Initiation � la
mod�lisation
&
aux performances
des Robots

3.1.1 Les architectures s�ries avec boucles cin�matiques: 3

3.1.2 Les architectures s�ries arborescentes: 4

3.2 Les architectures parall�les....................................................................................4

4. Nature des articulations utilis�es en robotique........................................................6

5. Morphologie des robots...........................................................................................7

5.1 Les architectures s�ries...........................................................................................7

4.3 Rotation autour d'un axe quelconque U d'un angle ? exprim� dans un rep�re Ri 31

5. Expression de transformations diff�rentielles........................................................33

6. Expressions du positionnement d'un point dans un rep�re Rg..............................35

6.1 Coordonn�es cart�siennes....................................................................................35

6.2 Coordonn�es cylindriques.....................................................................................35

6.3 Coordonn�es sph�riques.......................................................................................36

7. Orientation d'un solide dans l'espace....................................................................36

7.1 Syst�me des angles d'Euler (Pr�cession, Nutation, Rotation propre)...................36

7.2 Angles A�ronautiques (Lacet, Tangage, Roulis) Norme AFNOR E61-101 ...........37

7.3 Angles de Bryant (?1 ,?2 ,?3 )..............................................................................38

7.4 La m�thode des quaternions (Hamilton 1843) ou param�res d'Euler : .................39

4.4.1 Repr�sentation de trois liaisons roto�des concourantes 59

4.4.2 Cas des robots poss�dant trois articulations prismatiques 62

5. M�thode num�rique...............................................................................................62

6. M�thode g�n�rale permettant de d�terminer le mod�le inverse explicite .............64

3.1.1 Principe de calcul : 70

3.2 M�thode analytique ...............................................................................................70

3.3 M�thode diff�rentielle ............................................................................................71

4. Relation Variables articulaires/ Coordonn�es op�rationnelles..............................73

4.1 Utilisation des angles d'Euler.................................................................................73

5. Mod�le diff�rentiel � cha�nes arborescentes.........................................................74

6. Mod�le diff�rentiel de structures � cha�nes poss�dant des boucles ferm�es .......74

7. Mod�le diff�rentiel inverse (�tude des cas r�guliers)............................................76

7.1 1^�re m�thode de calcul ...........................................................................................76

7.2 2^�me m�thode de calcul..........................................................................................76

5.1.1 Charge nominale 82

5.1.2 Charge limite 82

5.2 L'espace de travail.................................................................................................82

5.3 D�finition de la vitesse...........................................................................................82

5.4 D�finition de l'acc�l�ration.....................................................................................82

5.5 D�finition de temps de d�placement minimal........................................................82

5.6 R�solution..............................................................................................................82

1. Caract�ristiques pour la programmation en ligne..................................................83
   
2. 6.1 Caract�ristiques de pose locale.............................................................................83
   
3. 6.1.1 Exactitude de positionnement 83
4. 6.1.2 Exactitude d'orientation 84
5. 6.1.3 R�p�tabilit� de pose locale 84
6. 6.1.4 La r�p�tabilit� maximale 84
7. 6.1.5 La r�p�tabilit� statistique 85
8. 6.1.6 Exactitude Multi-directionnelle 85
9. 6.2 Temps de Stabilisation ..........................................................................................86
   
10. 6.3 D�passement en Position......................................................................................86
    
1. Exactitude et R�p�tabilit� Bipose..........................................................................87
   
2. 7.1 Exactitude Bipose..................................................................................................87
   
3. 7.2 R�p�tabilit� Bipose................................................................................................88
   
