Chaînes cinématiques à un solide par chaîne

Articulation Base/solide solide/plate-forme
Nbre de ddl 1 4
Nbre de ddl 2 3
Nbre de ddl 3 2
Nbre de ddl 4 1

Une combinaison classiquement retenue pour les chaînes à un solide est la (2,3) :

Liaison prismatique motorisée

Chaînes cinématiques à 2 solides par chaîne

Articulation Base/solide1 solide1/solide2 solide2/plateforme
Nbre de ddl 1 1 3
Nbre de ddl 1 3 1
Nbre de ddl 3 1 1
Nbre de ddl 2 1 2
Nbre de ddl 2 2 1
Nbre de ddl 1 2 2

….. on peut ainsi décliner toutes les solutions jusqu'à 4 solides par chaîne reliés par des articulations à un ddl

La méthode proposée est une méthode tout à fait générale qui présente un certain nombre de dysfonctionnements pouvant conduire à des erreurs soit en ignorant des degrés de liberté, soit en ne prenant pas en compte les relations géométriques entre les articulations.

Une étude supplémentaire sera nécessaire pour ces cas spécifiques.

5.2.5 Organisations types des architectures parallèles

SSM (Simplified Symmétric Manipulator)
TSSM (Triangular Simplified Symmétric Manipulator)
MSSM (Minimal Simplified Symmétric Manipulator)

SSM

TSSM

Quelques exemples d'architectures parallèles

Une structure planaire

3-PRR, Mobilité = 3
Les liaisons prismatiques de la base sont motorisées.

Une architecture spatiale

Un mécanisme proposé par Lambert. Mobilité = 3
Les triangles articulés proches de la base sont motorisés.

Le robot utilisant des chaînes de type R-RSS proposé par Hunt en 1983 Mobilité = 6

Dans la suite de ce cours, nous nous intéresserons aux robots de type série, avec ou sans boucles cinématiques fermées, et aux robots à architectures arborescentes.

La particularité de ces robots, est qu'il est possible de leur appliquer une méthode générale de calcul d'un système d'équations gérant leurs mouvements qui ne dépendent pas de leur morphologie.

L'œil agile (un mécanisme parallèle sphérique à 3 ddl) ( Source : U LAVAL Labo Robotique)

L'œil agile possède un espace atteignable en orientation supérieur à celui de l'oeil humain. La caméra miniature attachée à l'organe terminal peut être pointée dans un cône de vision de 140 degrés avec ±30 degrés en torsion. De plus, en raison de sa faible inertie et de sa raideur inhérente, le mécanisme peut atteindre des vitesses angulaires supérieures à 1000 degrés par seconde et des accélérations angulaires supérieures à 20 000 degrés par seconde carrée, ce qui est largement au-delà des possibilités de l'oeil humain

La version simplifiée de l'œil agile à 2 ddl Une version simplifiée l'orientation de la caméra (la plate-forme mobile) est connue par un angle d'élévation et un angle d'azimut, il n'y a donc pas de torsion.

CHAP.2. OUTILS MATHEMATIQUES DE MODELISATION

1. Introduction

En robotique on associe à tout élément d'un poste de travail un ou plusieurs repères propres

Ces repères sont positionnés de telle sorte que les axes et origines correspondent à des directions privilégiées, qui ont un rôle dans l'exécution de la tâche : centre de gravité d'une pièce, axe d'articulation, direction d'insertion d'une pièce sur un support, extrémité active d'un outil, point de positionnement de point de saisie, de dépose d'une pièce,...point important d'une trajectoire.

Les mouvements du robot sont assurés par ses articulations. Ainsi la configuration articulaire de sa structure, détermine la position de l'outil dans l'environnement de travail.

Il est alors utile de paramétrer les différentes contraintes de positionnement de façon la plus homogène qui soit.

2. Rappels mathématiques

Deux opérations sont possibles sur les points de l'espace opérationnel R0 :

Des changements de repères :

Expression de positions de points par rapport à des référentiels différents : Position d'un point d'une pièce par rapport à cette pièce, et positionnement de ce point par rapport à une référence Atelier

Des transformations faites sur des points :

Changement de positions de points par rapport à un même référentiel : Position d'une pièce liée à un convoyeur de distribution dans un atelier, qui a subi un déplacement

2.1 Expression de changement de repère

Soient les repères R0, R1 et P1 un point.

Ce point s'exprime par ses coordonnées dans le repère R0 : {XP10, YP10, ZP10}
Cherchons un opérateur de changement de repère :
Ce changement peut toujours se ramener à une translation, associée à une rotation autour d'un

axe privilégié.
D'après la figure 2.2 :

r rr

O0P1 O0O1

O1P1

+

=

XP1

X

X

?

