Aquí los segmentos L1 y L2 tienen la misma dirección. Definimos dos segmentos dirigidos L y M equivalentes si tienen la misma dirección y la misma longitud. Una clase de equivalencia que contiene un segmento L es el conjunto de todos los segmentos equivalentes a L. Convenzase usted mismo que cada segmento in una clase de equivalencia es equivalente a cada uno de los otros segmentos de esa clase. Y dos clases de equivalencias diferentes deben ser disjuntos. Esas clases de equivalencias de segmentos rectos dirigidos son llamados vectores. Lops miembros de un vector v son llamados representativos de v. Dado un segmento dirigido u, el vector que contiene a u es llamado vector determinado por u. La longitug ó magnitud de un vector v es definido como la longitud común de todos los vectores representativos de v. Es generalmente designado por |v|. El ángulo entre dos vectores u y v es simplemente el ángulo entre las direcciones de los representativos de u y v.

Los vectores son simplemente objetos matematicos correctos para describir ciertos conceptos en física. La velocidad es un ejemplo exacto. Diciendo que un auto viaja a velocidad de 50millas/hora no lo dice todo; Debe especificar en que dirección el automovil se va moviendo. Así, la velocidad es un vector-tiene magnitud y dirección. Tales conceptos físicos son: Fuerza, desplazamiento, aceleración, etc. Los números reales (ó a veces números complejos) son llamados escalares con el proposito de distinguirlos de los vectores.

Ahora introduciremos una aritmetica, o algebra de vectores. Primero definimos lo que queremos decir por una suma de los vectores u y v. Escojemos un segmento dirigido u de u y otro v de v.Ubicamos la cola de v en la cabeza de u. El vector que contiene el segmento dirigido que va de la cola de u hasta la cabeza de v es definido por u+v, sería la suma de u y v. Una consecuencia imediata de la geometría elemental es que . Vea en la figura, y se dará cuenta que no importa si elige u ó v, por lo tanto u+v=v+u;

Convenzace usted mismo que la adicción de vectores también es asociativa u+(v+w)=(u+v)+w.No importa donde esten los parentésis. Es común omitirlos y escribir directamente u+v+w.

La sustracción es definida como la operación inversa de la adicción De esta forma la diferencia u-v de dos vectores es definido como el vector que sumamos a v para obtener u. En la figura si u es el representativo de u y v es el representativo de v, y ponemos la cola de v y de u juntas, el segmento dirigido desde la cabeza v hasta la cabeza de u es un representativo de u-v.

Ahora, ¿Cómo hacemos con u-u? Definimos un vector especial con longitud 0, llamado vector cero y denotado 0. Debemos pensar en 0 como el conjunto de todos los segmentos rectos degenerados, o puntos.

Note que el vector cero es especial en el hecho que no tiene dirección (Si dice que usted va a 0 millas/hora, la dirección no es importante!). Para hacer que nuestra algebra de vectores sea correcta , hacemos que el vector cero se comporte de la siguiente manera;

u-u=0 y u+0=u

Para cualquier vector u.

Luego definimos el producto de un escalar r (número real) con un vector u. El producto es definido como el vector de longitud y tiene la misma dirección que u si r>0 , y su dirección es opuesta a u si r<0. Convenzace que las todas siguientes buenas propiedades para esta multiplicación son correctas:

Es entonces perfectamente coherente escribir –u para representar (-1)u.

Nuestro próximo paso es definir una correspondencia uno a uno entro los vectores y los puntos del espacio (esto establesecerá, por supuesto, una correspondecia entre los vectores y las triadas de números reales). La correspondencia es totalmente fácil, simplemente tome un representativo del vector u y ubique su cola en el origen. El punto en el que se encuentra su cabeza es el punto asociado a u. Manejamos el vector sin el representativo asociando el origen con el vector cero. El hecho de que el punto con coordenadas (a,b,c) es asiciado con el vector u en esta forma es indicado abreviadamente escribiendo . Estrictamente hablando esta ecuacuión no tiene sentido; una clase de equivalencia de segmentos rectos dirigidos no puede ser la misma que una triada de números reales. Pero esta abreviación es clara y sustenta muchas palabrerias (los números a, b y c son llamados coordenadas o componentes de u). De esta manera no distiguimos entre puntos y vectores e indiscriminadamente nos hablamos del vector (a,b,c) o del punto u.

Suponga que y . Aplique su vasto conocimiento en geometría elemental y convenzace de lo correcto de lasa siguientes afirmaciones;

,

y

.

