Cha�nes cin�matiques � un solide par cha�ne
| Articulation | Base/solide | solide/plate-forme |
|---|---|---|
| Nbre de ddl | 1 | 4 |
| Nbre de ddl | 2 | 3 |
| Nbre de ddl | 3 | 2 |
| Nbre de ddl | 4 | 1 |
Une combinaison classiquement retenue pour les cha�nes � un solide est la (2,3) :
Liaison prismatique motoris�e
Cha�nes cin�matiques � 2 solides par cha�ne
| Articulation | Base/solide1 | solide1/solide2 | solide2/plateforme |
|---|---|---|---|
| Nbre de ddl | 1 | 1 | 3 |
| Nbre de ddl | 1 | 3 | 1 |
| Nbre de ddl | 3 | 1 | 1 |
| Nbre de ddl | 2 | 1 | 2 |
| Nbre de ddl | 2 | 2 | 1 |
| Nbre de ddl | 1 | 2 | 2 |
�.. on peut ainsi d�cliner toutes les solutions jusqu'� 4 solides par cha�ne reli�s par des articulations � un ddl
La m�thode propos�e est une m�thode tout � fait g�n�rale qui pr�sente un certain nombre de dysfonctionnements pouvant conduire � des erreurs soit en ignorant des degr�s de libert�, soit en ne prenant pas en compte les relations g�om�triques entre les articulations.
Une �tude suppl�mentaire sera n�cessaire pour ces cas sp�cifiques.
5.2.5 Organisations types des architectures parall�les
SSM (Simplified Symm�tric Manipulator)
TSSM (Triangular Simplified Symm�tric Manipulator)
MSSM (Minimal Simplified Symm�tric Manipulator)
SSM
TSSM
Quelques exemples d'architectures parall�les
Une structure planaire
3-PRR, Mobilit� = 3
Les liaisons prismatiques de la base sont motoris�es.
Une architecture spatiale
Un m�canisme propos� par Lambert. Mobilit� = 3
Les triangles articul�s proches de la base sont motoris�s.
Le robot utilisant des cha�nes de type R-RSS propos� par Hunt en 1983 Mobilit� = 6
Dans la suite de ce cours, nous nous int�resserons aux robots de type s�rie, avec ou sans boucles cin�matiques ferm�es, et aux robots � architectures arborescentes.
La particularit� de ces robots, est qu'il est possible de leur appliquer une m�thode g�n�rale de calcul d'un syst�me d'�quations g�rant leurs mouvements qui ne d�pendent pas de leur morphologie.
L'�il agile (un m�canisme parall�le sph�rique � 3 ddl) ( Source : U LAVAL Labo Robotique)
L'�il agile poss�de un espace atteignable en orientation sup�rieur � celui de l'oeil humain. La cam�ra miniature attach�e � l'organe terminal peut �tre point�e dans un c�ne de vision de 140 degr�s avec �30 degr�s en torsion. De plus, en raison de sa faible inertie et de sa raideur inh�rente, le m�canisme peut atteindre des vitesses angulaires sup�rieures � 1000 degr�s par seconde et des acc�l�rations angulaires sup�rieures � 20 000 degr�s par seconde carr�e, ce qui est largement au-del� des possibilit�s de l'oeil humain
La version simplifi�e de l'�il agile � 2 ddl Une version simplifi�e l'orientation de la cam�ra (la plate-forme mobile) est connue par un angle d'�l�vation et un angle d'azimut, il n'y a donc pas de torsion.
CHAP.2. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION
1. Introduction
En robotique on associe � tout �l�ment d'un poste de travail un ou plusieurs rep�res propres
Ces rep�res sont positionn�s de telle sorte que les axes et origines correspondent � des directions privil�gi�es, qui ont un r�le dans l'ex�cution de la t�che : centre de gravit� d'une pi�ce, axe d'articulation, direction d'insertion d'une pi�ce sur un support, extr�mit� active d'un outil, point de positionnement de point de saisie, de d�pose d'une pi�ce,...point important d'une trajectoire.
Les mouvements du robot sont assur�s par ses articulations. Ainsi la configuration articulaire de sa structure, d�termine la position de l'outil dans l'environnement de travail.
Il est alors utile de param�trer les diff�rentes contraintes de positionnement de fa�on la plus homog�ne qui soit.
2. Rappels math�matiques
Deux op�rations sont possibles sur les points de l'espace op�rationnel R0 :
Des changements de rep�res :
Expression de positions de points par rapport � des r�f�rentiels diff�rents : Position d'un point d'une pi�ce par rapport � cette pi�ce, et positionnement de ce point par rapport � une r�f�rence Atelier
Des transformations faites sur des points :
Changement de positions de points par rapport � un m�me r�f�rentiel : Position d'une pi�ce li�e � un convoyeur de distribution dans un atelier, qui a subi un d�placement
2.1 Expression de changement de rep�re
Soient les rep�res R0, R1 et P1 un point.