1. Caract�ristiques de trajectoire et de d�placement ................................................88
   

8.1 Exactitude de trajectoire.......................................................................................88

8.1.1 Exactitude de positionnement 88

8.1.2 Exactitude d'orientation 88

8.2 R�p�tabilit� de trajectoire......................................................................................89

8.2.1 R�p�tabilit� de positionnement 89

8.2.2 R�p�tabilit� d'orientation 89

8.3 Raccordement de trajectoire..................................................................................89

8.3.1 Erreur d'arrondi 90

8.3.2 D�passement 90

8.4 Exactitude et R�p�tabilit� de vitesse.....................................................................90

8.4.1 Exactitude de vitesse de trajectoire 90

8.4.2 R�p�tabilit� en vitesse 91

8.4.3 Fluctuation de vitesse 91

1.1 M�canismes � motorisation unique

Des tentatives de recherches ont �t� effectu�es pour r�aliser des m�canismes � mouvements complexes � l'aide d'une seule motorisation. Ces d�veloppements rest�s marginaux n'ont pas abouti pour des raisons de complexit� et de co�t d'�tude, Celle ci �tait � faire pour chaque application.

1.2 M�canismes poly-articul�s

Un deuxi�me axe, plus prometteur a �t� celui des architectures poly-articul�es, qui correspond
aux m�canismes les plus couramment install�s dans les entreprises.
Il est int�ressant afin de clarifier la notion de robot de se reporter � sa d�finition .
Cette d�finition a �t� fix�e par l'AFRI : Association Fran�aise de la Robotique Industrielle

2.1 D�finition d'un ROBOT

Un robot est un manipulateur � plusieurs degr�s de libert�s, command� en position, reprogrammable, polyvalent.

Il est capable de manipuler des mat�riaux, pi�ces, outils, ou dispositifs sp�cialis�s, au cours de mouvements variables en vue de l'ex�cution d'une vari�t� de t�ches.

Son unit� de commande utilise un dispositif de m�moire et �ventuellement de perception et d'adaptation � l'environnement et aux circonstances.

Ces machines polyvalentes sont g�n�ralement �tudi�es pour effectuer la m�me fonction de fa�on cyclique, et peuvent �tre adapt�es � d'autres fonctions sans modification permanente du mat�riel.

On lit dans la premi�re phrase � plusieurs degr�s de libert�s.
On peut alors aborder ce probl�me en se posant les questions suivantes :

Quel est nombre de degr�s de libert�s � utiliser ?
Quelle est la nature des liaisons � utiliser ?
Comment les organiser les une par rapport aux autres ?

Deux familles d'architectures ont �t� d�velopp�es :

2.2 Les architectures de type s�rie

Les m�caniques de cette famille se composent globalement d'un assemblage de corps successifs reli�s par des articulations.

Remarque :

Une autre sp�cificit� est que ces m�canismes peuvent �tre pilot�s en position et vitesse par des mod�les de commande de m�me nature.

2.3 Les architectures de type parall�le

Bien que cr��s il y a plus longtemps, ces m�canismes sont industrialis�s depuis moins longtemps. Les raisons principales, sont des probl�mes de mod�lisation, de mise au point des commandes, et des puissances de calcul que requi�re leur pilotage.

3.1 Les architectures s�ries :

Les architectures s�ries simples :

Elles reposent sur le principe d'une succession des corps rigides reli�s entre eux par des articulations.

3.1.1 Les architectures s�ries avec boucles cin�matiques:

Pour des raisons de robustesse, � ces articulations principales peuvent s'ajouter des articulations compl�mentaires qui constituent des boucles cin�matiques qui permettent de rigidifier la structure, ce qui permet la manipulation de charges plus �lev�es.

Dans certains cas, les actionneurs sont report�s � la base du robot, diminuant ainsi les masses globales en mouvement. Il est alors n�cessaire d'inclure des boucles cin�matiques pour transf�rer le mouvement vers l'articulation concern�e.

