Ahora asociamos con cada número real r un punto en la recta. Primero elegimos un unidad de medida en la recta. Para r>0 correspondemos con r el punto en la misma que esta a una distancia de r unidades desde el origen en la dirección positiva. Para r<0 hacemos corresponder a r con un punto de la recta que esta a una distancia de r unidades del origen en la dirección negativa. El número 0 es asociado con el origen. Unos momentos de reflexión lo convensería que este procedimiento establece una correspondencia llamada uno-a-uno entre los números reales y los puntos de una recta. En otras palabras, un número real determina exactamente un punto en la recta, e inversamente un punto en la recta determina exactamente un número real. Esta recta es lamada recta real.

Ahora establecemos una correspondencia uno-a-uno entre los pares ordenados de los números reales y los puntos de un plano. Tome una recta real, llamada eje de abscisas, y construya otra recta real llamada eje de ordenadas, perpendicular a la primera, y pasando a traves del origen de esta. Escoja este punto como el origen del eje de ordenadas. Supongamos, ahora, que tenemos un par de números reales . El punto en el plano asociado con este par ordenado es encontrado construyendo una paralela al eje de ordenadas a traves del punto x₁ sobre el eje de abscisas, y construyendo otra paralela al eje de abscisas que pase a traves del punto x₂ sobre el eje de ordenadas, el punto en el cual estas líneas se interceptan es el punto asociado al para ordenado . Unos momentos de reflexión lo convenserán de que hay exactamente un punto en el plano, de esta forma, asociado con un par ordenado (a,b):

Es común asumir el punto de vista que hemos tomado en este gráfico, en el cual el eje de abscisas es horizontal, el eje de ordenadas es vertical, la dirección positiva en el eje de abscisas es a la derecha, el sentido positivo del eje de ordenadas es hacia arriba. Usualmente hablamos de eje horizontal y eje vertical, antes que eje de abscisas y eje de ordenadas. Nosotros, también, abusamos del lenguaje al hablar de un punto cuando, por supuesto, realmente queremos referirnos a un punto asociado con un par ordenado . Los números x₁ y x₂ son llamados coordenadas del punto-x₁ es la abscisa y x₂ es la ordenada.

Dado un conjunto de pares ordenados (Una conjunto de pares ordenados se denomina una Relación), una representación gráfica del conjunto es obtenido observando simplemente el conjunto de puntos sobre plano correspondiente a los pares del conjunto dado. Suponga que tenemos una ecuación que involucra dos variables, llamadas x e y. Entonces esta ecuación define un conjunto de pares ordenados de números, que son todo (x,y) que satisface la ecuación. El gráfico correspondiente en el plano es llamado gráfico de la ecuación. Por ejemplo, considere la ecuación . Hechemos un vistazo al gráfico de esta ecuación. Una simple algebra (muy simple realmente), nos convencerá que;

,

y recordamos desde sexto grado que cada uno de los grupos de la derecha de esta ecuación es una parábola.

¿Qué hacemos con todo esto?. Estas construcciones son, por supuesto, las bases de la geomtería analítica, en la cual conectamos los temas de algebra y geometría, para el beneficio de ambos. Una figura geométrica (un subconjunto del plano) corresponde a un conjunto de pares ordenados de números reales. Los datos algebraicos sobre el conjunto de pares ordenados de reales son reflejados por datos geometricos sobre el subconjuntos del plano, e inversamente, datos geométricos sobre el subconjuntos del plano son reflejados por datos algebraicos sobre el conjunto de pares ordenados de los reales.

Trace las gráficas de la relaciones dadas;

1)

2)

Ahora veamos que sucede en tres dimensiones. Asociaremos con cada triada ordenada de números reales un punto en el espacio tri-dimensional. Continuamos hasta donde llegamos en la sección anterior. Comience con el plano construido en dicha sección, y construya una recta perpendicular a ambas rectas, la ordenadas y la abscisas, pasando a traves del origen de ambos. Este es el tercer eje. Ahora debemos ser cuidadosos sobre que dirección en este tercer eje es escogida como dirección positiva. La dirección positiva es escogida como la dirección en que un tornillo con rosca convencional avanzaría si el eje x es rotado hacia el eje y positivo;

Ahora vemos como definir una correspondencia uno-a-uno entre los triada ordenada de números reales y los puntos del espacio. La asociación es una simple extensión de la forma en la cual establecimos una correspondencia entre pares ordenados y puntos en un plano. Y lo hacemos así. Construimos un plano perpendicular al eje x a traves del punto x₁ ,un plano perpendicular al eje y a traves de x₂ y un plano perpendicular al eje z que pase por x₃ . El punto en el cual esos tres planos se cortan es el asociado con la triada ordenada . Una meditación sobre esta construcción lo convencerá que este procedimiento establece una correspondencia uno-a-uno entre una triada ordenada de reales y los puntos del espacio. Como en el caso de las coordenadas de dos dimensiones, x₁ es llamado primer coordenada del puntos ó coordenadas x, x₂ es llamado segunda coordenada o coordenada y del punto y x₃ es llamado tercer coordenada ó coordenada z del punto. También el punto correspondiente a (0,0,0) se denomina origen, y hablamos del punto , cuando nos queremos referir al punto que corresponde a este trío ordenado.