Ce point s'exprime par ses coordonn�es dans le rep�re R0 : {XP10, YP10, ZP10}
Cherchons un op�rateur de changement de rep�re :
Ce changement peut toujours se ramener � une translation, associ�e � une rotation autour d'un
axe privil�gi�.
D'apr�s la figure 2.2 :
r rr
O0P1 O0O1
O1P1
+
=
XP1
X
X
?
X
?
?
?
?
?
?
O1
P1 O1
0
0 0 0
??
??
=
????
+
??
??
YP1
Y
Y
?
Y
O1
P1 O1
0
0 0 0
??
??
??
??
??
??
ZP1 ZO1
ZP1
?
ZO1
0
0 0 0
r
si on exprime O1P1, en fonction des vecteurs directeurs du rep�re R1 dans le rep�re R0 :
r rrr
O1P1
XP11 x1 + YP11 y1 + ZP11z1
=
X
X
?
?
???????
1
?
?
?
???????
1
?
P1 O1
sx s n ax
0 0
?
x
??
??
??
+
Y
P1
1
??
??
??
Y
Y
XP1
ZP1
P1 O1
+
=
n ay
0
?
0
y y
??
??
??
??
ZP1 ZO1
s n az
0 0
?
z z
On peut mettre la relation sous forme matricielle :
s
????
?
x
na
X
X
X
?
?
? ? ? ??
1 1
?
?
?
P1 O10
P1
x x
0
???
? ? ??
? ? ??
? ? ??
? ? ??
=
? ? ??
Y
Y
Y
P1 O10
+
P1
y
sna
0
y y
ZO1
0
ZP1
ZP10
1
sna
z zz
?
?
r
le premier op�rateur exprime la translation O0O1
la matrice [3x3] traduit la rotation pour passer du rep�re R0 au rep�re R1 .
Les vecteurs colonnes sont l'expression des cosinus directeurs ( coordonn�es des vecteurs
directeurs X1, Y1, Z1 exprim�s dans le rep�re {R0, X0, Y0, Z0}).
L'�quation ainsi obtenue fournit la relation de changement de rep�re de R1 ? R0 du vecteur
rr
P1/ R1
?
P1/ R0 (expression des coordonn�es de P1 dans les rep�res R0 et R1).
L'inconv�nient de cette �criture est qu'elle n�cessite une somme et un produit matriciel.
En cas de changements de rep�res successifs la mise en �quation devient tr�s rapidement lourde � g�rer, de plus le nombre d'op�rations arithm�tiques � ex�cuter est �lev�.
Il y a ici int�r�t de regrouper cette transformation dans un seul op�rateur :
La matrice Homog�ne
Mise en forme de la matrice de passage d'un rep�re 0 � un rep�re 1 : Soit la matrice suivante :
?
?
?
?
?
?
XO1
| sx | nx | ax |
| sy | ny | ay |
| sz | nz | az |
0
????
????
? ? ??
? ? ??
? ? ??
? ? ??
YO1
0
ZO1
0
000 1
?
?
On retrouve dans ce formalisme la matrice [3x3] caract�risant la rotation, et le vecteur colonne caract�risant la translation.
Cet espace est � quatre dimensions , il n�cessite une nouvelle expression des vecteurs et des points
XP10 YP10 ZP10
0
?
???
? ??
?
???
? ??
est l'expression du vecteur V1 dans le rep�re R0
XP10 YP10 ZP10
1
?
???
? ??
?
???
? ??
est l'expression du point P1 dans le rep�re R0
Un changement de rep�re s'exprime maintenant par un unique produit de matrices[4x4] [4x1]
X
X
?
?
?
?
?
X
P1i
P1
?
?
?
? ? ? ??
?
j
sx
s
na
Ojix x
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
=
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
???
???
???
Y
Y
X
P1i
P1
j
na
Ojiy y y
Z
ZP1
X
P1i
j
sna
?
?
?
Ojiz z z
000 1
0
changement de rep�re Rj ? Ri
On note ce changement de rep�re : iT j Cette matrice est appel�e Matrice de passage de Ri ? Rj
Remarque :
La matrice homog�ne iT j repr�sente les caract�ristiques du rep�re Rj dans le rep�re Ri : [s, n, a] sont les cosinus directeurs du rep�re Rj exprim�s dans Ri
?
? ? ???
XOji YOji ZOji
1
?
? ? ???
est l'expression des coordonn�es de Oj dans le rep�re Ri.
j j j matrice 3x3 de rotation de Rj / Ri
]
][
[
i
]00
[
i
A
A
?
?
OiO
??
??
j matrice3x1de translation deOi�OjdansRi
L'�criture du changement inverse peut s'exprimer directement � partir des expressions
pr�c�dentes :
Repartons de l'espace � trois dimensions.