Sea el vector i correspondiente al punto (1,0,0); sea j el correspondiente al punto (0,1,0); y k el correspondiente al punto (0,0,1). Cualquier vector u puede ser expresado como una combinación lineal de estos vectores especiales llamados también vectores de coordenadas.

Usemos nuestro nuevo conocimiento de vectores para encontrar donde se interceptan las medianas de un triángulo. Observe la figura:

Encontraremos los escalares s y t, tales que;

.

Ordenamos esta ecuación y nos da

Esto significa que debemos tener

y

De otro modo, a y b serían escalares diferentes de cero multiplos entre sí, lo que significaría que tienen la misma dirección. De esto sigue que

Esto es, sin duda, el resultado que usted recuerda de las clases de geometría de la escuela superior.

Quizas usted estuvo confundido cuando estuvo en la secundario que se decia que el trabajo es el producto de la fuerza por el desplazamiento, donde ambos son vectores. Introduciremos este producto. Este producto es un escalar. Por lo cual se lo denomina producto escalar. El producto escalar es definido como;

,

Estudie la siguiente figura para ver que si , entonces es la longitud de la proyección de v sobre u. (mas precisamente el representativo de v sobre el representativo de u. Generalmente, cuando no hay peligro de confusión, omitimos esta mención , hablando simplemente de longitud de vectores, ángulo entre vectores, etc.).

Es claro que . Estudie la siguiente figura hasta que se convenza que para cualquiera tres vectores u ,v y w.

Ahora tomemos una fórmula para el producto escalar de y :

=

ya que y

De esta manera vemos lo extraordinariamente facil que calcular el producto escalar de dos vectores si conocemos sus coordenadas.

Otra vez, veamos como los vectores pueden hacer una geometría facil usandolos para encontrar el ángulo entre la diagonal de un cubo y la diagonal de un de sus caras.

Entonces

,

Ó

.

Note primero que este es un producto un tanto mas ecxitante de lo que usted esta acostumbrado:

El orden de los factores no mantienen la igualdad. Así .

Ahora encontremos una construcción geométrica del producto vectorial . Proceda como sigue. Sea P un plano perpendicular a u. Ahora proyecte v en este plano, nos da un vector v* perpendicular a u teniendo longitud . Luego rote este vector 90 grados alrededor de u en el "sentido positivo".( Por la dirección positiva de rotación sobre un vector a, nos referimos a la dirección que causaría el avance de un tornillo de rosca derecha en la dirección de a.) Esto da un vector v** teniendo la misma longitud que v* y la dirección de . De esta forma :

¿Porque hicimos todo esta problema para construir es esta forma?. Simple: esto hace mucho mas facil ver que para tres vectores u, v y w, tenemos

.

(Haga el dibujo!)

Veremos como calcular este producto vectorial para

y

Tenemos

Esto se ve un lio terrible, hasta que notamos que

, y

.

Haciendo estas sustituciones en la ecuación de arriba para nos da

.

Esto no es particularmente muy dificil de recordar, pero hay un metodo facil de memorizar usando determinantes:

Encontremos la velocidad de un punto en la superficie de la tierra relativo a un sistema de coordenadas en el cual el origen es fijado en su centro- de esta manera consideramos solo el moviemiento debido a la rotación de la tierra, ignoramos su moviemiento alrededor del sol, etc. Para nuestro punto en la tierra, escoja la habitación 254, Skiles ClassRoom Building en Georgia Tech. La latitud del cuarto tiene alrededor de 33.75 grados (Norte, por supuesto), y esta a 3960 millas desde el centro de la Tierra. Decimos entonces que nuestro Sistema de coordenadas esta en el centro de la tierra. Escojemos el eje tercer eje a travez del polo norte, en otras palabras, el vector coordenada k apunta a hacia el polo norte. La velocidad de nuestra habitación obviamente no es constante, pues cambia con las rotaciones de la tierra. Encontremos la velocidad en el instante en que nuestra habitacion esta en el plano de coordenadas determinado por los vectores i y k.

millas/hora.

Suponga que queremos encontrar el area de un paralelogramo, los lados no paralelos los cuales son representativos de los vectores a y b.

El area claramente es .

Encuentre el area del paralelogramo con un vertice (1,4,-2) y los vertices de los otros extremos de los lados adyacentes a este vértice son (4,7,8) y (6,10,20). Esto es facil. Esto es como el gráfico de arribe con y . Asi tenemos

y luego,