la asociación entre las dos variables en el caso de las variables de intervalo.

 

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13.          Infografía Y Bibliografía

 

Infografía:

 

http://www.monografias.com/trabajos30/regresion-correlacion/regresion-correlacion.shtml

desarrollare el grado de relación entre dos o mas variables en lo que llamaremos análisis de correlación, Para representar esta relación utilizaremos una representación gráfica llamada diagrama de dispersión, estudiaremos un modelo matemático para estimar el valor de una variable basándonos en el valor de otra, en lo que llamaremos análisis de regresión.

 

http://www.udc.es/dep/mate/estadistica2/sec6_3.html El modelo de regresión más sencillo es el Modelo de Regresión Lineal Simple que estudia la relación lineal entre la variable respuesta y la variable regresora , a partir de una muestra _{i = 1}ⁿ .

Analisis de Varianza es.wikipedia.org/wiki/Análisis_de_varianza - 23k

Tipos, ejemplos y características de la predicción.

http://www.um.es/econometria/tecpre/teoria/introduccion.pdf

Definición de pronóstico y descripción de sus métodos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Pron%C3%B3stico_de_demanda

Análisis de correlación, marco teórico y ejercicios.

http://www.monografias.com/trabajos30/regresion-correlacion/regresion-correlacion.shtml

Medidas de dispersión, coeficiente de correlación de la muestra, formulas y propiedades.

http://www.micromegas.com.mx/papeleria/formulario12.htm

 

Bibliografía

En esta página se publican los "apuntes" usados en los distintos cursos de la Unidad. Material docente de la Unidad de Bioestadística Clínica. Hospital Universitario Ramón y Cajal. Madrid

http://www.hrc.es/bioest/Reglin_11.html

 

Análisis de la varianza de la regresión

Análisis de la varianza de la regresión. Es un modo alternativo de hacer contrastes sobre el coeficiente a1. Consiste en descomponer la variación de la ...
www.hrc.es/bioest/Reglin_6.html

 

Silva Ayçaguer L.C., Barroso Utra I.M. Selección algorítmica de modelos en las aplicaciones biomédicas de la regresión múltiple. Medicina Clínica. 2001;116:741-745.

cuftb Acceso: Alejandría BE 4.7.1.7r

Inferencias acerca de los coeficientes de regresión de la población. - Predicción y pronosticación. - Análisis de correlación. ...
www.cuft.tec.ve/cgi-win/be_alex.exe?Acceso=T062500001133/0&Nombrebd=cuftb

Éste texto es la versión electrónica del manual de la Universidad de Málaga:
Bioéstadística: Métodos y Aplicaciones
U.D. Bioestadística. Facultad de Medicina. Universidad de Málaga.
ISBN: 847496-653-1
http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/libros/ftp.bioestadistica.uma.es/libro/node42.htm

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