X

?

?
?

?
?

?

O1

P1 O1

0

0 0 0

??

??

=

????

+

??

??

YP1

Y

Y

?

Y

O1

P1 O1

0

0 0 0

??

??
??

??
??

??

ZP1 ZO1

ZP1

?

ZO1

0

0 0 0

r

si on exprime O1P1, en fonction des vecteurs directeurs du repère R1 dans le repère R0 :

r rrr

O1P1

XP11 x1 + YP11 y1 + ZP11z1

=

X

X

?

?

???????

1

?
?

?

???????

1

?

P1 O1

sx s n ax

0 0

?

x

??

??

??

+

Y

P1

1

??

??

??

Y

Y

XP1

ZP1

P1 O1

+

=

n ay

0

?

0

y y

??

??
??

??

ZP1 ZO1

s n az

0 0

?

z z

On peut mettre la relation sous forme matricielle :

s

????

?

x

na

X

X

X

?

?

? ? ? ??

1 1

?

?
?

P1 O10

P1

x x

0

???

? ? ??

? ? ??

? ? ??

? ? ??

=

? ? ??

Y

Y

Y

P1 O10

+

P1

y

sna

0

y y

ZO1

0

ZP1

ZP10

1

sna

z zz

?

?

r

le premier opérateur exprime la translation O0O1
la matrice [3x3] traduit la rotation pour passer du repère R0 au repère R1 .
Les vecteurs colonnes sont l'expression des cosinus directeurs ( coordonnées des vecteurs

directeurs X1, Y1, Z1 exprimés dans le repère {R0, X0, Y0, Z0}).
L'équation ainsi obtenue fournit la relation de changement de repère de R1 ? R0 du vecteur

rr

P1/ R1

?

P1/ R0 (expression des coordonnées de P1 dans les repères R0 et R1).

L'inconvénient de cette écriture est qu'elle nécessite une somme et un produit matriciel.

En cas de changements de repères successifs la mise en équation devient très rapidement lourde à gérer, de plus le nombre d'opérations arithmétiques à exécuter est élevé.

Il y a ici intérêt de regrouper cette transformation dans un seul opérateur :

La matrice Homogène

Mise en forme de la matrice de passage d'un repère 0 à un repère 1 : Soit la matrice suivante :

?

?

?

?
?

?

XO1

sx nx ax
sy ny ay
sz nz az

0

????

????

? ? ??

? ? ??
? ? ??

? ? ??

YO1

0

ZO1

0

000 1

?

?

On retrouve dans ce formalisme la matrice [3x3] caractérisant la rotation, et le vecteur colonne caractérisant la translation.

Cet espace est à quatre dimensions , il nécessite une nouvelle expression des vecteurs et des points

XP10 YP10 ZP10

0

?

???

? ??

?

???

? ??

est l'expression du vecteur V1 dans le repère R0

XP10 YP10 ZP10

1

?

???

? ??

?

???

? ??

est l'expression du point P1 dans le repère R0

Un changement de repère s'exprime maintenant par un unique produit de matrices[4x4] [4x1]

X

X

?

?

?

?
?

X

P1i

P1

?

?

?

? ? ? ??

?

j

sx

s

na

Ojix x

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

=

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

???

???

???

Y

Y

X

P1i

P1

j

na

Ojiy y y

Z

ZP1

X

P1i

j

sna

?
?

?

Ojiz z z

000 1

0

changement de repère Rj ? Ri

On note ce changement de repère : iT j Cette matrice est appelée Matrice de passage de Ri ? Rj

Remarque :

La matrice homogène iT j représente les caractéristiques du repère Rj dans le repère Ri : [s, n, a] sont les cosinus directeurs du repère Rj exprimés dans Ri

?

? ? ???

XOji YOji ZOji

1

?

? ? ???

est l'expression des coordonnées de Oj dans le repère Ri.

j j j matrice 3x3 de rotation de Rj / Ri

]

][

[

i

]00

[

i

A

A

?

?

OiO

??

??

j matrice3x1de translation deOiàOjdansRi

L'écriture du changement inverse peut s'exprimer directement à partir des expressions
précédentes :

Repartons de l'espace à trois dimensions.
Le changement inverse s'obtient en inversant l'équation :

][

[

]

1

OiO

????

??

s s n ay

x

na

X

X

X

1 1

? ? ? ??

?

?
?

?

P1

P1

O1

x x

0 0

???

? ? ??

? ? ??

? ? ??

?

? ? ??

? ? ??

Y

Y

Y

P1

P1

O1

=

0 0

y y

ZP1

ZP1

ZO1

1 0 0z zz

sna

?