Le changement inverse s'obtient en inversant l'�quation :
][
[
]
1
OiO
????
??
s s n ay
x
na
X
X
X
1 1
? ? ? ??
?
?
?
?
P1
P1
O1
x x
0 0
???
? ? ??
? ? ??
? ? ??
?
? ? ??
? ? ??
Y
Y
Y
P1
P1
O1
=
0 0
y y
ZP1
ZP1
ZO1
1 0 0z zz
sna
?
?
La matrice [s n a] est d�finie positive (cf A1), son inverse correspond donc � sa transpos�e, et permet d'obtenir l'�quation suivante :
?
?
?
sss
?
X
X
X Y ZO1
?
?
?
?
?
1 1
? ? ? ??
P1
P1
O1
x
y z 0
0 0 0
???
? ? ?????
? ? ??
? ? ??
? ? ??
?
? ? ??
? ? ??
? ? ??
Y
Y
P1
P1
O1
n nyn
=
0
x
z
ZP1
ZP1
1
0
a ay az
x
?
?
XP1
X
XO1
?
1 1
? ? ? ??
?
?
?
?
P1
0 0
[
0
1
? ? ??
]
? ? ??
?
t
[
0
A1
? ? ??
]
? ? ??
? ? ??
t
YP1
A
Y
YO1P1
=
0 0
ZPl
ZP1 ZO1
1
0 0
Si on met � nouveau cette transformation sous forme matricielle [4x4], on obtient :
XOO1
OO1
?
?
?
?????
?
?
XP1
XP1
sss
?
?
?
?
1
0x y z
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
???
???
???
????
????
????
????
YP1
YP1
Y
nnn
1
0y y z
=
ZP1
ZP1ZOO1
1
0
a ay az
z
?
?
?
1
1
000 1
?
?
?
?
changement de rep�re R0? R1
Matrice de passage de R1? R0
en fait la matrice de changement inverse se met sous la forme g�n�rale suivante :
? ? ? ??
]
[
?
?
?
?
?
? ? ? ??
=
? ???
]
[
]
[
? ???
iAj OiOj -1 t ?? iAj??t ?? iAj?? OiOj 0 0 0 1 0 0 0 1 changement de rep�re Ri�Rj On notera ce changement de rep�re : jT i
2.2 Expression de transformation de vecteur dans un rep�re
L'op�rateur utilis� est le m�me, mais le r�sultat est diff�rent. En effet si nous repartons du r�sultat ci avant :
XP2
X
?
?
?
?
P2
i
j
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
YP2
Y
P2
=
?
??
iTj
?
??
i
j
ZP2
ZP2
i
j
0
0
Rj
Ri
Changement de Rj ? Ri ( cf fig2.1)
XP2
X
?
?
?
?
P1i
i
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
?????
YP2
Y
P1i
=
?
??
iTj
?
??
i
ZP2
Z
P1i
i
0
0
?
En fait nous avons �galit� des coordonn�es de P1 exprim�es dans Ri, et de P2 exprim�es dans Rj
Ri
Ri transformation de P1 en P2 dans le rep�re Ri (cf fig2.1)
X
X
?
?
?
?
P1i
P2
j
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
?????
=
?????
Y
Y
P1i
P2
j
Z
ZP2
P1i
j
0
0
?
?
En conclusion nous dirons qu'un m�me op�rateur matriciel peut caract�riser :
- -
- soit � une transformation de vecteur pour passer de P1 en P2 dans Ri.
- -
- soit � un changement de rep�re de Rj dans Ri pour le vecteur OiP2 exprim� dans Rj Il est not� [ i T j ]
Quelques propri�t�s :
tout produit de matrice est possible � la condition suivante le nombre de colonnes de la premi�re matrice est �gal au nombre de lignes de la seconde
[nxp][pxm]=[nxm]
Matrice carr�e:
Le produit de matrice est transitif:
[T1] [T2] [T3]=([T1] [T2]) [T3]= [T1] ([T2] [T3])
Rj
Ri
En g�n�ral le produit de matrice n'est pas commutatif
[T1] [T2]?[T2] [T1]
on peut scinder le produit de deux matrices en produits de sous matrices , ce qui permet de simplifier l'�criture
?A1 B1??A2 B2??[ ]AA1 [ ][]2 +B1 [] C2 [A1][B2]+[B1][D2]? ?C1 ??C2 2??[ ]CA[ ][]D1 C [ ][]2 +D2 ?
? ?? D ?=? 1 + [ ][]1 [] D ?
D1 2C2 B1
ce qui dans le cas des matrices homog�nes se traduit par :
? A1 ? A2 []1 [2][B ]+[1][B2]? ?000 1 ??000 1 ?=? ? 1B ? 2B ??AA 1A
?[ ]??[ ] ??[000] 1 ?