Robot Kuka 601r 6 degr�s de libert� � boucles ferm�es

Les boucles que l'on trouve le plus fr�quemment sont les parall�logrammes, et les triangles

3.2 Les architectures parall�les

D�finition d'un ROBOT PARALLELE

Un robot parall�le est constitu� d'un ensemble de cha�nes cin�matiques li�es � l'une de leur extr�mit� � un corps de r�f�rence la base, et � l'autre extr�mit� � une plate-forme mobile destin�e � recevoir l'organe terminal On d�signe par point d'articulation les jonctions des cha�nes cin�matiques avec soit la base, soit la plate-forme mobile

Ces architectures pr�sentent comme avantage une grande rigidit�, pour une masse totale relativement r�duite, tout en ayant un ratio masse utile/masse en mouvement �lev� compar� aux architectures s�rie.

Ces architectures sont peu nombreuses car les m�thodes de calcul de leur "Mod�le math�matique" sont complexes, et l'�tude de m�canismes n'est pas �vidente.

Ainsi � chaque nouvelle architecture, un d�veloppement complet de la commande est a r�aliser, ce qui rend la rentabilit� de tels projets plus hasardeuse.

Cependant certaines solutions existent comme le robot DELTA.

Le robot TRICEPT HP1 A ces deux principales familles de robot peuvent s'en rajouter d'autres, telles que les robots mobiles, et les robots � grands nombres de degr�s de libert�.

5.1 Les architectures s�ries

Pour faire assurer par l'effecteur des mouvements, on comprend qu'il faille un nombre de degr�s de mobilit� au moins �gal au nombre de degr�s de libert� impos� par la trajectoire � effectuer.

Tout degr� de libert� suppl�mentaire apportera des facilit�s lors de la programmation de trajectoires

Lorsque la t�che � ex�cuter se situe dans un espace � 2 dimensions : d�placements plans, deux degr�s de libert� suffisent � satisfaire tous les besoins. Les solutions sont multiples :

Rotation / Rotation Translation / Translation Rotation / Translation Translation / Rotation

Cependant l'indication du type des articulations retenues ne suffit pas. En effet leur organisation dans l'espace est importante : Si les axes de translations sont confondus, ou parall�les, les mouvements g�n�r�s ne se font que dans un espace � une dimension.

Ainsi :

Les types d'articulations, le nombre d'articulations, leurs orientations relatives dans l'espace participent � la caract�risation d'un robot.

Si pour un syst�me �voluant dans un espace � deux dimensions le probl�me est relativement simple � cerner, il n'en va pas de m�me pour un probl�me dans l'espace � trois dimensions.

A la question : Quelles sont les solutions envisageables en fonction du nombre d'articulations associ�es, on trouve les r�sultats suivants :

Nombre des degr�s de libert�	Nombres de combinaisons	Nombres de structures
2	62=36	8
3	63=216	36
4	64=1296	168
5	65=7776	776
6	66=46656	3508

Si � ces combinaisons on enl�ve celles qui assurent des d�placements dans des espaces de dimension inf�rieure au nombre d'articulations, on trouve les nombres de solutions dans le tableau ci-dessus.

Ce nombre reste cependant �lev�, et faire un choix adapt� dans cet ensemble est toujours compliqu�. Hors l'exp�rience montre que les m�canismes diff�rents rencontr�s dans le milieu industriel sont peu nombreux.

5.1.1 Sous-ensembles constituant un robot

Pour analyser plus facilement ce probl�me, il convient de partager le robot en deux sous

ensembles :
Le porteur : En g�n�ral il est constitu� des trois premiers degr�s de libert� du m�canisme en
partant de sa base.

Sa fonction : Amener l'effecteur en un point d�sir� de son espace op�rationnel.

Le poignet : Il est constitu� des degr�s de libert� restants. Souvent la m�canique de ces
�l�ments est beaucoup plus l�g�re.
Sa fonction : Orienter l'effecteur aux environs du point atteint par le porteur.

5.1.2 Sch�ma cin�matique des 12 principaux porteurs

Si on observe les possibilit�s de combinaisons avec trois articulations, on constate que 36 structures sont possibles. Si on retient celles qui math�matiquement sont diff�rentes seules 12+1 subsistent, qui ne sont pas redondantes [Milenkovic 83].