?

La matrice [s n a] est définie positive (cf A1), son inverse correspond donc à sa transposée, et permet d'obtenir l'équation suivante :

?

?
?

sss

?

X

X

X Y ZO1

?

?
?

?

?

1 1

? ? ? ??

P1

P1

O1

x

y z 0

0 0 0

???

? ? ?????

? ? ??

? ? ??

? ? ??

?

? ? ??

? ? ??

? ? ??

Y

Y

P1

P1

O1

n nyn

=

0

x

z

ZP1

ZP1

1

0

a ay az

x

?

?

XP1

X

XO1

?

1 1

? ? ? ??

?

?
?

?

P1

0 0

[

0

1

? ? ??

]

? ? ??

?

t

[

0

A1

? ? ??

]

? ? ??

? ? ??

t

YP1

A

Y

YO1P1

=

0 0

ZPl

ZP1 ZO1

1

0 0

Si on met à nouveau cette transformation sous forme matricielle [4x4], on obtient :

XOO1

OO1

?

?

?

?????

?

?

XP1

XP1

sss

?

?

?

?

1

0x y z

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

???

???

???

????

????

????

????

YP1

YP1

Y

nnn

1

0y y z

=

ZP1

ZP1ZOO1

1

0

a ay az

z

?

?
?

1

1

000 1

?

?

?

?

changement de repère R0? R1

Matrice de passage de R1? R0

en fait la matrice de changement inverse se met sous la forme générale suivante :

? ? ? ??

]
[

?

?

?

?

?
? ? ? ??

=

? ???

]
[

]
[

? ???

iAj OiOj -1 t ?? iAj??t ?? iAj?? OiOj 0 0 0 1 0 0 0 1 changement de repère RiþRj On notera ce changement de repère : jT i

2.2 Expression de transformation de vecteur dans un repère

L'opérateur utilisé est le même, mais le résultat est différent. En effet si nous repartons du résultat ci avant :

XP2

X

?

?

?

?

P2

i

j

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

YP2

Y

P2

=

?

??

iTj

?

??

i

j

ZP2

ZP2

i

j

0

0

Rj

Ri

Changement de Rj ? Ri ( cf fig2.1)

XP2

X

?

?

?

?

P1i

i

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

?????

YP2

Y

P1i

=

?

??

iTj

?

??

i

ZP2

Z

P1i

i

0

0

?

En fait nous avons égalité des coordonnées de P1 exprimées dans Ri, et de P2 exprimées dans Rj

Ri

Ri transformation de P1 en P2 dans le repère Ri (cf fig2.1)

X

X

?

?

?

?

P1i

P2

j

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

?????

=

?????

Y

Y

P1i

P2

j

Z

ZP2

P1i

j

0

0

?

?

En conclusion nous dirons qu'un même opérateur matriciel peut caractériser :

-
soit à une transformation de vecteur pour passer de P1 en P2 dans Ri.
-
soit à un changement de repère de Rj dans Ri pour le vecteur OiP2 exprimé dans Rj Il est noté [ i T j ]

Quelques propriétés :

tout produit de matrice est possible à la condition suivante le nombre de colonnes de la première matrice est égal au nombre de lignes de la seconde

[nxp][pxm]=[nxm]

Matrice carrée:
Le produit de matrice est transitif:

[T1] [T2] [T3]=([T1] [T2]) [T3]= [T1] ([T2] [T3])

Rj

Ri

En général le produit de matrice n'est pas commutatif

[T1] [T2]?[T2] [T1]

on peut scinder le produit de deux matrices en produits de sous matrices , ce qui permet de simplifier l'écriture

?A1 B1??A2 B2??[ ]AA1 [ ][]2 +B1 [] C2 [A1][B2]+[B1][D2]? ?C1 ??C2 2??[ ]CA[ ][]D1 C [ ][]2 +D2 ?

? ?? D ?=? 1 + [ ][]1 [] D ?

D1 2C2 B1

ce qui dans le cas des matrices homogènes se traduit par :

? A1 ? A2 []1 [2][B ]+[1][B2]? ?000 1 ??000 1 ?=? ? 1B ? 2B ??AA 1A

?[ ]??[ ] ??[000] 1 ?

3. Utilisation des matrices homogènes.

3.1 Changement de repère d'une matrice de transformation.

Une matrice de transformation peut s'exprimer elle-même dans des repères différents. Soit [M] cette matrice de transformation :

?XP2j??XP1j?
?? ??

?YP2j? =[]?YP1j?

?ZP2j ? M ?ZP1j ?

?? ??
?? ??