3. Utilisation des matrices homog�nes.
3.1 Changement de rep�re d'une matrice de transformation.
Une matrice de transformation peut s'exprimer elle-m�me dans des rep�res diff�rents. Soit [M] cette matrice de transformation :
?XP2j??XP1j?
?? ??
?YP2j? =[]?YP1j?
?ZP2j ? M ?ZP1j ?
?? ??
?? ??
?0 ?Rj ?0 ?Rj
si nous exprimons ces vecteurs dans la base i nous obtenons
?XP2j??XP1j?
?? ??
? ??YP2j? =?iTj ?[]?YP1j?
iTj M
????????
? ??ZP2j?? ??ZP1j ?
?? ??
?0 ?Rj ?0 ?Rj
que nous pouvons �crire aussi :
?XP2i??XP1j?
?? ??
?YP2i? =?iTj ?[]M ?iTj ? -1 ?iTj ??YP1j?
?ZP2i ? ?? ?? ?? ???? ???ZP1j ?
?? ??
?? ??
?0 ?Ri ?0 ?Rj
soit :
?XP2i??XP1i?
?? ??
?YP2i? =? ?[]?iTj ? -1 ?YP1i?
?ZP2i ? ??iTj ??M ?????ZP1i ?
?? ??
?? ??
?0 ?Ri ?0 ?Ri
nous en concluons : Le changement de rep�re de Rj � Ri d'une matrice de transformation s'obtient par la relation suivante :
[] ? ?[] ? ?-1
M Ri =??iTj ??M Rj ??iTj ??
3.2 Transformations successives dans un rep�re Ri
Les deux transformations successives se caract�risent par les relations suivantes :
| "iXP1 ?? | iXP1 ?? | iXP2 ?? | "iXP1 ?? | |||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| "iZ "iY P1 P1 ? ? ? ? ? ? | []T1 = | iZ iY P1 P1 ? ? ? ? ? ? | iZ iY P2 P2 ? ? ? ? ? ? | = | [T2 | ] | "iZ "iY P1 P1 ? ? ? ? ? ? | |||||||||||||||||
| ? ? | 0 | Ri ? ? | ? ? | 0 | Ri ? ? | puis | ? ? | 0 | Ri ? ? | ? ? | 0 | Ri ? ? | ||||||||||||
| on obtient donc : | ||||||||||||||||||||||||
| iXP2 ?? | iXP1 ?? | |||||||||||||||||||||||
| iZ iY P2 P2 ? ? ? ? ? ? | [ ][ ] TT 12= | iZ iY P1 P1 ? ? ? ? ? ? | ||||||||||||||||||||||
| ? ? | 0 | Ri ? ? | ? ? | 0 | Ri ? ? | |||||||||||||||||||
ATTENTION : dans le cas d'une transformation, la multiplication des matrices se fait � gauche, en effet la transformation est r�alis�e dans le rep�re Ri.
3.3 Succession de changements de rep�res
La figure repr�sente deux changements de rep�res successifs, nous avons donc les relations suivantes :
j j
?????
? ???
??
????
XP1i
?
XP1
? ? ? ? ??
j j ZP1j
0
?
X
XP1k
?
?
?
P1
YP1i
YP1
Y
YP1k
P1
i Tj jT
?
?
=
=
k
??
??
ZP1i
? ? ? ? ??
????
????
????
????
ZP1j ZP1k
0
0
on obtient donc :
?
?
?
?
Rj
?
?
Ri
Rj Rk
puis
XP1i
?
X
?
?
?
P1k
0
ATTENTION : dans le cas d'un changement de rep�re, la multiplication des matrices se fait � droite, en effet le changement de rep�re de Rj dans Rk s'exprime dans le rep�re Rj.
La g�n�ralisation de changements successifs de rep�res est imm�diate. Le changement de rep�re de Rk dans R0 s'exprime par le produit de matrices suivant :
? ???
??
? ? ? ??
????
????
????
YP1i
Y
P1k
jT
?
?
iT
=
j k
??
??
ZP1i
Z
P1k
0
?
?
?
Ri
Rk changement de rep�re de Rk ?Ri
[
0T
k
]
=
[
0T
1
[
]
1T
2
]
.........
[
k-2 T
k -1
[
]
k-1T
k
]
Matrice de passage de R0 ?Rk
4. Expression de quelques transformations � l'aide des matrices homog�nes.
4.1 Rotation autour d'axe privil�gi�, ou translation pure
(voir exercices d'application)
4.2 Composition de rotation ou de rotation/translation autour d'un axe unique
(voir exercices d'application)
4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle ? exprim� dans un rep�re Ri on note cette transformation ROT(u,?)
