Interpolation durch Finiteunterschiede

Wenn die Interpolationpunkte gleichmäßig Platz sind, können die Werte des Interpolationpolynoms in begrenzten Unterschieden ausgedrückt ausgedrückt werden. Nehmen Sie das für an , wo h ist die Rasterfeldgröße, die Werte von der Funktion f(x) bekannt. Der Unterschied werden dann begrenzte Unterschiede der ersten Ordnung benannt. Ausserdem definieren wir die Unterschiede von Ordnung k + 1 induktiv durch . Wenn wir den Schichtbediener E verwenden; definiert durch , der Unterschiedbediener wird dargestellt wie . Manchmal der rückwärts Unterschied ist , der Bediener wird den Vorwärtsunterschied benannt. Der zentrale Unterschied definiert wird durch welches wird auch verwendet.

Tabelle 1 zeigt die Relationen zwischen den begrenzten Unterschieden und dem Unterscheidung Bediener D definiert durch .

Tabelle 2, in der jeder Eintrag nach der zweiten Spalte ist oder wir können jeden Eintrag von Tabelle 2 ausdrücken in oder . Z.B. in der zweiten Spalte, ist gleich zu and . Wenn f(x) ist ein Polynom von Gradk, dann f(x) ist ein Polynom des Grads ist eine Konstante und ist zero. Folglich die Unterschiedtabelle betrachtend, können wir den Grad eines Interpolationpolynoms finden, das zufriedenstellendes ungefähres f(x) kann. es sollen auch sein beachten daß, wenn d Übertragen auf Lochkarten von jed Eintrag von d Tabelle sein durchführen mit ein begrenzt Zahl von bedeutend Abbildung, d Fehler in d Wert wird mit den binomialen Koeffizienten multipliziert, die dem Standort in der Unterschiedtabelle entsprechen.

Die folgenden ist Interpolationformeln, für die die Unterschiedtabelle benutzt wird. Nehmen Sie an, daß wir möchten den Wert interpolieren a . Dann von , we haben Sie Vorwärtsinterpolationformel des Newtons:

Similarly, from , wir haben rückwärtige Interpolationformel des Newtons: Wir erhalten diese Formeln, indem wir beginnen an und abwärts fortfahrend rechts oder aufwärts rechts. Andererseits indem wir in eine Zickzackweise, abwärts rechts fortfahren, dann aufwärts zum Recht, andererseits abwärts zu ihm das Recht, das etc., erhalten wir eine andere Formel, genannt Gausss Vorwärtsinterpolationformel:

Ähnlich haben wir rückwärtige Interpolationformel des Gausss
Zusätzlich zu diesen Formeln gibt es mehrere durch Everett, Bessel, Stirling und andere, die im Wesentlichen Äquivalent zum Lagrangeinterpolationpolynom sind, das die gleichen tabellarischen Punkte benutzt, obgleich die Darstellungen unterschiedlich sind.