?0 ?Rj ?0 ?Rj

si nous exprimons ces vecteurs dans la base i nous obtenons

?XP2j??XP1j?
?? ??

? ??YP2j? =?iTj ?[]?YP1j?

iTj M

????????

? ??ZP2j?? ??ZP1j ?

?? ??
?0 ?Rj ?0 ?Rj

que nous pouvons écrire aussi :

?XP2i??XP1j?
?? ??

?YP2i? =?iTj ?[]M ?iTj ? -1 ?iTj ??YP1j?
?ZP2i ? ?? ?? ?? ???? ???ZP1j ?

?? ??
?? ??
?0 ?Ri ?0 ?Rj

soit :

?XP2i??XP1i?
?? ??

?YP2i? =? ?[]?iTj ? -1 ?YP1i?

?ZP2i ? ??iTj ??M ?????ZP1i ?

?? ??
?? ??
?0 ?Ri ?0 ?Ri

nous en concluons : Le changement de repère de Rj ´ Ri d'une matrice de transformation s'obtient par la relation suivante :

[] ? ?[] ? ?-1

M Ri =??iTj ??M Rj ??iTj ??

3.2 Transformations successives dans un repère Ri

Les deux transformations successives se caractérisent par les relations suivantes :

"iXP1 ?? iXP1 ?? iXP2 ?? "iXP1 ??
"iZ "iY P1 P1 ? ? ? ? ? ? []T1 = iZ iY P1 P1 ? ? ? ? ? ? iZ iY P2 P2 ? ? ? ? ? ? = [T2 ] "iZ "iY P1 P1 ? ? ? ? ? ?
? ? 0 Ri ? ? ? ? 0 Ri ? ? puis ? ? 0 Ri ? ? ? ? 0 Ri ? ?
on obtient donc :
iXP2 ?? iXP1 ??
iZ iY P2 P2 ? ? ? ? ? ? [ ][ ] TT 12= iZ iY P1 P1 ? ? ? ? ? ?
? ? 0 Ri ? ? ? ? 0 Ri ? ?

ATTENTION : dans le cas d'une transformation, la multiplication des matrices se fait à gauche, en effet la transformation est réalisée dans le repère Ri.

3.3 Succession de changements de repères

La figure représente deux changements de repères successifs, nous avons donc les relations suivantes :

j j

?????

? ???

??

????

XP1i

?

XP1

? ? ? ? ??

j j ZP1j

0

?

X

XP1k

?

?

?

P1

YP1i

YP1

Y

YP1k

P1

i Tj jT

?

?

=

=

k

??

??

ZP1i

? ? ? ? ??

????

????

????

????

ZP1j ZP1k

0

0

on obtient donc :

?

?

?

?

Rj

?

?

Ri

Rj Rk

puis

XP1i

?

X

?

?

?

P1k

0

ATTENTION : dans le cas d'un changement de repère, la multiplication des matrices se fait à droite, en effet le changement de repère de Rj dans Rk s'exprime dans le repère Rj.

La généralisation de changements successifs de repères est immédiate. Le changement de repère de Rk dans R0 s'exprime par le produit de matrices suivant :

? ???

??

? ? ? ??

????

????

????

YP1i

Y

P1k

jT

?

?

iT

=

j k

??

??

ZP1i

Z

P1k

0

?

?

?

Ri

Rk changement de repère de Rk ?Ri

[

0T

k

]

=

[

0T

1

[

]

1T

2

]

.........

[

k-2 T

k -1

[

]

k-1T

k

]

Matrice de passage de R0 ?Rk

4. Expression de quelques transformations à l'aide des matrices homogènes.

4.1 Rotation autour d'axe privilégié, ou translation pure

(voir exercices d'application)

4.2 Composition de rotation ou de rotation/translation autour d'un axe unique

(voir exercices d'application)

4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle ? exprimé dans un repère Ri on note cette transformation ROT(u,?)

Considérons le repère {Rj, S ,T ,U }

Les directions S et T sont déterminées de la façon suivante : S est dans le plan Xi, Yi Le plan <S T> est perpendiculaire à U et S est perpendiculaire à T

La Passage du repère {Ri ,Xi ,Yi ,Zi } dans le repère {Rj ,S ,T ,U } peut se traduire à l'aide de deux rotations élémentaires :

?ROT(zi,?)ROT(x'i,?) qui exprime le repère Rj dans Ri S T U

??sx nx ax?0 ???C?-S ?0?0 ???10 0 ?0 ?

?? ???? ???? ??
??sy ny ay?0 ?=??S? C? 0?0 ???0C? -S ??0 ?

??sz nzaz ?0 ???0 01?0 ???0S? C??0 ?