Consid�rons le rep�re {Rj, S ,T ,U }
Les directions S et T sont d�termin�es de la fa�on suivante : S est dans le plan Xi, Yi Le plan <S T> est perpendiculaire � U et S est perpendiculaire � T
La Passage du rep�re {Ri ,Xi ,Yi ,Zi } dans le rep�re {Rj ,S ,T ,U } peut se traduire � l'aide de deux rotations �l�mentaires :
?ROT(zi,?)ROT(x'i,?) qui exprime le rep�re Rj dans Ri S T U
??sx nx ax?0 ???C?-S ?0?0 ???10 0 ?0 ?
?? ???? ???? ??
??sy ny ay?0 ?=??S? C? 0?0 ???0C? -S ??0 ?
??sz nzaz ?0 ???0 01?0 ???0S? C??0 ?
?? ???? ???? ??
? 000 1 ?? 000 1 ?? 000 1 ?
'
[iT i'][iT j]
{Rj,S ,T ,U } = .
Ceci nous permet d'exprimer les coordonn�es de U en fonction des variables ?, ?:
?Ux ??S?S??
??? ?
?Uy ??-C???
S
=
?Uz ?? C??
??? ?
?0 ?? 0 ?
??? ?
Expression des cosinus directeurs en fonction des coordonn�es de U, et de l'angle ?:
La rotation Rot(zj,?) d'un vecteur exprim� au d�part dans le rep�re Rj revient � la rotation Rot(u,?) de ce m�me vecteur exprim� au d�part dans le rep�re Ri En fait nous avons la relation :
Rot(u,?) iT j = iT j Rot(z,?) donc
Rotu (, ) ?Ri = ???iTj ???Rotz ( j,?)Rj ???iTj ??? -1
Rot(u,?) = Rot(z,?)Rot(x,?) Rot(z,?) Rot(x,-?)Rot(z,-?) S T U
? C S ??? ??? S? 0 ?0 ?
?C?-S?? S?? 0 ?C?-S ?00 ? C?
?? ???? ???? ??
S? C C-C S 0 ? S?C?0?0 ? -S?? C?? S ?0 ?
?? ?? ?? ? ?? ?? C C?
?? ????0 ?? ????? ?? ?0 ?
?0S? C??0 ? 0 10 ?S S -C S C??
? ???? ?
? 000 1 ?? 000 1 ?? 000 1 ?
en d�veloppant on trouve :
??C?-S?? Ux?0 ???C?? 0?0 ???C ??
C -S ? S? 00
?? ???? ???? ??
?? C ? C ?? ? 0
??S? C?? C Uy0 ??S?? 0?0 ??-S??C C S ??
? ?? ??? ??
? ??0S? Uz??0 ?? ??0 01??0 ??? Ux UyUz ?0 ?
? 000 1 ?? 000 1 ?? 000 1 ?
??? ?? S ?? ? C ??
CC ?-S C S?-C ??-S C C?Ux ?0 ?? ? S0 ?0
?? ???? ??
??SC?+C?? C S? ??+C C C Uy ?0 ???-S C C??C??
? -S S ?? ? ?? S? 0
?? ???? ??
?? S S?? S?C? Uz?0 ??? Ux UyUz ?0 ?
? 000 1 ?? 000 1 ?
Soit apr�s simplifications :
? 2 ?
?Ux (1-C ?)+C ? UxUy (1-C ?)-UzS ?UxUz (1-C ?)+ UyS ??0
?? ??
2
??UxUy (1-C ?)+ UzS ? Uy (1-C ?)+C ? UyUz (1-C ?)-UxS ??0 ?
?? ??
??UxUz (1-C )-UyS ?UyUz (1-C?)+ UxS ? Uz (1-C ?)+C ??0 ?
? 2
? 000 1 ?
??
Remarque :
La sous matrice [3x3]est une matrice de rotation, elle est donc orthogonale d�finie positive, sa matrice inverse est donc sa transpos�e.
On peut retrouver cette matrice � l'aide de l'expression suivante :
?0 ?Uz Uy ? ) U) = ??Uz 0 ?Ux?? Rot(u,?)Ri =UUt (1?cos?)+I3cos?+Usin? avec ???UyUx Ux ??
Comment retrouver l'axe et l'angle d'une rotation caract�ris�e par sa matrice homog�ne ?
??sx nx ax?0 ?
?? ??
??sy ny ay?0 ?
?? ??
??sz nzaz?0 ?
? 000 1 ?
On proc�de par analogie avec les termes de la matrice pr�c�dente avec la somme des termes diagonaux, et la diff�rence des termes extra-diagonaux
Cela permet de retrouver les termes de U dans le rep�re Ri, et la valeur de l'angle ?
5. Expression de transformations diff�rentielles
Lorsqu'on applique un d�placement �l�mentaire � un rep�re Rj dans l'espace Ri, ce d�placement peut se d�composer en une translation puis une rotation �l�mentaires.