Ces architectures de porteur sont symbolis�es sur la figure suivante, � l'aide des conventions pr�sent�es pr�c�demment (celles avec une ast�rie sont celles retrouv�es le plus fr�quemment).

5.1.3 Noms des principales architectures

*1* : architecture anthropomorphe *2* : architecture sph�rique

*4* : architecture cylindrique *5* : architecture cart�sienne

*3* : architecture torique *5* : architecture SCARA

Les versions correspondantes industrielles s'apparentent presque toutes � ces 5 architectures, seuls des d�calages de positionnement dans l'espace dus � des contraintes d'assemblage des corps les un par rapport aux autres peuvent les diff�rencier.

A ces solutions est venu se rajouter un dernier mod�le : Le Simplified Compliant Assembly Robot Arm : SCARA Ce robot est du type RRP+R

Robot
SCARA

De conception plus r�cente, ce robot a fait l'objet d'une recherche d'un m�canisme performant pour r�aliser des cycles de Pick and Place. Apr�s comparaison d'architectures diff�rentes pour des trajectoires types, cette organisation des articulations a donn� les meilleurs r�sultats en terme de vitesse.

De la m�me fa�on on peut obtenir diff�rentes architectures de poignet � 1, 2 ou 3 articulations permettant diff�rentes orientations. Dans ce cas l'articulation retenue est la Roto�de. (On peut y trouver l� une certaine analogie avec le poignet humain).

Les statistiques d'utilisation des robots en fonction de leur morphologie, donnent les r�sultats suivants [AFRI 96] :

R�partition par type coordonn�es

CARTESIEN et // SCARA
20% 9%
2940 robots 1044 robots

CYLINDRIQUE 7%

ANTROPOMORPH

1252 robots

E
64%
9140 robots

Le graphe ci-dessus indique le nombre de robots install�s en France en fonction de leur morphologie.

Il fait ressortir la pr�dominance des architectures antropomorphes, et des architectures cart�siennes, bien adapt�es � la manutention, et au d�chargement de machines. L'architecture antropomorphe se rapprochant le plus du bras humain, elle se pr�te bien � la manipulation.( la Nature fait bien les choses!!!...).

Remarque

Pour diminuer les co�ts de conception, les fabricants ont tendance � partir d'une architecture type de d�cliner une famille compl�te de robot de charge et zone de travail diff�rentes. L'avantage �vident est que cette famille ne n�cessitera le d�veloppement que d'une seule commande qui pourra �tre param�tr�e

5.2 Les architectures parall�les

5.2.1 Introduction

Un

ing�nieur d�nomm� Pollard fut le premier � d�poser un

brevet de m�canisme pour peindre automatiquement les carrosseries de voitures en 1938.

C'est la premi�re id�e de robot industriel (� structure parall�le ).

Le concept ne put aboutir faute de moyens �lectroniques et informatiques ad�quats pour le commander.

Le m�canisme (que l'on nomme maintenant Tripode) comprenait trois cha�nes cin�matiques. Les mobilit�s d'orientations �taient assur�es par un poignet � trois degr�s de libert� en s�rie avec la structure parall�le.

5.2.2 La plateforme de GOUGH

Dans les ann�es cinquante, Gough, un ing�nieur m�canique du domaine a�ronautique con�ut un m�canisme � architecture parall�le dont le but �tait de tester les pneus des avions � l'aide d'une plate-forme mobile.

Il est le premier � avoir mis au point une architecture � six cha�nes cin�matiques que l'on nomme maintenant Hexapodes.

On pr�te � Stewart d'avoir adapt� la plate-forme de Gough au domaine des simulateurs de vols en proposant une structure parall�le command�e comme base mobile.

5.2.3 Diff�rentes familles

Pour distinguer les architectures on identifie :

1) les robots pleinement parall�les :

Architecture pour laquelle le nombre de cha�nes cin�matiques est strictement �gal au nombre de degr�s de libert� de la plate-forme, chaque cha�ne ne comporte qu'un seul actionneur.