?? ???? ???? ??
? 000 1 ?? 000 1 ?? 000 1 ?

'

[iT i'][iT j]

{Rj,S ,T ,U } = .

Ceci nous permet d'exprimer les coordonnées de U en fonction des variables ?, ?:

?Ux ??S?S??
??? ?

?Uy ??-C???

S

=

?Uz ?? C??

??? ?
?0 ?? 0 ?

??? ?

Expression des cosinus directeurs en fonction des coordonnées de U, et de l'angle ?:

La rotation Rot(zj,?) d'un vecteur exprimé au départ dans le repère Rj revient à la rotation Rot(u,?) de ce même vecteur exprimé au départ dans le repère Ri En fait nous avons la relation :

Rot(u,?) iT j = iT j Rot(z,?) donc

Rotu (, ) ?Ri = ???iTj ???Rotz ( j,?)Rj ???iTj ??? -1

Rot(u,?) = Rot(z,?)Rot(x,?) Rot(z,?) Rot(x,-?)Rot(z,-?) S T U

? C S ??? ??? S? 0 ?0 ?

?C?-S?? S?? 0 ?C?-S ?00 ? C?

?? ???? ???? ??

S? C C-C S 0 ? S?C?0?0 ? -S?? C?? S ?0 ?

?? ?? ?? ? ?? ?? C C?
?? ????0 ?? ????? ?? ?0 ?

?0S? C??0 ? 0 10 ?S S -C S C??

? ???? ?

? 000 1 ?? 000 1 ?? 000 1 ?

en développant on trouve :

??C?-S?? Ux?0 ???C?? 0?0 ???C ??

C -S ? S? 00

?? ???? ???? ??

?? C ? C ?? ? 0

??S? C?? C Uy0 ??S?? 0?0 ??-S??C C S ??
? ?? ??? ??

? ??0S? Uz??0 ?? ??0 01??0 ??? Ux UyUz ?0 ?
? 000 1 ?? 000 1 ?? 000 1 ?

??? ?? S ?? ? C ??

CC ?-S C S?-C ??-S C C?Ux ?0 ?? ? S0 ?0

?? ???? ??

??SC?+C?? C S? ??+C C C Uy ?0 ???-S C C??C??

? -S S ?? ? ?? S? 0
?? ???? ??

?? S S?? S?C? Uz?0 ??? Ux UyUz ?0 ?
? 000 1 ?? 000 1 ?

Soit après simplifications :

? 2 ?

?Ux (1-C ?)+C ? UxUy (1-C ?)-UzS ?UxUz (1-C ?)+ UyS ??0

?? ??

2

??UxUy (1-C ?)+ UzS ? Uy (1-C ?)+C ? UyUz (1-C ?)-UxS ??0 ?
?? ??

??UxUz (1-C )-UyS ?UyUz (1-C?)+ UxS ? Uz (1-C ?)+C ??0 ?

? 2
? 000 1 ?

??

Remarque :

La sous matrice [3x3]est une matrice de rotation, elle est donc orthogonale définie positive, sa matrice inverse est donc sa transposée.

On peut retrouver cette matrice à l'aide de l'expression suivante :

?0 ?Uz Uy ? ) U) = ??Uz 0 ?Ux?? Rot(u,?)Ri =UUt (1?cos?)+I3cos?+Usin? avec ???UyUx Ux ??

Comment retrouver l'axe et l'angle d'une rotation caractérisée par sa matrice homogène ?

??sx nx ax?0 ?
?? ??
?
?sy ny ay?0 ?

?? ??

??sz nzaz?0 ?
? 000 1 ?

On procède par analogie avec les termes de la matrice précédente avec la somme des termes diagonaux, et la différence des termes extra-diagonaux

Cela permet de retrouver les termes de U dans le repère Ri, et la valeur de l'angle ?

5. Expression de transformations différentielles

Lorsqu'on applique un déplacement élémentaire à un repère Rj dans l'espace Ri, ce déplacement peut se décomposer en une translation puis une rotation élémentaires.

Si ces transformations sont exprimées dans le repère Ri, on a la relation suivante :

iT j + d iT j = Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)[iT j] (multiplication à gauche)

L'expression de la transformée différentielle est égale à :

d iT j = (Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )[iT j]

Si ces transformations sont exprimées dans le repère Rj, on a la relation suivante :

iT j + d iT j = [iT j]Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?) (multiplication à droite)
L'expression de la transformée différentielle est égale à :

d iT j = [iT j](Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )
Si on se place dans le cas de petits déplacements, les expressions de (Trans(dx,dy,dz) et
Rot(u,d?) peuvent se linéariser :
Expression de Rot(u,d?) à partir de l'expression de Rot(u,?)

dx

dy

dz

[

iT j] -Uzd 0

dx

dy

dz dx

dy

dz

0

dx

dy

dz

Expression de Trans(dx,dy,dz)

1

d'où le résultat :

(Trans(dx,dy,dz)Rot(u,d?)- I )=

Si les déplacements sont exprimés dans Ri

Uzd -

0

0

-Uzd 0 -Uzd 1

dx Uxd

dy

dz

000 1

1

Uzd -

100

010

001

[d

iT j]Ri

=

?