Si ces transformations sont exprim�es dans le rep�re Ri, on a la relation suivante :
iT j + d iT j = Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)[iT j] (multiplication � gauche)
L'expression de la transform�e diff�rentielle est �gale � :
d iT j = (Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )[iT j]
Si ces transformations sont exprim�es dans le rep�re Rj, on a la relation suivante :
iT j + d iT j = [iT j]Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?) (multiplication � droite)
L'expression de la transform�e diff�rentielle est �gale � :
d iT j = [iT j](Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )
Si on se place dans le cas de petits d�placements, les expressions de (Trans(dx,dy,dz) et
Rot(u,d?) peuvent se lin�ariser :
Expression de Rot(u,d?) � partir de l'expression de Rot(u,?)
dx
dy
dz
[
iT j] -Uzd 0
dx
dy
dz dx
dy
dz
0
dx
dy
dz
Expression de Trans(dx,dy,dz)
1
d'o� le r�sultat :
(Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )=
Si les d�placements sont exprim�s dans Ri
Uzd -
0
0
-Uzd 0 -Uzd 1
dx Uxd
dy
dz
000 1
1
Uzd -
100
010
001
[d
iT j]Ri
=
?
? ? ? ? ??
?
?? ??
Uzd -Uyd Uxd 00 00
?
???
?
?
Uyd -Uxd 0
?
?
? ? ? ? ??
???
?
?
? ? ? ? ??
??
Uyd Uxd 00 00
?
Uyd -Uxd 0
???
?
?
Uyd 0 -Uxd
?
?
?
?
???
?
? ? ? ? ??
? ? ? ? ??
Uyd 00 01
? ??
?
?
???
?
?
Uyd -Uxd
?
?
0 -Uzd
?
Si les d�placements sont exprim�s dans Rj
?
?
?
?
????
? ? ??
? ? ??
????
?
?
?
???
? ? ? ? ??
?
?
?
?
???
?
? ? ? ? ??
?
?
???
?
? ? ? ? ??
[d
iT j]Rj = [iT j]
Dans la matrice ci dessus, le d�placement �l�mentaire et la rotation �l�mentaire sont donn�s respectivement par :
?
? ??
Uzd -Uyd Uxd 00 00
?
?
j
et j
dx
dy
dz Uxd Uyd Uzd
On peut de la m�me fa�on caract�riser une matrice de changement de rep�res pour ces transformations �l�mentaires :
jAiOiOj
?? ?
?
? ??
?
? ??
=
?
?
? ??
?
? ??
=
jd j
Les matrices homog�nes utilisent les coordonn�es cart�siennes, et les cosinus directeurs pour exprimer la positon et l'attitude d'un rep�re par rapport � un autre.
Cependant suivant les probl�mes rencontr�s, cette m�thode de repr�sentation de l'espace n'est pas judicieuse et on peut lui pr�f�rer d'autres principes de param�trisation. Dans ce cas se pose le probl�me de passage d'une m�thode de param�trage � une autre.
Pour obtenir la situation d'un corps solide dans l'espace Rg, nous avons besoin de deux types d'informations :
- La position d'un point de r�f�rence de ce solide (origine d'un rep�re Rs attach� � ce solide).
L'orientation de ce rep�re Rs par rapport � un rep�re li� � l'espace Rg.
6. Expressions du positionnement d'un point dans un rep�re Rg.
6.1 Coordonn�es cart�siennes
(X, Y, Z ) exprim�es dans Rg
6.2 Coordonn�es cylindriques
2
idi
i
jAi
jAi
== ???
Le passage de coordonn�es cylindriques en coordonn�es cart�siennes se traduit par :
Xr
Yr
?
?
? ? ??
?
i
? ? ??
? ? ? ??
0
?
?
Y
?
?
??
??
?
??? =
X2 A tan ZZ
+
??
? ? ??
=
cos
sin
? ? ???
jd j
j
=
ZZ Si nous inversons le syst�me
j
?
?
? ? ???
??
Y
X
???
???
= =
?
r
? ???
???
???
6.3 Coordonn�es sph�riques
Passage coordonn�es sph�riques ?cart�siennes
X
r cos sin
?
?
?
?
=
??
??
?
Y
r sin sin
?
=
??
??
?
Z
=
r cos
si nousinversonslesyst�me:
?
?
?=
? ???? ? ??
A tan
???
? ??
X
2
+
Y
2
Z
2
+
r Y
=
???
?
(
?? ? ??
)
?? 0
= 0 avec
?
=0
avec
X
Y
???
???
?= A tan Zsin
?
7. Orientation d'un solide dans l'espace
M�thode des Cosinus Directeurs
?
??
??
?
?
? ? ???
?
x.x
ji
??
y.x
ji
??
z.x
ji
?
sa
x nx
Xi
Xj
Yj
x
? ? ??
? ? ??
=
? ? ??
? ? ??
et
? ???
? ???
=
iAj
? ???