2) les robots parall�les hybrides:
Lorsque l'on met en s�rie plusieurs architectures parall�les

Les architectures pleinement parall�les se divisent en deux familles :

Les architectures planaires � trois degr�s de libert� (2 translations une rotation perpendiculaire au plan mat�rialis� par les translations) Les architectures spatiales � trois ou six degr�s de libert�

1) Nombre de degr�s de libert�

En g�n�ral les architectures parall�les poss�dent des cha�nes cin�matiques identiques

L'objectif � atteindre est :
Un actionneur par cha�ne cin�matique

Lorsque les actionneurs sont bloqu�s la plate-forme est bloqu�e : Mobilit� = 0

2) Formule de GR?BBER

Pour identifier la mobilit� d'un m�canisme, � fortiori une structure parall�le, on peut utiliser la
formule g�n�rale de Gr�bber.

n

m = N(L ? n ?1) +_?di

j=1

c

Elle exprime la mobilit� m d'un m�canisme en fonction de :

L nombre de solides du m�canisme (r�f�rentiel compris)
n nombre d'articulations qui relient les solides entre eux
di nombre de degr�s de libert�s des articulations

Elle permet pour le probl�me qui nous int�resse, d'identifier et de construire les solutions de
m�canisme dont on aura impos� la mobilit� de la plate-forme.

Structures parall�les planes
(on ne traite que des structures avec un minimum de trois mobilit�s)

Dans ce cas : N=3 Hypoth�ses Les articulations utilis�es pour une structure plane ne peuvent �tre que des articulations � 1 ddl o� on perd la plan�it� de la structure on �tudie des structures pleinement parall�les on pose n1 le nombre de solides par cha�nes devient :

n

m = 3(L ? n ?1) +_?di

j=1

dans ce cas : m=3

^{L =3n}1 ^{+ 2} (2 correspond aux solides que sont la base et la plate-forme ) n = 3(n₁ +1)

n

_?di = 3(n₁ +1) j⁼1 les articulations ont 1 ddl

devient :

c

m = 3(3n₁ + 2 ? 3(n₁ + 1) ?1) + 3(n₁ + 1) m = 3(?2) + 3(n₁ +1) m =?3 + 3n₁ )

Comme m=3, nous obtenons : ⁿ1 ^{= 2}

CONCLUSION :

Toutes les solutions planes de structures pleinement parall�les ont des cha�nes constitu�es de 2 solides reli�s entre eux par des articulations � 1ddl

Structures pleinement parall�les spatiaux

A priori dans ce cas m peut �tre �gal � 3,4,5,6 Formule de Gr�bber

n

m = N(L ? n ?1) +_?di

j=1

c

avec :
L nombre de solides du m�canisme (r�f�rentiel compris)
n nombre d'articulations qui relient les solides entre eux
di nombre de degr�s de libert�s des articulations
N=6
A ce niveau de calcul int�grons une nouvelle variable :

A

B nombre de boucles cin�matiques du robot

D

D�finition

Une boucle cin�matique est un chemin virtuel � travers le m�canisme, qui permet en partant d'une articulation de revenir sur cette m�me articulation

Pour identifier le nombre de boucles d'une structure, d�s qu'un chemin a �t� parcouru, on ouvre la boucle � un endroit quelconque de cette boucle, et on proc�de ainsi jusqu'� ce qu'on ne puisse plus trouver de chemins suppl�mentaires

Pour une structure pleinement parall�le, on a la relation B=m-1, en effet il y a une cha�ne de plus qu'il n'y a de boucles cin�matiques.

Ainsi la formule de Gr�bber devient :

n

m = N((B +1)n₁ + 2 ? (B +1)(n₁ +1) ?1) +_?di

j=1

soit ^c

n

m = N(?B) +_?di

j=1

si on appelle d le nombre de ddl de chaque cha�ne cin�matique, la formule devient :

n

m � d =_?di

m = N(?B) + m � d _avec j=1