? ? ? ? ??

?

?? ??

Uzd -Uyd Uxd 00 00

?

???

?

?

Uyd -Uxd 0

?

?

? ? ? ? ??

???

?

?

? ? ? ? ??

??

Uyd Uxd 00 00

?

Uyd -Uxd 0

???

?

?

Uyd 0 -Uxd

?

?

?

?

???

?

? ? ? ? ??

? ? ? ? ??

Uyd 00 01

? ??

?

?

???

?

?

Uyd -Uxd

?

?

0 -Uzd

?

Si les déplacements sont exprimés dans Rj

?

?

?

?

????

? ? ??

? ? ??

????

?

?

?

???

? ? ? ? ??

?

?

?

?

???

?

? ? ? ? ??

?

?

???

?

? ? ? ? ??

[d

iT j]Rj = [iT j]

Dans la matrice ci dessus, le déplacement élémentaire et la rotation élémentaire sont donnés respectivement par :

?

? ??

Uzd -Uyd Uxd 00 00

?

?

j

et j

dx

dy

dz Uxd Uyd Uzd

On peut de la même façon caractériser une matrice de changement de repères pour ces transformations élémentaires :

jAiOiOj

?? ?

?

? ??

?

? ??

=

?

?

? ??

?

? ??

=

jd j

Les matrices homogènes utilisent les coordonnées cartésiennes, et les cosinus directeurs pour exprimer la positon et l'attitude d'un repère par rapport à un autre.

Cependant suivant les problèmes rencontrés, cette méthode de représentation de l'espace n'est pas judicieuse et on peut lui préférer d'autres principes de paramétrisation. Dans ce cas se pose le problème de passage d'une méthode de paramétrage à une autre.

Pour obtenir la situation d'un corps solide dans l'espace Rg, nous avons besoin de deux types d'informations :

- La position d'un point de référence de ce solide (origine d'un repère Rs attaché à ce solide).

L'orientation de ce repère Rs par rapport à un repère lié à l'espace Rg.

6. Expressions du positionnement d'un point dans un repère Rg.

6.1 Coordonnées cartésiennes

(X, Y, Z ) exprimées dans Rg

6.2 Coordonnées cylindriques

2

idi

i

jAi

jAi

== ???

Le passage de coordonnées cylindriques en coordonnées cartésiennes se traduit par :

Xr

Yr

?

?

? ? ??

?

i

? ? ??

? ? ? ??

0

?

?

Y

?
?

??

??

?

??? =

X2 A tan ZZ

+

??

? ? ??

=

cos

sin

? ? ???

jd j
j

=

ZZ Si nous inversons le système

j

?

?

? ? ???

??

Y

X

???

???

= =

?

r

? ???

???

???

6.3 Coordonnées sphériques

Passage coordonnées sphériques ?cartésiennes

X

r cos sin

?

?

?

?

=

??

??

?

Y

r sin sin

?

=

??

??
?

Z

=

r cos

si nousinversonslesystème:

?

?

?=

? ???? ? ??

A tan

???

? ??

X

2

+

Y

2

Z

2

+

r Y

=

???

?

(

?? ? ??

)

?? 0

= 0 avec

?

=0

avec

X

Y

???

???

?= A tan Zsin

?

7. Orientation d'un solide dans l'espace

Méthode des Cosinus Directeurs

?

??

??

?
?

? ? ???

?

x.x

ji

??

y.x

ji

??

z.x

ji

?

sa

x nx

Xi

Xj
Yj

x

? ? ??

? ? ??

=

? ? ??

? ? ??

et

? ???

? ???

=

iAj

? ???

Yi

Zi

?

x.y

ji

??

y .y i

j

??

z.y

ji

?

sa

y ny y

Zj

?

x.z

ji

??

y.z

ji

??

z.z

ji

?

sa

z nz z

Cette matrice indique les coordonnées des vecteurs directeurs d'un repère Rj, dans un repère Ri

Pour passer d'une orientation de repère Ri à une orientation d'un autre repère Rj , trois rotations élémentaires sont suffisantes. Différentes conventions existent, qui sont utilisées en robotique.