Yi
Zi
?
x.y
ji
??
y .y i
j
??
z.y
ji
?
sa
y ny y
Zj
?
x.z
ji
??
y.z
ji
??
z.z
ji
?
sa
z nz z
Cette matrice indique les coordonn�es des vecteurs directeurs d'un rep�re Rj, dans un rep�re Ri
Pour passer d'une orientation de rep�re Ri � une orientation d'un autre rep�re Rj , trois rotations �l�mentaires sont suffisantes. Diff�rentes conventions existent, qui sont utilis�es en robotique.
Conventions couramment utilis�es en robotique:
Syst�me des angles d' Euler (Pr�cession, Nutation, Rotation propre)
Angles A�ronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) ou en anglais (Yaw, Pitch, Roll)
Angles de Briant ,1, ,2, ,3
7.1 Syst�me des angles d'Euler (Pr�cession, Nutation, Rotation propre)
Pr�cession Rotation autour de Z pour ramener X dans le plan XnYn final?X1 cette droite ainsi obtenue s'appelle droite nodale Nutation Rotation autour de X1 pour ramener Y1 dans le plan Xn Yn final ce qui
a pour effet de ramener Z1 confondu avec Zn final?Z2 Rotation propre Rotation autour de Z2 pour ramener les axes X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux
Pr�cession ? Nutation ? Rotation ?
Expression des cosinus directeurs en fonction des angles d'EULER
?C? -S? 0??10 0 ??C? -S? 0?
i ????? ?
Aj =?S? C? 0??0C? -S???S? C? 0?
????? ?
?0 01??0S? C???0 01?
?CC -SCS -C??-??C? S?S?? ?sx nx ax?
?? ??? S SC
i ? ???
?SC +CCS -S S +CCC -C??S ?=?sy ny ay?
Aj = ?? ??? ?? ???
??? ???
? SS SC?? C???sz nzaz?
7.2 Angles A�ronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101
(Lorsque le d�placement se fait suivant Z, et que Y est choisi vertical )
| Roulis | Rotation ? | autour de Z pour ramener X dans le plan Xn Zn final?X1 | |
|---|---|---|---|
| Tangage | Rotation ? | autour de X1 pour ramener Z1 dans le plan Xn Zn final ce qui | |
| a pour effet de ramenerY1 confondu avec Yn final?Y2 | |||
| Lacet | Rotation ? | autour de Y2 pour ramener X2 et Z2 confondus | |
| avec les axes Xn Zn finaux | |||
Zn
Zn
Yn Y2Yn
Y2
?
Y1 Y1 OO
X YX YX Y
? Xn
? Xn Roulis ? X1 X1 X2 Lacet ? X2
Expression des cosinus directeurs en fonction des angles a�ronautiques
?C? -S ? 0??10 0 ?? C? 0S??
iAj = ??S? C? 0?? ??0C? -S ??? ?? 0 10 ??
??? ???
? 0 01??0S? C?? ?-S? 0C??
C C-??S? ?? C? -??C ? sx nx ax?
?? ? S S -S C ? S S S ??
i ???? C S ? C C ? S C SC ?? y ??
Aj = S C-??S ?? S? -? ? ??=?s ny ay
? ???
? -C?S? S? C?C? ??sz nzaz?
7.3 Angles de Bryant (?1 ,?2 ,?3 ) ?1 Rotation ? autour de X pour ramener Y dans le plan Xn Yn final?Y1 ?2 Rotation ? autour de Y1 pour ramener X1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1confondu avec Zn final?Z2
?3 Rotation ? autour de Z2 final pour ramener X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux
Z1 Z1 Zn
Z ZnZ Yn
Yn
Y1 ?3 Y1
OYY O
Xn Xn X X1 X X1
X2 X2
Expression des cosinus directeurs en fonction des angles de Bryant
iAj = ??0C? 1 -S ? 1?? ?? 0 10 ?? ??S? 3C? 30?? ??? ???
?0S? 1 C? 1??-S? 2 0C? 2?? 0 01?
C?2 C 3 ?2 S 3 S?2 ? sx nx a ?
?? -C ?? x
? ???
?? ??? ??? -S 1 C 2
?C 1 S 3+S 1 S 2C 3 C 1 C 3-?? S 1 S 2S 3 ? ? ?=?sy ny ay?
?S?? 1 S 3-C 1 S 2C 3 S?? 1 C 3+C 1 S 2S 3 ?? 1 C 2 ???s nza ??
? ??? ??? C?zz
7.4 La m�thode des quaternions (Hamilton 1843) ou param�res d'Euler :
On peut exprimer une rotation comprise entre 0� ???180� par quatre param�tres ind�pendants : ?1, ?2, ?3, ?4 dont les caract�ristiques sont les suivantes :
Soit une rotation ROT{Ur, ?}avec U v vecteur unitaire
? ????
?? 2= UxS ??2???
??
? ????
?=?? 3= UyS ???