Los tres ejes así definidos son llammado un sistema de coordenada para las tres dimensiones, y los tres números x,y y z, donde es el trío correspondiente al punto P, son llamados las coordenadas de P

Suponga que P y Q son dos puntos, y suponga un espacio creado con un sistema de coordenadas tal que P=(x,y,z) y Q=(u,v,w). ¿Cómo hacemos para obtener la distancia entre P y Q? Es Suficiente que observe la figura;

Podemos ver que y . De esta manera tenemos

, ó

Nosotros vimos que en el plano una equación con dos variables define en una forma natural un conjunto de pares ordenados de números. La situción análoga se obtiene para el espacio tridimensional. Una ecuación con tres variables define un conjuntos de tríos ordenados. De esta manera, hablamos de un conjunto de tríos (x,y,z) que satisfacen la ecuación

El conjunto de todos esos puntos es un gráfico de la ecuación. En este ejemplo es facil ver que cada gráfico es precisamente el conjuntode todos los puntos a una distancia de 1 desde el origen, que es una esfera de radio 1 con centro en el origen.

El gráfico de la ecuación x=0 es simplemente el conjunto de todos los puntos con primer coordenada 0, y este es claramente el plano determinado por el eje y y el eje z. Cuando los ejes son etiquetados con x, y y z, este plano es conocido como plano yz. Analogalmente, el plano y=0 es el plano xz , y z=0 es el plano xy. Estos planos espaciales son también llamados planos coordenados.

La mayoría de la veces, Es dificultoso ver exactamente que un gráfico de una ecuación se vea bien, y aún mas dificultoso para la mayoria de nosotros es dibujarlo. Las computadoras pueden ayudar, pero ellas normalmente dibujan gráficos pocos claros de los cuales su aplicación principal es estimular su propia imaginación suficientemente para permitrle ver el gráfico en su visión mental. Un ejemplo;

Esta imagen fue dibujada usando Maple.

Veamos un ejemplo mas complicado. ¿Cómo es el gráfico de ?

Haremos la imagen de esta rebanando el gráfico con los planos coordenados. Primero lo rebanamos con el plano z=0; entonces vemos , un circulo de radio 1 centrado en el origen. Luego rebanemos con el plano y=0. Aquí vemos , una hiperbola;

Obviamente vemos el mismo plano cuando cortamos el gráfico con el plano x=0 . Lo que el grafico muestra, sería claro ahora;

Este gráfico tiene un nombre, es llamado hiperboloide.

1)_ Describa el conjunto de puntos .

Las curvas que resultan de cortar gráficos con los planos de coordenadas son casos especiales de los que son llamados conjuntos de nivel de un conjunto. Espicificamente, si S es un conjunto, la intersección de S con un plano z=constante es llamado un conjunto de nivel. En el caso de que un conjunto de nivel es una curva, es llamado frecuentemente una curva de nivel.(Los cortes en planos x=constante , ó y=constante son también conjuntos de nivel.) Una familia de conjuntos de nivel puede proveer de una buena impresión para su poder de visualización. Ejemplos cotidianos del uso de conjuntos de nivel para describir un conjunto son los mapas de contorno, en el cual los contornos son, obviamente, simplemtente curvas de nivel; y mapas climaticos, en la cual, por ejemplo, Las isolíneas sobre un valor de 500mb son simplemente curvas de nivel para las supeficies de 500mb. Aclararemos con un ejemplo;

Sea S el gráfico de

Ahora veamos en el conjunto de nivel z=c

ó

Observe primero que tenemos la misma curva para z=c y z=-c. La gráfica es simétrica respecto al plano z=0. Veremos de esta manera que solo esa parte del gráfico esta sobre el plano xy.

Se ve claramente que esas curvas son cículos concentricos de radio , sentrados en el orígen. No hay conjuntos de nivel para |c|<1, y para c=1 ó –1, el conjunto de nivel es simplemente un punto, el origen.

Luego, corte con los planos x=0 y y=0 para tener una mejor idea de cómo es la gráfica. Para x=0, vemos

una hiperbola

La rebanada para y=0, obviamente, es la misma figura. Así es bastante mas fácil visualizar este gráfico. Hay una figura graficada con Maple;

Este es llamado también Hiperboloide. Este es un Hiperboloide de dos hojas, mientras que el visto anteriormente es llamado hiperboloide de una hoja.