Conventions couramment utilisées en robotique:

Système des angles d' Euler (Précession, Nutation, Rotation propre)

Angles Aéronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) ou en anglais (Yaw, Pitch, Roll)

Angles de Briant ,1, ,2, ,3

7.1 Système des angles d'Euler (Précession, Nutation, Rotation propre)

Précession Rotation autour de Z pour ramener X dans le plan XnYn final?X1 cette droite ainsi obtenue s'appelle droite nodale Nutation Rotation autour de X1 pour ramener Y1 dans le plan Xn Yn final ce qui

a pour effet de ramener Z1 confondu avec Zn final?Z2 Rotation propre Rotation autour de Z2 pour ramener les axes X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux

Précession ? Nutation ? Rotation ?

Expression des cosinus directeurs en fonction des angles d'EULER

?C? -S? 0??10 0 ??C? -S? 0?

i ????? ?

Aj =?S? C? 0??0C? -S???S? C? 0?
????? ?

?0 01??0S? C???0 01?

?CC -SCS -C??-??C? S?S?? ?sx nx ax?

?? ??? S SC

i ? ???
?SC +CCS -S S +CCC -C??S ?=?sy ny ay?

Aj = ?? ??? ?? ???
?
?? ???

? SS SC?? C???sz nzaz?

7.2 Angles Aéronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101

(Lorsque le déplacement se fait suivant Z, et que Y est choisi vertical )

Roulis Rotation ? autour de Z pour ramener X dans le plan Xn Zn final?X1
Tangage Rotation ? autour de X1 pour ramener Z1 dans le plan Xn Zn final ce qui
a pour effet de ramenerY1 confondu avec Yn final?Y2
Lacet Rotation ? autour de Y2 pour ramener X2 et Z2 confondus
avec les axes Xn Zn finaux

Zn
Zn

Yn Y2Yn Y2

?

Y1 Y1 OO

X YX YX Y
? Xn

? Xn Roulis ? X1 X1 X2 Lacet ? X2

Expression des cosinus directeurs en fonction des angles aéronautiques

?C? -S ? 0??10 0 ?? C? 0S??

iAj = ??S? C? 0?? ??0C? -S ??? ?? 0 10 ??
??? ???

? 0 01??0S? C?? ?-S? 0C??
C C-??S? ?? C? -??C ? sx nx ax?

?? ? S S -S C ? S S S ??
i ???? C S ? C C ? S C SC ?? y ??

Aj = S C-??S ?? S? -? ? ??=?s ny ay
? ???

? -C?S? S? C?C? ??sz nzaz?

7.3 Angles de Bryant (?1 ,?2 ,?3 ) ?1 Rotation ? autour de X pour ramener Y dans le plan Xn Yn final?Y1 ?2 Rotation ? autour de Y1 pour ramener X1 dans le plan Xn Yn final ce qui a pour effet de ramener Z1confondu avec Zn final?Z2

?3 Rotation ? autour de Z2 final pour ramener X2 et Y2 confondus avec les axes Xn Yn finaux

Z1 Z1 Zn

Z ZnZ Yn

Yn

Y1 ?3 Y1

OYY O

Xn Xn X X1 X X1

X2 X2

Expression des cosinus directeurs en fonction des angles de Bryant

iAj = ??0C? 1 -S ? 1?? ?? 0 10 ?? ??S? 3C? 30?? ??? ???

?0S? 1 C? 1??-S? 2 0C? 2?? 0 01?

C?2 C 3 ?2 S 3 S?2 ? sx nx a ?

?? -C ?? x

? ???

?? ??? ??? -S 1 C 2

?C 1 S 3+S 1 S 2C 3 C 1 C 3-?? S 1 S 2S 3 ? ? ?=?sy ny ay?
?S?? 1 S 3-C 1 S 2C 3 S?? 1 C 3+C 1 S 2S 3 ?? 1 C 2 ???s nza ??

? ??? ??? C?zz

7.4 La méthode des quaternions (Hamilton 1843) ou paramères d'Euler :

On peut exprimer une rotation comprise entre 0° ???180° par quatre paramètres indépendants : ?1, ?2, ?3, ?4 dont les caractéristiques sont les suivantes :

Soit une rotation ROT{Ur, ?}avec U v vecteur unitaire

? ????

?? 2= UxS ??2???
??

? ????