??2??
v
?1 = cos???? 2 ??? , ???? 4 = UzS ????2 ?????? avec U ={Ux Uy Uz}t vecteur de rotation
remarques :
la rotation d�termin�e se situe toujours 0� ???180� (ce implique 0??1?1)
?12 +?22 +?32 +?42 =1
7.4.1 Expression des cosinus directeurs en fonction des quaternions :
nous connaissons l'expression du matrice de rotation ROT{Ur, ?}en fonction de U v et ?: ?U2x(1-C ?)+C ? UxUy (1-C ?)-UzS ?UxUz (1-C ?)+ UyS ??
? 2 ?
?UxUy (1-C ?)+ UzS ? Uy (1-C ?)+C ? UyUz (1-C ?)-UxS ??
?UxUz (1-C ?)-UyS ?UyUz (1-C ?)+ UxS ? U2z(1-C ?)+C ??
?? cos () 2?12 ?
?= 1
?21 2 ) 2 1 UxUy(1-cos ()
2= Ux (1- cos ()? ??3= ?)2?1 ? 2 = Ux sin () 2
? 2
?32 = 1Uy2 ( () ??4=1 (-cos ?
1-cos ?) 2 UxUz 1 ())
()
2?1 ? 3 = Uy sin ? 22 ?21 2 ) 31 ?
4= Uz (1-cos ()? ??4 = UyUz(1-cos ())
2?1 ? 4 = Uzsin (?) 22
par substitution, nous obtenons :
? (? +?22)?12 ??3 ?1 4)2 2 4 +1 )?2 12(2 ?? (?? ??3
??
?2 (??3 +??4) 2 (?12+?32)?12 3 4 ?1 2)?
2 1 (?? ??
??
? 2 1 (3 ??( )??
?2 (??4 ???3)2 ?? 4 + 1 2) 2 ?12+?42 ?1
7.4.2 Expression des quaternions en fonction des cosinus directeurs :
1?1 =
ax + ny + sz +12
(trace de la matrice, 6180) 4?2 =ax-ny-sz+1 avec ()( )?, ?(, )
2 1,1 22 33
41 2 = nz-ay avec ( )() 3,2 ? ,??23
donc :
1
?2 = Sgn(nz -ay)
sx ?ny ?az +1
2
de m�me nous trouvons :
1
?3 = Sgn(ax -sz)
ny ?? sx az +1
2
1
?4 = Sgn(sy -nx)
az ?? sx ny +1
2
Annexe
? A1
Une matrice A ??nx?n est dite d�finie positive si ? X??n et X?0 XtAX>0 ? A2 Changement de rep�res de d�placements �l�mentaires
Nous avons ede, e ?e exprim�s dans le rep�re Re
Que nous voulons exprimer dans le rep�re Rn ndn, n ?n Pour cela nous pouvons exprimer le changement de rep�res d'une matrice de transformation De la fa�on suivante
n n ee
?= T ? T
n een
c�d
nn ee
??) n dn ? n ??) e de ?e
? ?= Te ?? Tn
?000 0 ??000 0 ?
?
? n ?) n ndn ?? e A T ?e A TOeOn?? e ?) e ede ?? e An OeOn? ? ?=? nn ???? ?
?000 0 ??000 1 ??000 0 ??000 1 ?
On obtient donc les relations suivantes
? n ?) n ndn ?? e An T e ?) e e An e An T e ?) eOeOn+e An T e de ?
? ?=? ?
?000 0 ?? 000 0 ?
soit :
? n ?) =e A T e ?) e A ? n ?=e A T e ?
?n nen ?n ne ?n e ee ?n e
e eT e
? d = A T (?) OeOn+ d )? d = A T (? OeOn ?+ Ad )
? nne e ?? nn ene
Remarque
n e e e
?) = A T ?) A
n nen
Si on d�veloppe la premi�re relation Nous obtenons les relations suivantes entre les coordonn�es des vecteurs rotations
n eee
??x = s ?+ s ?+ s ?
? xx yyzz ? n ?y = nx e ?x + ny e ?y + nz e ?z ??z = a ?+ a ?+ a ? n eT e
? n xex yey zez soit sous forme matricielle ?n = An ?e Passage en �criture matricielle de dimension 6
?
?
?
?
dx
dx
n
e
dy dy
n e
T
?
?
?
?
I
?
OeOn
?
?
n
d dz dz
y z
??
n
A
0
ee 3
n
n n
??
??
??
??
=
=
??
??
T
0I
n
?
?
n
A
e
0e x
3
n
n e
? ? ? ? ? ? ???
?
n
x y z
0
???
? ? ? ? ? ? ???
Rn
?
? ? ? ? ? ? ???
e
? ? ? ? ? ? ???
Re
avec
ZOeOn YOeOn
?
matrice de pr�-produit vectoriel du vecteur OeOn exprim�
? ? ??
? ? ??
OeOn
Z0
?
X
=
OeOn
OeOn
?
YOeOn X 0
OeOn
dans Re