Si tenemos una integral de la formadonde a es una constante y t es una variable, esta sería una función de dos variables, la variable x a su vez esta acotada superiormente por t para dar el valor de dicha integral. La representación de la función sería;

fig.1

Ahora bien, hagamos el siguiente artificio; trazemos un tercer eje donde representaremos los valores de t y la funcion pasará a ser de la forma:

fig.2

Cabe hacer notar que por simplicidad este sistema de coordenadas tiene como origen x=0, y=0 y t=a pues t se evalúa a partir del valor de a. Si razona sobre la imagen se dará cuenta, cuando t=a la integral es cero y la función solo abarca los valores de x=a y por definición de la integral, siendo , a medida que t aumenta el área acotado por x=a,x=t,y=0, y=f(x) va aumentado pues la recta x=t se va desplazando hacia la derecha.y asi se va formando el volumen descripto en la figura 2. Ahora podemos hacer una partición en n partes de t de modo que donde b es una cota superior de t. Y formamos rodajas de la forma ;

fig.3

de modo que el volumen de esta rebanada es donde , asi podemos realizar la sumatoria como;

De aquí se desprenden varias cosas, es el volumen total de todas las aproximaciones, A es una función de t, si creamos una norma como el mayor intervalo de todos los , podemos hacer que tienda a cero y asi todas las particiones tienden a cero, es decir, las rebanadas se hacen mas finas y se aproxima cada vez mas al volumen V del gráfico de la figura 1. Esto es un limite de la forma;

que si vemos, nos damos cuenta que esto no es mas que el limite de la suma de Riemann, que sería la integral definida de A(t). Entonces,

en la figura 1 también podemos acotar a t en el intervalo [c,b] con c>a para este caso especial.

=>

y sabemos que , por lo tanto

Ejemplo: Sea la figura un tetraedro de base un triángulo rectangulo de cateto 3 y su altura 3, como muestra la figura siguiente

hacemos que su base apoye sobre el plano yz con uno de los catetos apoyando en el eje y y su hipotenusa esta en la recta y=x, tomando como limite inferior de la primer integral 0, los límites de la segunda integral [0,3], entonces;

Si a este ejemplo lo comparamos con la resolución por medio de las integrables dobles comprobaremos que es mas simple por el metodo que implementamos aquí.

Si el limite t es inferior la integral pasa a ser

***Este documento lo dejo abierto para futuras modificaciones, si alguien puede o quiere añadir nuevas ideas o modificaciones, yo mismo también iré ampliandolo. Para ir formando un documento de gran contenido y utilidad.***

Autor: Bossio Adrián

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