?=?? 3= UyS ???
??2??

v

?1 = cos???? 2 ??? , ???? 4 = UzS ????2 ?????? avec U ={Ux Uy Uz}t vecteur de rotation

remarques :
la rotation déterminée se situe toujours 0° ???180° (ce implique 0??1?1)
?12 +?22 +?32 +?42 =1

7.4.1 Expression des cosinus directeurs en fonction des quaternions :

nous connaissons l'expression du matrice de rotation ROT{Ur, ?}en fonction de U v et ?: ?U2x(1-C ?)+C ? UxUy (1-C ?)-UzS ?UxUz (1-C ?)+ UyS ??

? 2 ?

?UxUy (1-C ?)+ UzS ? Uy (1-C ?)+C ? UyUz (1-C ?)-UxS ??
?UxUz (1-C ?)-UyS ?UyUz (1-C ?)+ UxS ? U2z(1-C ?)+C ??

?? cos () 2?12 ?

?= 1

?21 2 ) 2 1 UxUy(1-cos ()

2= Ux (1- cos ()? ??3= ?)2?1 ? 2 = Ux sin () 2

? 2

?32 = 1Uy2 ( () ??4=1 (-cos ?

1-cos ?) 2 UxUz 1 ())

()

2?1 ? 3 = Uy sin ? 22 ?21 2 ) 31 ?

4= Uz (1-cos ()? ??4 = UyUz(1-cos ())

2?1 ? 4 = Uzsin (?) 22

par substitution, nous obtenons :

? (? +?22)?12 ??3 ?1 4)2 2 4 +1 )?2 12(2 ?? (?? ??3

??
?2 (??3 +??4) 2 (?12+?32)?12 3 4 ?1 2)?

2 1 (?? ??

??
? 2 1 (3 ??( )??

?2 (??4 ???3)2 ?? 4 + 1 2) 2 ?12+?42 ?1

7.4.2 Expression des quaternions en fonction des cosinus directeurs :

1?1 =

ax + ny + sz +12

(trace de la matrice, 6180) 4?2 =ax-ny-sz+1 avec ()( )?, ?(, )

2 1,1 22 33

41 2 = nz-ay avec ( )() 3,2 ? ,??23

donc :

1

?2 = Sgn(nz -ay)
sx ?ny ?az +1

2

de même nous trouvons :

1

?3 = Sgn(ax -sz)
ny ?? sx az +1

2

1

?4 = Sgn(sy -nx)

az ?? sx ny +1

2

Annexe

? A1

Une matrice A ??nx?n est dite définie positive si ? X??n et X?0 XtAX>0 ? A2 Changement de repères de déplacements élémentaires

Nous avons ede, e ?e exprimés dans le repère Re

Que nous voulons exprimer dans le repère Rn ndn, n ?n Pour cela nous pouvons exprimer le changement de repères d'une matrice de transformation De la façon suivante

n n ee

?= T ? T

n een

càd

nn ee
??) n dn ? n ??) e de ?e

? ?= Te ?? Tn

?000 0 ??000 0 ?

?

? n ?) n ndn ?? e A T ?e A TOeOn?? e ?) e ede ?? e An OeOn? ? ?=? nn ???? ?

?000 0 ??000 1 ??000 0 ??000 1 ?

On obtient donc les relations suivantes

? n ?) n ndn ?? e An T e ?) e e An e An T e ?) eOeOn+e An T e de ?
? ?
=? ?
?000 0 ?? 000 0 ?

soit :

? n ?) =e A T e ?) e A ? n ?=e A T e ?

?n nen ?n ne ?n e ee ?n e e eT e

? d = A T (?) OeOn+ d )? d = A T (? OeOn ?+ Ad )

? nne e ?? nn ene

Remarque

n e e e

?) = A T ?) A

n nen

Si on développe la première relation Nous obtenons les relations suivantes entre les coordonnées des vecteurs rotations

n eee

??x = s ?+ s ?+ s ?

? xx yyzz ? n ?y = nx e ?x + ny e ?y + nz e ?z ??z = a ?+ a ?+ a ? n eT e

? n xex yey zez soit sous forme matricielle ?n = An ?e Passage en écriture matricielle de dimension 6

?

?

?

?

dx

dx

n

e

dy dy

n e

T

?

?

?

?

I

?

OeOn

?

?

n

d dz dz

y z

??

n

A

0

ee 3

n

n n

??

??

??

??

=

=

??

??

T

0I

n

?

?

n

A

e

0e x

3

n

n e

? ? ? ? ? ? ???

?

n

x y z

0

???

? ? ? ? ? ? ???

Rn

?

? ? ? ? ? ? ???

e

? ? ? ? ? ? ???

Re

avec

ZOeOn YOeOn

?

matrice de pré-produit vectoriel du vecteur OeOn exprimé

? ? ??

? ? ??

OeOn

Z0

?

X

=

OeOn

OeOn

?

YOeOn X 0

OeOn

dans Re

1